\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun TS1-TS2-TS3}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
année 2013-2014}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2-TS3 : contrôle commun \no 1 (3 heures)}}\end{center}

%\section{\textcolor{red}{Suites}}

\subsection{\textcolor{blue}{(0,5 point)}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1}=3u_{n}-4n+6\end{array}\right.$.\\
Calculer le terme $u_{4}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
Déterminer le sens de variation des suites $\left(u_{n}\right)$ suivantes définies par :

\begin{enumerate}

\item $u_{n} = n^2 - 9n + 20$

\item $u_{n} =\dfrac{n}{n+1}$ 

\item $u_{n+1} = u_{n} + u_{n}^2 + 1$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par  $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1} = - \dfrac{2}{3} u_{n} + 5\end{array}\right.$.\\

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'expression de la fonction $f$ telle que, pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ ?

\item La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée dans le repère ci-dessous.\\
 Représenter graphiquement sur le graphique  les cinq premiers termes de la suite.
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(4.1,5.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{4} \def\ymin{0} \def\ymax{5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(4.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=2](0,0)(0,0)(4,5.5)
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2,0)(2,3.66666)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2,0)(2,3.66666)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2,3.66666)(0,3.66666)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2,3.66666)(0,3.66666)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.66666)(3.66666,3.66666)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,3.66666)(3.66666,3.66666)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.66666,3.66666)(3.66666,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.66666,3.66666)(3.66666,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.66666,0)(3.66666,2.55555)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.66666,0)(3.66666,2.55555)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.66666,2.55555)(0,2.55555)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.66666,2.55555)(0,2.55555)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.55555)(2.55555,2.55555)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,2.55555)(2.55555,2.55555)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.55555,2.55555)(2.55555,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.55555,2.55555)(2.55555,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.55555,0)(2.55555,3.29629)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.55555,0)(2.55555,3.29629)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.55555,3.29629)(0,3.29629)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.55555,3.29629)(0,3.29629)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.29629)(3.29629,3.29629)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,3.29629)(3.29629,3.29629)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.29629,3.29629)(3.29629,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.29629,3.29629)(3.29629,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.29629,0)(3.29629,2.80246)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.29629,0)(3.29629,2.80246)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.29629,2.80246)(0,2.80246)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.29629,2.80246)(0,2.80246)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.80246)(2.80246,2.80246)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,2.80246)(2.80246,2.80246)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.80246,2.80246)(2.80246,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.80246,2.80246)(2.80246,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.80246,0)(2.80246,3.13168)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.80246,0)(2.80246,3.13168)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.80246,3.13168)(0,3.13168)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(2.80246,3.13168)(0,3.13168)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.13168)(3.13168,3.13168)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,3.13168)(3.13168,3.13168)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.13168,3.13168)(3.13168,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(3.13168,3.13168)(3.13168,0)
\def\F{5 2 x mul 3 div sub}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{4}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{4}{\F}

%\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[u](3,3){$\mathscr{C}_{f}$}
%\uput[-90](2,0){ $u_0$}
%\uput[180](0,3.66666){ $u_1$}
%\uput[-90](3.66666,0){ $u_1$}
%\uput[180](0,2.55555){ $u_2$}
%\uput[-90](2.55555,0){ $u_2$}
%\uput[180](0,3.29629){ $u_3$}
%\uput[-90](3.29629,0){ $u_3$}
%\uput[180](0,2.80246){ $u_4$}
%\uput[-90](2.80246,0){ $u_4$}
%\uput[180](0,3.13168){ $u_5$}
%\uput[-90](3.13168,0){ $u_5$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

Calculer les sommes suivantes : 
\begin{enumerate}
\item $U = 3 + 5 + 7 + \cdots +99$

\item $S = 300\left(1 + 1,1 + 1,1^2 + 1,1^3 + \cdots+ 1,1^{19}\right)$ (arrondir à l'entier le plus proche).
\end{enumerate}


%\subsection{}
%$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique telle que $u_{4}=14$ et $u_{9}=29$.\\
%Calculer le premier terme $u_{0}$, la raison $r$ et le terme $u_{13}$.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique, de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.\\
On sait que $u_{1}+u_{7}=36$ et $u_{4}+u_{5}=41$.\\
Quelles sont les valeurs de $u_{0}$ et de $r$ ?


%\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Amérique du Sud novembre 2003}}
%Monsieur X a placé 2 000 \euro~ le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire, 
%é intérêts composés au taux annuel de $3,5\%$ (ce qui signifie que, chaque 
%année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent é leur tour des 
%intérêts). \`A partir de l'année suivante, il prévoit de placer, chaque 
%31 décembre, 700 \euro~ supplémentaires sur ce livret. \\
%On désigne par $C_n$ le capital, exprimé en euros, disponible le 
%$1\textsuperscript{er}$ janvier de l'année (2003 + $n$), o\`u $n$ est un entier naturel. 
%Ainsi, on a : 
%\[\text{C}_0 = \numprint{2000}.\] 
%
%\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le capital disponible le 
%$1\textsuperscript{er}$ janvier 2004. 
%
%\item Établir, pour tout entier naturel $n$, une relation entre $C_{n + 1}$ 
%et $C_n$. 
%
%\end{enumerate} 
%
%\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : 
%
%\[u_n = C_n + 20000.\] 
%
%\begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite 
%géométrique dont on déterminera la raison. 
%
%\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 
%
%\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
%
%\[C_n = \numprint{22000} \times (1,035)^n - \numprint{20000}.\] 
%
%\item Calculer le capital disponible le $1\textsuperscript{er}$ janvier 2008 (on arrondira 
%le résultat é l'euro pr\ès). 
%
%\end{enumerate} 

%\item Le premier janvier 2008, Monsieur X retirera alors le capital disponible de la 
%banque pour financer un voyage dont le co\^ut (supposé fixe) est 
%de \numprint{6000}~ \euro. Il paiera cette somme en quatre mensualités qui seront quatre termes 
%consécutifs d'une suite arithmétique de raison 800 \euro. 
%
%Calculer le montant de chacune de ces 4 mensualités. 

%\end{enumerate} 
%
%\subsection{}
%Par un été de grande sécheresse, René décide d'arroser au pied de jeunes chênes récemment plantés.\\
%120 arbres sont alignés à 4 m les uns des autres.\\
%Chaque arbuste doit recevoir un seau d'eau et le point de ravitaillement est au pied du premier arbre.\\
%Quelle distance René va-t-il parcourir pour mener à bien ce travail sachant qu'il ne dispos e que d'un seul seau ?

\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
Depuis qu'il est à la retraite, un homme tond sa pelouse tous les samedis. Il recueille chaque fois 120 litres de gazon qu'il entrepose dans un bac à compost de 300 litres. Chaque semaine, les matières entreposées perdent, par décomposition ou prélèvement, les trois quarts de leur volume. 
Soient $V_1$, $V_2$, $V_3$ les volumes en litres entreposés respectivement les premier, deuxième et troisième samedis après la tonte.\\
De façon générale soit $V_n$ le volume entreposé le $n^{\mbox{ième}}$ samedi après la tonte.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $V_1 = 120$ ; $V_2 = 150 $; $V_3 = 157,5$.
\item Calculer les volumes $V_4 $; $V_5 $ et $V_6$, exprimés en litres, entreposés respectivement les quatrième, cinquième et sixième samedis après la tonte.
\item Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$.
\item Pour tout $n\geq 1$, on pose : $t_n = 160 - V_n$.
\begin{enumerate} 
\item Montrer que $(t_n)$ est la suite géométrique de premier terme $t_1 = 40$ et de raison $q=\frac{1}{4}$..
\item En déduire les expressions de $t_n$ puis de $V_n$ en fonction de $n$.
%\item Déterminer la limite de $(t_n)$ et de $(V_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\section{\textcolor{red}{Fonctions dérivées}}

%\subsection{}
%Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\left(2x^{2}+3x-1\right)\sqrt{x}$.\\
%Pour tout $x>0$, calculer $f'(x)$.
%
%\subsection{}
%Soit $f:x\mapsto \dfrac{x^2+5x+5}{x^2+x+1}$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
%\begin{enumerate}
%
%\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
%
%\item En déduire le tableau de variations de $f$.
%
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}
%Soit $f:x\mapsto x^{2}$ la fonction carré, définie sur $\mathbb{R}$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\\
%Existe-t-il un point A de la courbe $\mathscr{C}$ te que la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en A soit parallèle à la droite d'équation $y=x$ ?

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{2 x^{2}-x-5}{x-2}$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?

\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.

\item Étudier le signe de $f(x)$ ; en déduire la position relative de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

\item Étudier les variations de $f$.

\item  
\begin{enumerate}
\item Quel est le coefficient  directeur de la tangente au point de la courbe d'abscisse 0 ?

\item Donner l'équation de cette tangente.

%\item  Quelle est la position de la courbe par rapport à cette tangente?  (si c'est au programme de 1eS)
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\section{\textcolor{red}{Probabilités}}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,25 point)}}
La loi de probabilité ci-dessous donne le gain possible à une loterie sans tenir compte du prix du billet :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Gain (en \euro{})&0&5&10&100&500\\
\hline
Probabilité&0,6&0,2&0,1&0,075&0,025\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item 

L'événement \og{} Le joueur gagne 5 \euro{}\fg{} est noté $(G=5)$.\\
Comment peut-on noter l'événement \og{} Le joueur gagne au moins 5 \euro{}\fg{} ?\\
Calculer sa probabilité.


\item L'organisateur prévoit de fixer le prix du billet à 15 \euro.\\
On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur \textbf{en tenant compte du prix du billet}.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs prises par X puis compléter le tableau suivant
\small
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Gain $X$ (en \euro{}
&&&&&\\
\hline
Probabilité&0,6&0,2&0,1&0,075&0,025\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
\item Calculer l'espérance de X. Interpréter ce résultat

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\subsection{}
%Un jeu sans mise au départ consiste à lancer deux dés parfaitement équilibrés 20 foi de suite.\\
%ON gagne 10 \euro{} à chaque sortie d'une \og{}double-six\fg.
%\begin{enumerate}
%\item Quelle est la probabilité de gagner au moins 10 \euro{} sur 20 lancers ?
%
%\item Quelle est la probabilité de gagner exactement 20 \euro{} sur 20 lancers ?
%
%\item Quelle somme peut-on espérer gagner en moyenne par jeu (donc par série de 20 lancers) si l'on joue un grand nombre de fois à ce jeu ?	
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,25 points)}}
Une entreprise possède 50 ordinateurs. La probabilité qu’un ordinateur tombe en panne est de 0,01.\\
On suppose que le fonctionnement d’un ordinateur est indépendant des autres.\\
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d’ordinateurs en panne parmi les 50 disponibles.

\begin{enumerate}

\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ?

\item Calculer la probabilité qu’aucun ordinateur ne tombe en panne.

\item Calculer la probabilité de l’événement E : \og{}au moins un ordinateur est en panne\fg.

\item Calculer la probabilité que 5 ordinateurs soient en panne.

\item  
\begin{enumerate}
\item Que signifie $p(X = 3)$ ?\\
 Calculer ensuite $p(X = 3)$.

\item  Calculer $p(X \leqslant  3)$. Interpréter ce résultat.

\item Calculer l'espérance $E(X)$. Interpréter ce résultat.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  