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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Liban juin 2017}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  6 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-contre.

Les arêtes sont de longueur 1.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{D}~;~\overrightarrow{\text{DA}},~\overrightarrow{\text{DC}},~\overrightarrow{\text{DH}}\right)$.
\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(10,9)
%\psgrid
\psline(0.5,0.8)(6.3,0.3)(8.4,1.4)(8.4,7.7)(6.3,6.6)(6.3,0.3)%ABCGFB
\psdots(0.5,0.8)(6.3,0.3)(8.4,1.4)(2.6,1.9)(8.4,7.7)(6.3,6.6)(0.5,7.1)(2.6,8.2)(4.3,4.05)
\psline(6.3,6.6)(0.5,7.1)(0.5,0.8)%FEA
\psline(8.4,7.7)(2.6,8.2)(0.5,7.1)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.6,1.9)(2.6,8.2)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.9)(8.4,1.4)%DC
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.9)(6.3,6.6)%DMF
\uput[l](0.5,0.8){A} \uput[d](6.3,0.3){B} \uput[r](8.4,1.4){C} 
\uput[ul](2.6,1.9){D} \uput[ul](0.5,7.1){E} \uput[u](6.3,6.6){F} 
\uput[ur](8.4,7.7){G} \uput[u](2.6,8.2){H} \uput[dr](4.3,4){$M$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{DF}}$ est normal au plan (EBG).
\item Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).
\item En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], on associe le point $M$ du segment [DF] tel que 

$\overrightarrow{\text{D}M} = x\overrightarrow{\text{DF}}$. 

On s'intéresse à l'évolution de la mesure $\theta$ en radian de l'angle $\widehat{\text{EMB}}$ lorsque le point $M$ parcourt le
segment [DF]. On a $0 \leqslant  \theta \leqslant \pi$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point D ? avec le point F ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x~;~x~;~x)$.

		\item Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}$. On pourra pour cela s'intéresser au produit scalaire des
vecteurs $\overrightarrow{M\text{E}}$ et $\overrightarrow{M\text{B}}$.
	\end{enumerate}
\item On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction 
	
	\[f \::\: x \longmapsto \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}.\]

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\dfrac{1}{3}&&\dfrac{2}{3}&&1\\
\hline
\m{\text{Variations de }f}&\h{\dfrac{1}{2}}&\dh&\m{0}&\db&-\dfrac{1}{2}&\c&\h{0}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9.5,3.6)
%%\psgrid	
%\psframe(9.5,3.6)	\psline(0,3)(9.5,3)\psline(2,0)(2,3.6)
%\uput[u](1,2.9){$x$} \uput[u](2.1,2.9){$0$} \uput[u](4.5,2.9){$\frac{1}{3}$} \uput[u](7,2.9){$\frac{2}{3}$} \uput[u](9.4,2.9){$1$} 
%\rput(1,1.75){Variations}
%\rput(1,1.25){de $f$}
%\uput[d](2.1,3){$\frac{1}{2}$}\rput(4.5,1.5){$0$}\uput[u](7,0){$- \frac{1}{2}$}\uput[d](9.4,3){$0$}
%\psline{->}(2.4,2.6)(4.2,1.65)\psline{->}(4.8,1.3)(6.6,0.4)
%\psline{->}(7.4,0.4)(9.2,2.65)
%\end{pspicture}
%\end{center}

Pour quelles positions du point $M$ sur le segment [DF] :
	\begin{enumerate}
		\item le triangle $M$EB est-il rectangle en $M$ ?
		\item l'angle $\theta$ est-il maximal ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}




\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  6 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d'une ville.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A}, {\rm B}, et {\rm C} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A - Durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain}

\medskip

On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée d'attente en minute 	&[0~;~2[ &[2~;~4[ &[4~;~6[ &[6~;~8[\\ \hline
Nombre de voitures			& 75 	&19 	&10 	&5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking.
\item  On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'on peut choisir $\lambda = 0,5$~min.
		\item  Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
		\item  Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain}

\medskip

Une fois garée, la durée de stationnement d'une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 70$~min et d'écart-type $\sigma = 30$~min.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la durée moyenne de stationnement d'une voiture ?
		\item Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
		\item À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99\,\% des voitures ?
	\end{enumerate}
\item La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Durée de stationnement& Inférieure à 15 min &Entre 15 min et 1 h &Heure supplémentaire\\ \hline
Tarif en euros &Gratuit &3,5 &$t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Déterminer le tarif $t$ de l'heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de $5$~euros.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville}

\medskip

La durée de stationnement d'une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire $T'$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$. 

On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à $30$~minutes et que 75\,\% des voitures ont un temps de stationnement inférieur à $37$~minutes.

Le gestionnaire du parking vise l'objectif que 95\,\% des voitures aient un temps de stationnement entre $10$ et $50$~minutes. Cet objectif est-il atteint ?
\vspace{0,5cm}



\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  3 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

\[f_k(x) = x + k\text{e}^{- x}.\]

On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d'un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathcal{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,0)(9,9)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  0.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  1 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  1.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  2 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  2.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  3 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  3.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  4 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  4.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  5 2.71828 x exp div add}
\psdots(-0.693,0.307)(0,1)(0.405,1.405)(0.693,1.693)(0.916,1.916)(1.1,2.1)(1.25,2.25)(1.39,2.39)(1.5,2.5)(1.61,2.61)
\end{pspicture*}
\end{center}

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathcal{C}_k$. il semblerait que, pour
tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.

Est-ce le cas ?

\end{multicols}




\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$~ans.

L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

\bigskip

\textbf{Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa}

\medskip

Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$~ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$~m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1[ par :

\[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] 

où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle ]0~;~1[.
\item Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$~ans.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$~ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa.

\end{multicols}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\scriptsize}m{2.5cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F	&G &H &I&J&K &L&M\\ \hline
1&Âges (en années)&50 &70 &80 &85 &90 &95 &100 &105 &110 &120 &130 &150\\ \hline
2&Hauteurs (en mètres) &11,2 &15,6 &18,05 &19,3 &20,55 &21,8 &23 &24,2 &25,4 &27,6 &29,65 &33\\ \hline
3&Vitesse de croissance (en mètres par année)&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3.
		\item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$~m du sol vaut $27$~cm.
\item La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
		\item Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$~cm ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}
%
%\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip
%
%Un numéro de carte bancaire est de la forme:
%
%\[a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c\]
%
%où $a_{1},\:a_{2},\:\ldots,\:a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$.
%
%Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.
%
%$c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.
%
%L'algorithme suivant permet de valider la conformité d'un numéro de carte donné.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{r X}
%\textbf{Initialisation} :& $I$ prend la valeur $0$\\
%&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
%$P$ prend la valeur $0$\\
%$R$ prend la valeur $0$\\
%\end{tabular}\\
%\textbf{Traitement} : &Pour $k$ allant de $0$ à $7$ :\\
%&$R$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $2a_{2k+1}$ par 9\\
%&$I$ prend la valeur $I + R$\\
%&Fin Pour\\
%&Pour $k$ allant de $1$ à $7$ :\\
%&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
%$P$ prend la valeur $P + a_{2k}$\\
%\end{tabular}\\
%&Fin Pour\\
%&$S$ prend la valeur $I + P + c$\\
%\textbf{Sortie} : &Si $S$ est un multiple de 10 alors :\\
%&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
%Afficher \og Le numéro de la carte est correct. \fg\\
%\end{tabular}\\
%&Sinon :\\
%&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
%Afficher \og Le numéro de la carte n'est pas correct. \fg\\
%\end{tabular}\\
%&Fin Si\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\begin{enumerate}
%\item On considère le numéro de carte suivant: 5635\: 4002\:9561\:3411.
%	\begin{enumerate}
%		\item Compléter le tableau en annexe permettant d'obtenir la valeur finale de la variable $I$.
%		\item Justifier que le numéro de la carte 5635\: 4002\:9561\:3411 est correct.
%		\item On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. 
%		
%Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu 
%
%6$a$35\:4002\:9561\:3411 reste correct ?
%	\end{enumerate}
%\item On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d'une carte bancaire.
%	
%Montrer qu'il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
%\item Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
%\item On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.
%
%On a trouvé une situation où ce n'est pas le cas, l'un des deux chiffres permutés valant 1.
%	
%Peut-on déterminer l'autre chiffre permuté ?
%\end{enumerate}
%
%\newpage
%
%\textbf{\large Annexe}
%
%\bigskip
%
%\emph{À rendre avec la copie}
%
%\begin{center}
%
%\textbf{Exercice 4 -- Question 1. a.}
%
%\textbf{Candidats ayant sui l'enseignement de spécialité}
%
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$k$&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
%$a_{2k+1}$&&&&&&&&\\ \hline
%$2a_{2k+1}$&&&&&&&&\\ \hline
%$R$&&&&&&&&\\ \hline
%$I$&&&&&&&&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}


\end{document}