\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,wrapfig}
\usepackage[francais]{babel} 
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Fonction exponentielle}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents





\subsection{\textcolor{red}{Fonction exponentielle}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (première partie admise)}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Il existe une  fonction $f$ dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ telle que : $f'=f$ et $f(0)=1$.

\item Celle-ci est \textbf{unique}.
\end{enumerate}

Cette fonction est appelée fonction exponentielle. On la note $\exp$.
\noindent
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On \textbf{\textcolor{red}{admet}} l'existence.
\item Cette fonction ne s'annule pas et est strictement positive.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : 
\noindent
Considérons la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)\times f(-x)$.
\noindent

\noindent $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit et composée de fonctions dérivables.
\noindent
La dérivée de $x\mapsto f(-x)$ est $x\mapsto -f'(-x)$ car la dérivée de $x\mapsto f(ax+b)$ est $x\mapsto af(ax+b)$.
\noindent
On en déduit que : $f'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)\times \left(-f'(-x)\right)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)$.
\noindent
Or, par définition de $f$, $f'=f$ donc $g'(x)=f(x)f(-x)-(x)f(-x)=0$.
\noindent

\noindent $g$ est donc une fonction \textbf{\textcolor{blue}{constante}} sur $\mathbb{R}$.

\noindent Pour trouver cette valeur, il suffit de calculer l'image dun nombre particulier.

\noindent $g(0)=[f(0)]^{2}=1^{2}=1$ donc $g(0)=1$.
\noindent
Par conséquent : $g(x)=1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
\noindent

\noindent $f$ ne peut donc pas s'annuler ;
\noindent
en effet, s'il existait une valeur $x_{0}$ avec $f\left(x_{0}\right)=0$, on aurait :
\noindent
$g\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)f\left(-x_{0}\right)=0$ ; or $g\left(x_{0}\right)=1$, ce qui est contradictoire.
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Positivité}}:
\noindent
Supposons qu'il existe un nombre $x_{0}$ avec $f\left(x_{0}\right)<0$.
\noindent
$f$ est dérivable, donc continue. $f\left(x_{0}\right)<0$ et $f(0)=1$.
\noindent
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existerait un nombre $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$, ce qui est impossible d'après ce qui précède.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration de l'unicité}} 
\noindent
Supposons qu'il existe une autre fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant également $g'=g$ et $g(0)=1$.
\noindent
Soit la fonction $h=\frac{f}{g}$. $h$ est dérivable : $h'=\frac{f'g-fg'}{g^2}=0$ (car $f'=f$ et $g'=g$). $h$ est donc constante sur $\mathbb{R}$. $h(0)=1$. $\forall x \in \mathbb{R}$, $h(x)=1$ donc $f(x)=g(x)$ donc $f=g$.
\noindent
\end{enumerate}

Cette unique fonction $f$ vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$ est notée $\exp$.
\noindent

\begin{center}
\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Résumé des propriétés :}}
Pour tout réel $x$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $\exp x>0$

\item $\exp 0=1$

\item $\exp '(x)=\exp (x)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Étude de la fonction exponentielle :}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation :}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction exponentielle est croissante sur $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration : }}La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp'=\exp$, donc pour tout réel $x$, $\exp'(x)>0$ puisque $\exp(x)>0$.
\noindent
La fonction $\exp$ est donc croissante.
\noindent

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Limites à l'infini}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$
\end{bclogo}
\end{minipage}
\noindent
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :
\noindent
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\exp(x)-x$.
\noindent
$f$ est dérivable et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\exp'(x)-1=\exp(x)-1$.
\noindent
$\exp$ est croissante et $\exp(0)=1$, donc, pour tout $x\geqslant 0$, $f'(x)\geqslant 0$.
\noindent
On en déduit que $f$ est croissante et comme $f(0)=\exp(0)-0=\exp(0)=1>0$ donc $f(x)>0$.
\noindent
Par conséquent : $f(x)>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x)>x}}$.
\noindent
Or $\lim_{x\rightarrow =\infty}x=+\infty$, donc, d'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty}}$.
\noindent

\noindent On a vu au début que, pour tout $x$, $\exp(x)\times \exp(-x)=1$ donc $\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$.
\noindent
En posant $X=-x$, donc $x=-X$, on a : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\exp(-X)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\exp(X)}=0$.


\textbf{\textcolor{blue}{Conséquences :}}

\begin{enumerate}

\item Pour tout $a>0$, $\exp(a)>0$

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp a=\exp b\Leftrightarrow a=b$.

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp a< \exp b\Leftrightarrow a<b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{Démonstration :}

\begin{enumerate}

\item $\exp$ est croissante et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$ donc $\exp$ est une fonction positive.
\item 
\begin{enumerate}
\item $a=b\Rightarrow \exp(a)=\exp(b)$ comme pour n'importe quelle fonction.

\item $\exp(a)=\exp(b)\Rightarrow a=b $ car la fonction $\exp$ est croissante
\end{enumerate}


\item Même démonstration que dans le cas d'égalité
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Propriétés algébriques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de l'opposé d'un réel :}}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$\
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
On a déjà vu que $\exp(x)\times \exp(-x)=1$  donc $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$.
\noindent

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de la somme de deux réels:}}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\forall y\in\mathbb{R}$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}
\noindent

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\noindent
Soit $y$ un réel quelconque fixé. On considère alors la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(x+y)$ (la variable est $x$).
\noindent
$f$ est dérivable, comme  composée de fonctions dérivables ; $\dfrac{1}{\exp(y)}$ est une constante.
\noindent
La dérivée de $x\mapsto \exp(x+y)$ est $x\mapsto 1\times \exp'(x+y)=\exp(x+y)$.
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(x+y)$ donc $f'=f$.
\noindent
$f(0)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(0=y)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(y)=1$.
\noindent
On en déduit que la fonction $f$ est la fonction exponentielle (unicité de la fonction vérifiant ces propriétés).
\noindent
Par conséquent : $f(x)=\exp(x)$ donc, pour tout $x$, $\dfrac{1}{\exp(y)}\exp(x+y)=\exp(x)$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)}}$
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on a vu dans le I que la seule fonction vérifiant cette relation fonctionnelle et $f(0)=1$ devait vérifier $f'=f$, donc était la fonction exponentielle (par unicité de la fonction vérifiant les deux conditions $f'=f$ et $f(0)=1$).

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de la différence de deux réels:}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous réels $x$ et $y$ : $\exp(x-y)=\frac{\exp x}{\exp y}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}} 
\noindent
$\exp(x-y)=\exp(x+(-y))=\exp(x)\times \exp(-y)=\exp(x)\times \frac{1}{\exp( x)}=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\noindent

\textcolor{red}{Exemple :}
\noindent
Pour tout réel $x$, $\frac{\exp(2x+3)}{\exp(2x-1)}=\exp[(2x-3)-(2x-1)]=\exp 4$
\noindent

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle d'une somme de réels:}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous réels $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, $\exp(x_1+x_2+...+x_n)=\exp(x_1)\times \exp(x_2)\times\dots\times \exp(x_n)$.\\
\noindent
\textbf{\textcolor{blue}{Écriture symbolique}} :
$\exp\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)=\prod_{i=1}^n\exp(x_i)$
\noindent
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
On démontre la propriété par récurrence sur $n$.
\noindent
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : Pour $n=1$, il n'y a qu'un terme $x_{1}$ ; on a évidemment $\exp\left(x_{1}\right)=\exp\left(x_{1}\right)$ !

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un entier $n$ quelconque.
\noindent
$\exp\left(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n}\right)=\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)$.
\noindent
Alors : $\exp\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}\right)=\exp\left[\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)+x_{n+1}\right]=\exp\left(\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)\right)\times \exp\left(x_{n+1}\right)$ (d'après la propriété fonctionnelle de l'exponentielle)
\noindent
$=\left[\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)\right]\times \exp\left(x_{n+1}\right)=\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)\times \exp\left(x_{n+1}\right)$. (c.q.f.d.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tout réel $x$, $\exp(nx)=(\exp (x))^n$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration : }}
\noindent
Lorsque $n>0$, on applique la propriété précédente en prenant tous les $x_i$ égaux à $x$.
\noindent
Pour $n=0$, l'égalité est vérifiée.
\noindent
Si $n<0$, $\exp(nx)=\exp((-n)(-x))=(\exp(-x))^{-n}=\left[\frac{1}{\exp x}\right]^{-n}=(\exp(x))^n$
\noindent

\subsubsection{\textcolor{blue}{Le nombre e ; la notation $\mathbf{e^x}$:}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$e=\exp(1)$.
\noindent
Valeur approchée : $e\approx \numprint{2.71828182845904523536028747135266249775724709369995}$.

\noindent Pour la plupart des exercices, il suffit d'utiliser $\mathrm{e}\approx 2,7$ sou $\mathrm{e}\approx 2,72$.

\noindent Remarque : $\mathrm{e}$ est, comme $\pi$, un nombre transcendant, c'est-à-dire solution d'aucune équation polynomiale, donc en particulier non rationnel)
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Notation}}
Pour tout entier $n$, on a : $\exp(n)=\exp(n\times 1)=(\exp1)^n=e^n$ en utilisant la notation précédente.
\noindent
Plus généralement, on convient de noter $\exp (x)$ par $e^x$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Résumé des différentes propriétés avec cette notation:}}
\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Pour tous réels $x$, $y$ et tout entier relatif $n$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $e^0=1$

\item $e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

\item $e^{x+y}=e^x\times e^y$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $y\in\mathbb{R}$.

\item $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

\item $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $y\in\mathbb{R}$.

\item $(e^x)^n=e^{nx}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb{Z}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative avec les tangentes en 0 et 1}}


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La tangente en 0 a pour coefficient directeur $\exp'(0)=\exp(0)=\mathrm{e}^{0}=1$.

\item La tangente en 1 a pour équation $y=exp'(1)(x-1)+\mathrm{e}^1=\mathrm{e}x$ ; cette tangente passe donc par l'origine.

\item Le fonction $\exp$ est croissante ; l'axe des abscisses est asymptote à $\mathscr{C}$ au voisinage de $-\infty$ puisque $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$.

\item $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\approx 2,7$ et $\mathrm{e}^2\approx 7,4$
\end{enumerate}




\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Courbe représentative de $\boldmath{\exp}$}}
\bigskip

\psset{xunit=1,yunit=0.7}
\begin{pspicture}(-6,-2)(3,10)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-5,0)(5,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,-1)(0,20)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dr](0,0){O}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt](0,0)(-4,0)(3,10)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](-5,-1)(3,10)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5}{2.302585092994046}{2.71828 x exp}
\psdots(1,2.71828)
\uput[l](0,2.71828){e}
\psline[linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)
\psline[linestyle=dashed](1,2.71828)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-0.5,0.5)(0.5,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3,8,155)
\end{pspicture}
\end{center}

%
%\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{ Limites importantes (croissances comparées)}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow-\infty}x\mathrm{e}^x=0$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$

\item $\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n\mathrm{e}^x=0$ pour tout $x\in\mathbb{N}^*$

\end{enumerate}


\end{multicols}\vspace{0.2cm}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstrations :}}
\noindent
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout $x$, $\mathrm{e}^x>x$ donc, pour tout $x>0$,  $\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}>\frac x2$ d'où, puisque $x>0$ $(\mathrm{e}^\frac x2)^2>\left(\frac x2\right)^2$ qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^x=\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{-X}{\mathrm{e}^{-X}}=\lim_{X\rightarrow+\infty}-\frac{X}{\mathrm{e}^X}==\lim_{X\rightarrow +\infty}-\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}}=0$ car $\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}=+\infty$.

\item Pour tout $n\neq0$, on pose $X=\frac{x}{n}$ (et donc $x=nX$). On a alors : $\frac{\mathrm{e}^x}{x^n}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{nX}}{(nX)^n}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{\left(\mathrm{e}^{X}\right)^n}{n^nX^n}\\
=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{1}{n^n}\left(\frac{\mathrm{e}^X}{X}\right)^n.\right]$.
\noindent
$\dfrac{1}{n^n}$ est une constante ; $\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)+\infty$ d'où $\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)^n=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty$.

\item Pour $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}$, on pose $X=-x$.
\noindent
Alors : $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}(-X)^n\mathrm{e}^{-X}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left[(-1)^n\dfrac{X^n}{\mathrm{e}^{X}}\right]=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left[(-1)^n\dfrac{1}{\frac {\mathrm{e}^{X}}{X^n}}\right]\\
=0$ car $\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X^n}\right)=+\infty$
\end{enumerate}

%\subsubsection{\textcolor{blue}{ Approximation affine de $e^h$ pour $h$ proche de 0}}
%Si $h$ est proche de 0, on a : $e^h\approx 1+h$
\noindent
%\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $e^{0,02}\approx 1,02$
\noindent
%
%\noindent \textcolor{red}{\textbf{Remarque :}} Pour tout réel $h$, $e^h=1+h+h\epsilon (h)$, avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon (h)=0$.
\noindent
%\textbf{\textcolor{red}{Conséquence :}} $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}=1$
\noindent

\subsection{\textcolor{red}{Exponentielle d'une fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction $e^u$ est dérivable et a pour dérivée : \\
\noindent
$(e^u)'=u'e^u$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\mathrm{e}^{2x+4}$ ; $f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=2x+3$.
\noindent
$u'(x)=2$ ; $f'=u'\mathrm{e}^{u}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2\mathrm{e}^{2x+3}}}$.

\item $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}$ sur $]0~;~+\infty[$.
\noindent
$f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x^2$.
\noindent
$f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)=2x$  donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2x\mathrm{e}^{x^2}}}$.


\item $f(x)=\mathrm{e}^{\frac1x}$ sur $]0~;~+\infty[$.
\noindent
$f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=\dfrac{1}{x}$.
\noindent
$f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$  donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\mathrm{e}^{\frac1x}}}$.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document} 


