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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Trigonométrie}}\end{center}

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{blue}{Radian}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$ et de rayon 1 unité.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip


Soit $\mathscr{C}$ un cercle trigonométrique, muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\\
Soit $A$ le point tel que $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OA}$ et $\mathscr{D}$ la droite tangente au cercle $\mathscr{C}$ passant par $\mathscr{D}$.\\
Soit I le point de la droite $\mathscr{D}$ tel que AI = 1 (I au-dessus de A).\\
On définit ainsi un repère sur $\mathscr{D}$.\\

\noindent On enroule la droite $\mathscr{D}$ autour du cercle $\mathscr{C}$, la demi-droite supérieure s'enroulant dans le sens inverse de rotation des aiguilles d'une montre, qu'on appelle aussi \textbf{\textcolor{red}{sens direct}} ou sens \textbf{\textcolor{red}{trigonométrique}}.\\
Soit $M$ un point quelconque de $\mathscr{D}$ ; il vient se placer après enroulement en $M'$.\\
La longueur du segment $[AM]$ sur $\mathscr{D}$ est alors égale à longueur de l'arc de cercle $\wideparen{AM'}$\\
Si $AM=x$, la longueur de l'arc de cercle $\wideparen{AM'}$ mesure aussi $x$ unités et l'angle au centre correspondant $\widehat{AOM}$ mesure $x$ radians.\\
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
1 radian est donc la mesure de l'angle au centre d'un arc de cercle de longueur 1 unité.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5}
\begin{pspicture}(-1,-4)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(1,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,1)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(1,-4)(1,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,0)(1,1)
\uput[r](1,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psdots(1,0)\uput[r](1,0){$A$}
\pscircle(0,0){1}
\psdots(1,2)\uput[r](1,2){$M$}
\psdots(-0.416,0.909)\uput[u](-0.416,0.909){$M'$}
\psline{<->}(1.4,0)(1.4,2)\uput[r](1.4,1){$x$}
\psarc[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0){1}{0}{114.59}
\psline[linecolor=blue](1,0)(1,2)
\uput[u](0,1){$x$}
\uput[l](-0.5,-0.87){$\mathscr{C}$}
\uput[l](1,1){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{multicols}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : quand on parcourt un tour de cercle complet de longueur $2\pi$ (périmètre du cercle), l'angle au centre correspondant mesure donc $\mathbf{\textcolor{red}{2\pi}}$ \textbf{\textcolor{red}{radians}}.\\
Par conséquent, on a la correspondance : 360\degre = $2\pi$ radians.\\

\bigskip

Par proportionnalité, on a la correspondance entre degrés et radians :

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\cellcolor{yellow!60}Angle en \degre&0\degre&30degre&45\degre&60\degre&90\degre\\
\hline
\cellcolor{yellow!60}Angle en radians&0 rad&$\dfrac{\pi}{6}$ rad&$\dfrac{\pi}{4}$ rad&$\dfrac{\pi}{3}$ rad&$\dfrac{\pi}{2}$ rad\\
\hline

\end{tabularx}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarques :}} \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la droite $\mathscr{D}$ étant illimitée, quand on l'enroule autour du cercle, elle décrit une infinité de tours de cercle.

\item Tous les points de $\mathscr{D}$ espacés d'une longueur égale à $2\pi$ se retrouvent au même endroit sur le cercle trigonométrique ; à un  même point du cercle trigonométrique correspond donc une infinité d'angles, deux mesures consécutives différant de $2\pi$ radians.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Cosinus et sinus d'un angle $x$, fonctions $\cos$ et $\sin$}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définitions}}


Soit $M$ un point du cercle trigonométrique muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ et soit $x$ une mesure en radians de l'angle $\widehat{AOM}$.\\
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle cosinus de $x$ et sinus de $x$ les coordonnées du point $M$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\\
On note : $M\left(\cos(x)~;~\sin(x)\right)$.\\
On appelle cosinus, notée $\cos$, la fonction $x\mapsto \cos (x)=\cos x$ et sinus, notée $\sin$, la fonction \\
$x\mapsto \sin (x)=\cos x$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarques  :}}\\
À chaque point $M$ du cercle correspondent plusieurs angles ; en effet, quand on enroule la droite $\mathscr{D}$ autour du cercle $\mathscr{C}$, des points viennent se superposer, espacés d'une longueur sur la droite de $2\pi$ ; les angles diffèrent donc de $2\pi$.\\
Si $x$ est une mesure de l'angle en radians, $x+2\pi$ aussi et plus généralement $x+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.\\\\
On écrit souvent $\cos x$ et $\sin x$ à la place de $\cos(x)$ et $\sin(x)$.\\
On a donc $\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$ pour tout $x$ réel.\\
On dit que les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont \textbf{\textcolor{red}{périodiques}}, de période $2\pi$. 

\begin{center}\psset{xunit=4,yunit=4}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0.2){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%cercle
\pscircle(0,0){4}
%Diamètres
\psline(0,-1)(0,1)\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0.5,0.866)
\psarc{->}(0,0){2}{0}{60}
\uput[r](0.2,0.2){$x$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.866)(0.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.866)(0,0.866)
\uput[d](0.5,0){\tiny{$\cos (x)$}}\uput[l](0,0.866){\tiny{$\sin(x)$}}
\uput[u](0.5,0.866){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}


Courbes représentatives des fonctions $\cos$ et $\sin$.

\bigskip

\psset{xunit=1,yunit=3}
\begin{pspicture}(-10,-1.5)(10,1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt](-10,-1)(10,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-10,0)(10,0)\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1)(0,1)%Axes
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-9.42}{9.42}{180 x mul 3.1416 div cos}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=2pt]{-9.42}{9.42}{180 x mul 3.1416 div sin}
\psline	(	1.570796327	,	-0.05	)	(	1.570796327	,	0.05	)
\psline	(	3.141592654	,	-0.05	)	(	3.141592654	,	0.05	)
\psline	(	4.71238898	,	-0.05	)	(	4.71238898	,	0.05	)
\psline	(	6.283185307	,	-0.05	)	(	6.283185307	,	0.05	)
\psline	(	7.853981634	,	-0.05	)	(	7.853981634	,	0.05	)
\psline	(	9.424777961	,	-0.05	)	(	9.424777961	,	0.05	)
\psline	(	-1.570796327	,	-0.05	)	(	-1.570796327	,	0.05	)
\psline	(	-3.141592654	,	-0.05	)	(	-3.141592654	,	0.05	)
\psline	(	-4.71238898	,	-0.05	)	(	-4.71238898	,	0.05	)
\psline	(	-6.283185307	,	-0.05	)	(	-6.283185307	,	0.05	)
\psline	(	-7.853981634	,	-0.05	)	(	-7.853981634	,	0.05	)
\psline	(	-9.424777961	,	-0.05	)	(	-9.424777961	,	0.05	)

\uput[d]	(	1.570796327	,	0	){$\dfrac{\pi}{2}$}
\uput[d]	(	3.141592654	,	-0.05	){$\pi$}	
\uput[d]	(	4.71238898	,	-0.05	){$\dfrac{3\pi}{2}$}	
\uput[d]	(	6.283185307	,	-0.05	){$2\pi$}	


\psline{<-}(-1,-0.83)(-0.5,-1)\uput[d](-0.5,-1){sinus}
\psline{->}(-3.8,-1.2)(-3.5,-0.99)\uput[d](-3.8,-1.2){cosinus}
\end{pspicture}
Remarque : les deux courbes ont la même allure : la courbe représentative de la fonction $\sin$ est celle de la fonction $\cos$, transplantée de $\dfrac{\pi}{2}\overrightarrow{i}$, car $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x$.



\newpage
\subsubsection{\textcolor{blue}{Cercle trigonométrique}}

\psset{unit=1.8}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psset{xunit=3,yunit=3}
%cercle
\pscircle(0,0){3}
%Diamètres
\psline(0,-1)(0,1)\psline(-1,0)(1,0)
%Graduations
\uput[l](-1,0){$\pi$}\uput[r](1,0){$0$}\uput[dl](0.5,0){$\frac12$}\uput[dl](0.707,0){$\frac{\sqrt{2}}2$}
\uput[dl](0.866,0){$\frac{\sqrt{3}}2$}\uput[l](0,0.5){$\frac12$}\uput[l](0,0.707){$\frac{\sqrt{2}}2$}\uput[l](0,0.866){$\frac{\sqrt{3}}2$} 
%Lignes horizontales
\psline[linewidth=2pt](-1,0)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](-0.866,0.5)(0.866,0.5)
\psline[linestyle=dashed](-0.707,0.707)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0.866)(0.5,0.866)
\psline[linestyle=dashed](-0.866,-0.5)(0.866,-0.5)
\psline[linestyle=dashed](-0.707,-0.707)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,-0.866)(0.5,-0.866)
%Lignes verticales
\psline[linewidth=2pt](0,-1)(0,1)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,-0.866)(-0.5,0.866)
\psline[linestyle=dashed](-0.707,-0.707)(-0.707,0.707)
\psline[linestyle=dashed](-0.866,-0.5)(-0.866,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0.5,-0.866)(0.5,0.866)
\psline[linestyle=dashed](0.707,-0.707)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dashed](0.866,-0.5)(0.866,0.5)
%Rayons
\psline(0.866,0.5)
\psline(0.707,0.707)
\psline(0.5,0.866)
\psline(-0.866,0.5)
\psline(-0.707,0.707)
\psline(-0.5,0.866)
\psline(0.866,-0.5)
\psline(0.707,-0.707)
\psline(0.5,-0.866)
\psline(-0.866,-0.5)
\psline(-0.707,-0.707)
\psline(-0.5,-0.866)
%Angles
\uput[r](0.866,0.5){$\frac{\pi}{6}$}
\uput[r](0.707,0.707){$\frac{\pi}{4}$}
\uput[r](0.5,0.866){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[r](0,1){$\frac{\pi}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Propriétés élémentaires}}


Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :


\bigskip


\fbox{\begin{minipage}{18cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-1\leq\cos x\leq1$

\item 
$-1\leq\sin x\leq1$ (abscisse et ordonnée d'un point du cercle trigonométrique )

\item 
$\cos(x+2k\pi)=\cos x$ ($k\in\mathbb{Z}$)

\item 
$\sin(x+2k\pi)=\sin x$ ($k\in\mathbb{Z}$)

\item 
$\cos^2 x+\sin^2 x=1$ car $OM^2=1^2=1$

\item 
$\cos(-x)=\cos(x)$ (par symétrie par rapport à l'axe des abscisses)

\item 
$\sin(-x)=\sin(x)$ (par symétrie par rapport à l'axe des abscisses)

\item 
$\sin(\pi-x)=\sin(x)$ (par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées)

\item 
$\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ (par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées)

\item 
$\cos\left(x+\pi\right)=-\cos(x)$ (par symétrie par rapport à O)

\item 
$\sin\left(x+\pi\right)=-\sin(x)$ (par symétrie par rapport à O)

\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$ (par symétrie par rapport à la première bissectrice)

\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$  (par symétrie par rapport à la première bissectrice)

\item $\sin'(x)=\cos(x)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$

\item $\cos'(x)=-\sin(x)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$

\item $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (plus au programme de Terminale)

\end{enumerate}
\end{minipage}}

\bigskip

$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x$ explique le \og{}déphasage\fg{} de $\dfrac{\pi}{2}$ entre les deux courbes



\newpage
\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Lignes trigonométriques des angles particuliers}}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$&0&$\dfrac{\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{4}$&$\dfrac{\pi}{3}$&$\dfrac{\pi}{2}$\\
\hline
$\sin(x)$&0&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&1\\
\hline
$\cos (x)$&1&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$&0\\
\hline
$\tan(x)$&0&$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$&1&$\sqrt{3}$&non définie\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\noindent Pour trouver ces valeurs, on utilise un triangle isocèle rectangle pour avoir \og{}naturellement\fg{} un angle égal à $\dfrac{\pi}{4}$ et un triangle équilatéral coupé en deux par une hauteur pour avoir \og{}naturellement\fg{} des angles de $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$.

\parbox{8cm}{\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.392156862745 0.}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon(0.,0.)(3.,0.)(0.,3.)
%\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(3.,0.)
%\psline[linecolor=zzttqq](3.,0.)(0.,3.)
%\psline[linecolor=zzttqq](0.,3.)(0.,0.)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0.1]{
\parametricplot{2.356194490192345}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+3.|0.6*sin(t)+0.}
\lineto(3.,0.)\closepath}
\psframe(0,0)(0.5,0.5)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\uput[dl](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,0.)
\rput[bl](3.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,3.)
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$C$}}
\uput[l](2.5,0.3){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}{4}$}}
\end{scriptsize}

\end{pspicture}}
\hfill
\parbox{10cm}{ABC est un triangle rectangle ; les côtés adjacents à l'angle droit mesurent une unité. D'après le théorie de Pythagore, l'hypoténuse mesure $\sqrt{2}$.

Les deux angles aigus mesurent $\dfrac{\pi}{4}$.

On a alors : 

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\textcolor{red}{\times \sqrt{2}}}{\sqrt{2}\textcolor{red}{\times \sqrt{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.}

\bigskip
\parbox{8cm}{\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.392156862745 0.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,3.5)
\pspolygon(0.,0.)(3.,0.)(1.5,2.59807621135)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(3.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,0.)(1.5,2.59807621135)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2.59807621135)(0.,0.)
\psline(1.5,2.59807621135)(1.5,0.)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0.1]{
\parametricplot{0.0}{1.0471975511965976}{0.6*cos(t)+0.|0.6*sin(t)+0.}
\lineto(0.,0.)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0.1]{
\parametricplot{-2.0943951023931957}{-1.570796326794897}{0.6*cos(t)+1.5|0.6*sin(t)+2.59807621135}
\lineto(1.5,2.59807621135)\closepath}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.12,-0.3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,0.)
\rput[bl](3.04,-0.42){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.5,2.59807621135)
\rput[bl](1.58,2.72){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,0.)
\rput[bl](1.58,0.12){\darkgray{$H$}}
\rput[bl](1.68,1.12){$h$}
\rput[bl](0.24,0.08){\qqwuqq{$\frac{\pi}3$}}
\rput[bl](1.34,2.16){\qqwuqq{$\frac{\pi}6$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{10cm}{On considère un triangle $ABC$ de côté 1 ; on note $H$ le pied de la hauteur issue de A

Comme $ABC$ est équilatéral, la hauteur $[CH]$ est aussi médiane et bissectrice.

Le triangle $AHC$ est donc rectangle ; $AH=\dfrac{1}{2}$~;~$AC=1$ et, d'après le théorème de Pythagore, :

$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Les angles aigus du triangle $AHC$ valent $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\widehat{CAH}\right)=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{1}{2}$

\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\widehat{CAH}\right)=\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{CH}{AC}=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{CH}{AC}=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

\end{enumerate}
}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $\cos(u)$ et de $\sin(u)$}}
D'après la formule de dérivation des fonctions composées, on a :\\

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{6cm}
$(\cos(u))'=-u'\sin(u)$\\

\bigskip

$(\sin(u))'=u'\cos(u)$.
\end{minipage}}
\end{center}


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :\\

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\cos(2x+3)$ ; $f=\cos(u)$ avec $u(x)=2x+3$.\\
$f'=-u'\sin(u)$ avec $u'(x)=2$ donc $f'(x)=-2\sin(2x+3)$.

\item $f(x)=\sin\left(x^2\right)$ ; $f=\sin(u)$ avec $u(x)=x^2$.\\
$f'=u'\cos(u)$ avec $u'(x)=2x$ donc $f'(x)=2x\cos\left(x^2\right)$.
\end{enumerate}

\newpage

 


\subsection{\textcolor{red}{Complément hors-programme : pour les futurs élèves de CGPE}}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Utilisation de l'exponentielle complexe pour trouver des formules trigonométriques}}




\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : \fbox{Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x$
}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Lignes trigonométriques de $\mathbf{x+\dfrac{\pi}{2}}$}} :

$\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\frac \pi2+x)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\mathrm{i}(\cos x+\mathrm{i}\sin x)=-\sin x+\mathrm{i}\cos x$.

On en déduit : $\begin{cases}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x\\\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\end{cases}$ en identifiant parties réelles et imaginaires.

\bigskip

\item \textbf{\textcolor{blue}{Lignes trigonométriques de $\mathbf{\dfrac{\pi}{2}-x}$}} :

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\frac \pi 2-x)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}=\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}=\mathrm{i}(\cos x-\mathrm{i}\sin x)=\sin x+\mathrm{i}\cos x$.

On en déduit : $\begin{cases}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\\\\\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\end{cases}$ en identifiant parties réelles et imaginaires.

\bigskip

\item \textbf{\textcolor{blue}{Lignes trigonométriques de $\mathbf{\pi-x}$}} :

$\cos\left(\pi-x\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi-x\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-x)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}=-(\cos x-\mathrm{i}\sin x)=-\cos x+\mathrm{i}\sin x$.

On en déduit : $\begin{cases}\cos\left(\pi-x\right)=-\cos x\\\\\sin\left(\pi-x\right)=\sin x\end{cases}$ en identifiant parties réelles et imaginaires.

\bigskip

\item \textbf{\textcolor{blue}{Lignes trigonométriques de $\mathbf{\pi+x}$}} :

$\cos\left(\pi+x\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi+x\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi+x)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=-(\cos x+\mathrm{i}\sin x)=-\cos x-\mathrm{i}\sin x$.

On en déduit : $\begin{cases}\cos\left(\pi+x\right)=-\cos x\\\\\sin\left(\pi+x\right)=-\sin x\end{cases}$ en identifiant parties réelles et imaginaires.
\end{enumerate}




\textbf{\textcolor{red}{Formule de Moivre (1707)}} (Abraham De Moivre (mathématicien français, 1667-1754))

\bigskip

$\forall x\in\mathbb{R}$, $\boxed{\textcolor{red}{\cos(nx)+\mathrm{i}\sin(nx)=(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^n}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Justification}} : $\cos(nx)+\mathrm{i}\sin(nx)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\right)^n=(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^n$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples d'application :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $n=2$ : $\cos (2x)+\mathrm{i}\sin(2x)=(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^2=\cos^2x-\sin^2x+2\mathrm{i}\cos x\sin x$ d'où $\begin{cases}\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\\\sin(2x)=2\cos x\sin x\end{cases}$.

\item $n=3$ :  $\cos (3x)+\mathrm{i}\sin(3x)=(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^3=\cos^3 x+3\cos^2 x\times \mathrm{i}\sin x+3\cos x\times \mathrm{i}^2\sin^2 x+\mathrm{i}^3\sin^3 x\\
=\cos^3x-3\cos x\sin^2 x+\mathrm{i}\left[3\cos^2x\sin x-\sin^3x\right]$.

On en déduit : 

$\begin{cases}\cos(3x)=\cos^3x-3\cos x\left(1-\cos^2x\right) =\boxed{\textcolor{red}{4\cos^3-3\cos x}}$ (en utilisant $\cos^2x+\sin^2x=1)\\
\sin(3x)=3\cos^2x\sin x-\sin^3x=3\left(1-\cos^2x\right)\sin x-\sin^3x=\boxed{\textcolor{red}{3\sin x-4\sin^3x}}\end{cases}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent Pour les autres valeurs de $n$, même méthode en utilisant la formule du binôme de Newton :

$(a+b)^n=a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+\cdots+b^n$.


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Formules de linéarisation (permettant de calculer des intégrales)}}

On a : $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x$ et $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}=\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}=\cos x-\mathrm{i}\sin x$.

\bigskip

\noindent On en déduit : $\cos x=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}$ et $\sin x=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{i}-\mathrm{i}x}{2\mathrm{i}}$.

\bigskip

Alors :

\bigskip

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\cos^2 x=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)^2=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\right)^2+2+\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)^2}{4}=\dfrac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}+2}{4}=\dfrac{2\cos (2x)+2}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1+\cos (2x)}{2}}}$.

\item $\sin^2x=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)^2=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\right)^2-2+\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)^2}{-4}=\dfrac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}-2}{-4}=\dfrac{2\cos (2x)-2}{-4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-\cos (2x)}{2}}}$.

\item $\cos^3 x=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)^3=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\right)^3+3\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\right)^2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)^2+\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)^3}{8}=\dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}}{8}\\
=\dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}+3\left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right]}{8}=\dfrac{2\cos (3x)+6\cos x}{8}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\cos (3x)+3\cos x}{4}}}$

\item $\sin^3 x=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}\right)^3=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\right)^3-3\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\right)^2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)^2-\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)^3}{-8\mathrm{i}}=\dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}x}-3\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}}{-8\mathrm{i}}\\
=\dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}+3\left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right]}{-8\mathrm{i}}=\dfrac{-2\mathrm{i}\cos (3x)+6\mathrm{i}\sin x}{-8\mathrm{i}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-\sin (3x)+3\sin x}{4}}}$

\item La méthode se généralise \og{}facilement\fg{} aux valeurs ne $n$ suivantes, en regroupant $\mathrm{e}^{\mathrm{i}p\theta}$ avec $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}p\theta}$, mais les calculs deviennent un peu compliqués !

Heureusement, il y a désormais des logiciels de calcul formel qui font désormais les calculs. (exemple xcas qui peut s'utiliser en ligne)


\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  