\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Limites de fonctions}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents



\subsection{\textcolor{red}{Quantificateurs}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Quantificateur existentiel}} : L'expression \og{}il existe\fg{} se note $\exists$ ; Ce symbole ne peut pas se mettre dans une phrase en français ; il ne peut se mettre que dans une expression mathématique, toujours en \textbf{début} :\\
Exemple : il existe un réel $x$ tel que $x^2$ soit strictement positif peut se noter : \\
$\exists x\in\mathbb{R}\slash x^2>0$ 

\item \textbf{\textcolor{red}{Quantificateur universel}} : L'expression \og{}pour tout\fg{} ou \og{}quel que soit\fg{} se note $\forall$ ; Ce symbole ne peut pas se mettre dans une phrase en français ; il ne peut se mettre que dans une expression mathématique, toujours en \textbf{début} :\\
Exemple :pour tout réel $x$,  $\left\vert x \right\vert$ est positif ou nul peut se noter : \\
$\forall x\in\mathbb{R}, \left\vert x \right\vert\geqslant 0$ 

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\newpage



\subsection{\textcolor{red}{Limite infinie en $-\infty$ ou $+\infty$}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Activité A page 162}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définitions}}


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ signifie que tout intervalle $[A;+\infty[$ contient $f(x)$ pour $x$ assez grand.\\
Traduction : 
Pour tout $A>0$, il existe  $x_{0}$ tel que si$x>x_{0}$ alors $f(x)>A$.\\
\textbf{Mathématiquement} : $\forall A>0$, $\exists x_{0}\slash x>x_{0}\Rightarrow f(x)>A$
\end{bclogo}

%\bigskip



\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.06cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-30,-40)(30,40)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-30,-40)(30,40)
\psplot[plotpoints=200]{-30.0}{30.0}{0.5*x*(2+0.5*sin(x))}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](-30,15)(30,15)
\uput[ur](0,15){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\textcolor{red}{Définition équivalente pour $-\infty$.}\\
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ signifie que tout intervalle $[-\infty;A[$ contient $f(x)$ pour $x$ tendant vers $-\infty$.\\
Traduction : $\forall A<0$, $\exists x_{0}$, $x<x_{0}\Rightarrow f(x)<A$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exercice}} : écrire ce que signifie : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$.

\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Asymptote oblique :}} 
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une droite $(d)$ d'équation $y=ax+b$ est asymptote (oblique) à la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ si $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$.\\
Définition identique en $-\infty$).
\end{bclogo}

\bigskip



\textbf{\textcolor{blue}{Exemple : }} $f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x+2}$, avec comme droite $(d)$ d'équation : $y=x+1$.\\
Cette fonction est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Justification}} : $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}$, $f(x)-(x+1)=\frac{x^2+3x+1}{x+2}-(x+1)=\frac{x^2+3x+1-(x+2)(x+1)}{x+2}=\dfrac{x^2+3x+1-\left[(x+2)(x+1)\right]]}{x+2}=\dfrac{x^2+3x+1-x^2-x-2x-2}{x+2}=-\dfrac{1}{x+2}$ qui tend vers 0 quand $x$ tend vers $-\infty$ ou vers $+\infty$.

\bigskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-15,-12)(15,12)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-15,-12)(15,12)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1pt]{-15.0}{-2.001}{(x^2+3*x+1)/(x+2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1pt]{-1.9}{15}{(x^2+3*x+1)/(x+2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-15.0}{15.0}{x+1}
\psline[linestyle=dashed](-2,-12)(-2,12)
\uput[u](6,7){\textcolor{red}{(d)}}
\uput[d](6,7){\textcolor{blue}{$\mathscr{C}$}}
\end{pspicture*}

\bigskip
\noindent \textcolor{blue}{Remarque} : on a vu que $f(x)-(x+1)=-\dfrac{1}{x+2}$ qui est positif pour $x<-2$ et négatif pour $x>-2$, donc la courbe est au-dessus de son asymétriquempote pour $x<-2$ et en dessous pour $x>-2$, ce qu'on voit sur la courbe.

\subsection{\textcolor{red}{Limite finie en $+\infty$ ou $-\infty$ :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
Soit $\ell$ un réel. $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert centré sur $\ell$ $]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.\\
On dit alors que la droite d'équation $y=\ell$ est alors asymptote à $\mathcal{C}_f$.\\
Traduction mathématique : $\forall \alpha>0$, $\exists A>0$, $x>A\Rightarrow f(x)\in]\ell-\alpha;\ell+\alpha[$
\end{bclogo}

\bigskip



\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-5.5)(10,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-5)(10,4)
\psplot[plotpoints=200]{1.0008999999992362E-4}{10.0}{5*ln(x)/x^2+2}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,2)(15,2)
\rput[bl](0.67,-7.61){$f$}
\end{pspicture*}

\end{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}} $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-a}=0$ ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{(x-a)^p}=0$ ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{x-a}}=0$


\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Limite infinie en un réel}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Activité B page 162}}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Définitions}}


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $a\in\mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f$ n'est pas définie en $a$ ($a$ est donc une valeur interdite )et si $f(x)$ prend des valeurs aussi grandes que l'on veut pour $x$ suffisamment proche de $a$.\\
Pour tout $A>0$, $f(x)\in]A~;~+\infty[$ pour $x$ proche de $a$.\\
Plus précisément : $\forall A>0,~\exists\varepsilon>0,~x\in]a-\varepsilon~;~a+\varepsilon[\Rightarrow f(x)>A$
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Interprétation géométrique :}} on a alors une asymptote \og{}verticale\fg{}, droite parallèle à l'axe des ordonnées.\\
C'est le cas de l'exemple précédent : la droite d'équation $x=-2$ est asymptote verticale à la courbe.


\subsection{\textcolor{red}{Limite finie en un réel :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\ell\in\mathbb{R}$ et soit $a\in\mathbb{R}$.\\
$f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ peut être aussi proche que l'on veut de $\ell$ pour $x$ suffisamment proche de $a$.\\
$\forall\varepsilon>0,~\exists\alpha>0,~x\in]a-\alpha~;~a+\alpha[\Rightarrow f(x)\in]\ell-\varepsilon~;~\ell+\varepsilon[$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples : }}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple 1:}} la fonction $x\mapsto x^2$ en $a\in\mathbb{R}$.\\
$\lim_{x\rightarrow a}x^2=a^2$\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple 2}} : soit la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$.\\
Sur $]-\infty~;~0[$, $f(x)=-1$ et sur $]0~;~+\infty[$, $f(x)=1$.\\
$f$ n'a donc pas de limite en 0 (mais admet une limite à gauche et une limite à droite).\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple 3 :}} $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ (bien que 0 soit une valeur interdite). Cela permet éventuellement de prolonger des fonctions non définies en un point. (voir chapitre ultérieur sur la continuité)

\newpage



\subsection{\textcolor{red}{Opérations et limites}}
On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies au voisinage de $\alpha$, $\alpha$ étant, soit un réel $x_0$, soit $-\infty$, soit $+\infty$.

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Addition ou soustraction}}
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : 
\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\cellcolor{cyan!20}Si $f(x)$ a pour limite&$\ell$&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}Si $g(x)$ a pour limite&$\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}alors $f(x)+g(x)$ a pour limite&$\ell+\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}


\subsubsection*{\textcolor{blue}{Produit}}
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : 
\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\cellcolor{cyan!20}Si $f(x)$ a pour limite&$\ell$&$\ell>0$&$\ell<0$&$\ell>0$&$\ell<0$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&0\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}Si $g(x)$ a pour limite&$\ell'$&$+\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$\pm\infty$\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}alors $f(x)\times g(x)$ a pour limite&$\ell\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$-\infty$&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}


\subsubsection*{\textcolor{blue}{Quotient}}
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : 
\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $f(x)$ a pour limite&$\ell$&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&0&$\pm \infty$&0&$\pm \infty$\\
\hline
Si $g(x)$ a pour limite&$\ell\neq 0'$&$\pm\infty$&0&$\ell'$&$\pm\infty$&0&0&$\pm\infty$\\
\hline
alors $\left(\dfrac{f(x)}{ g(x)}\right)$ a pour limite&$\frac{\ell}{\ell'}$&0&$\pm\infty$&$\pm\infty$&0&$\pm\infty$ (si la limite existe)&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit que l'on a une forme indéterminée lorsque la limite n'est pas calculable directement ; il faut alors \og{}travailler\fg{} davantage pour savoir si la fonction a une limite ou pas.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Les quatre \textbf{\textcolor{red}{formes indéterminées} }sont : $\og{} \infty-\infty$~;~$ 0\times \infty$ ~;~ $\frac{0}{0}$ ~;~ $\frac{\infty}{\infty}\fg$.\\
Cela signifie qu'on ne peut pas calculer la limite éventuelle directement à l'aide d'un théorème ; il faut étudier cette limite de façon plus approfondie. Nous allons voir comment dans certains cas.

\subsection{\textcolor{red}{Limite d'un polynôme en $\pm\infty$:}}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^3-2x^2\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow x^3}=/\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}2x^2=+\infty$ ; par soustraction on a une forme indéterminée du type \og{}$-\infty-\infty$\fg{} donc on ne peut pas répondre directement.\\
Astuce : $x^3-2x^2=x^3\left(1-\dfrac{2}{x}\right)$ ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^3-x^2\right)=+\infty}}$.

\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
En cas de forme indéterminée, on calcule la limite à l'infini d'un polynôme en mettant en facteur le terme de plus haut degré.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple }}: calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2-x\right)$.\\
On est bien en présence d'une forme indéterminée du type $\infty-\infty$.\\
Pour $x\neq 0$, $x^2-x=x^2\left(1-\dfrac{1}{x}\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)=1$ car $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$.\\
\textbf{Par produit} : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2-x\right)=+\infty}}$
\end{minipage}

\bigskip

Conseil : vérifier en traçant les courbes correspondant aux expressions à la calculatrice.

\subsection{\textcolor{red}{Limite d'une fraction rationnelle en $\pm\infty$ :}}
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Rappel}} : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
En cas de forme indéterminée, on calcule la limite à l'infini d'une fraction rationnelle en factorisant au numérateur et au dénominateur les termes de plus haut degré.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}}:\\
Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2x^2+3x}{x^4+5}\right)$.\\
Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ donc on a une forme indéterminée.\\
Pour $x\neq 0$, $\left(\dfrac{2x^2+3x}{x^4+5}\right)=\dfrac{x^2\left(2+\dfrac{3}{x}\right)}{x^4\left(1+\dfrac{5}{x^4}\right)}=\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{x^2\left(1+\dfrac{5}{x^4}\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(2+\dfrac{3}{x}\right)=2$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=+\infty$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\dfrac{5}{x^4}\right)=1$.\\
Par produit et quotient, on obtient $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2x^2+3x}{x^4+5}\right)=0}}$
 




\label{fin}
\end{document}  