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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\fbox{\textbf{\textcolor{red}{Géométrie dans l'espace}}}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Positions relatives dans l'espace}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative de deux droites}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Deux droites $d_1$ et $d_2$ peuvent être coplanaires ou non coplanaires.\\
Si elles sont coplanaires (contenues dans le même plan), elles peuvent être sécantes en un point, strictement parallèles ou confondues. Si elles ne sont pas coplanaires, aucun plan ne contient les deux droites. (exemple : certains arêtes d'un cube)
\end{bclogo}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

\noindent\begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}
\begin{pspicture*}(2.4,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.2pt](2.64,2.42)(4.84,1.54)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.3,2.3){$d=d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(a)}: $d=d'$

parallèles, coplanaires.
\end{minipage}
\hspace{-2.1cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linewidth=1.2pt](2.64,2.42)(4.84,1.54)
\psline[linewidth=1.2pt](2.34,1.54)(5.2,2.42)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.1,2.3){$d$}
\rput[bl](4.3,2.3){$d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(b)}: $d$ et $d'$ \emph{sécantes}

$d,d'\subset$ un unique plan.
\end{minipage}
\hspace{-1.5cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linewidth=1.2pt](2.88,2.6)(5.08,1.72)
\psline[linewidth=1.2pt](2.38,2.1)(4.58,1.22)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.7,2.32){$d$}
\rput[bl](3.45,1.28){$d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(c)}: $d$ et $d'$ \emph{parallèles strictes}

$d,d'\subset$ dans un unique plan.
\end{minipage}
\hspace{-1.5cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=gray](4.22,1.43)(4.56,2.52)
\psline[linewidth=1.2pt](2.88,2.6)(5.08,1.72)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=gray](4.94,3.74)(4.56,2.52)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x](4.56,2.52)
\rput[bl](3.7,2.32){$d$}
\rput[bl](4.46,3.26){\gray{$d'$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(d)}: $d$ et $d'$ non coplanaires 

 $d$ et $d'$ ni sécantes, ni parallèles
\end{minipage}




\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative de deux plans}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Deux plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_2$ de l'espace sont soit sécants, soit parallèles.\\
S'ils sont sécants, l'intersection est une \textbf{droite}.\\
S'ils sont parallèles, ils sont distincts ou confondus.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans sécants :\\une droite d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](3.5,3)(5,3)(4,0)(0,0)(1,3)(1.5,3) 
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](1.5,3)(3.5,3)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](3.17,0)(3,-0.5)(1,1.5)(2,4.5)(3.5,3)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](3.5,3)(4,2.5)(3.17,0)
         \rput(2.1,3.9){\textcolor{red}{$P_2$}}
         \psline(2.3,-0.5)(3.7,3.7)
         \rput(3.8,3.9){$d$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans strictement parallèles :\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](0.35,1)(0,0)(4,0)(5,3)(4.7,3)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](4.7,3)(1,3)(0.35,1)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \pspolygon[linecolor=red](0,1)(4,1)(5,4)(1,4) 
         \rput(1.2,3.6){\textcolor{red}{$P_2$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans parallèles confondus :\\un plan d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(1,0.3){$P_1=P_2$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative d'une droite et d'un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Une droite $\mathscr{D}$ et un plan $\mathscr{P}$ sont soit sécants, soit parallèles.\\
S'ils sont sécants, ils n'ont qu'un point commun.\\
S'ils sont parallèles, $\mathscr{D}$ est incluse dans $\mathscr{P}$ ou ils n'ont aucun  point commun.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan sécants :\\un point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](1,3.3)(2,1.5)
         \psdot[dotstyle=+,dotscale=2](2,1.5)
         \rput(2.3,1.8){$A$}
         \psline[linecolor=red, linestyle=dashed](1.5,2.4)(3,-0.3)
         \rput(3.1,0.4){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan parallèles :\\droite incluse dans le plan
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](0.8,0)(4,3)
         \rput(3,2.5){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan parallèles :\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \psline[linecolor=red](3,-0.5)(1,3.5)
         \rput(2.6,-0.3){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques :}} \\
Pour définir un plan, il faut trois points distincts, ou une droite et un point extérieur à la droite, ou deux droites sécantes ou strictement parallèles.




\subsection{\textcolor{red}{Règles d'incidence}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Propriété fondamentale}}
Dans un plan de l'espace, toutes les propriétés fondamentales de la géométrie plane s'appliquent.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{itemize}
      \item Deux droites de l'espace sont \textbf{parallèles} si elles sont coplanaires et non sécantes,
      \item Deux plans de l'espace sont \textbf{parallèles} lorsqu'ils ne sont pas sécants,
      \item    Une droite et un plan de l'espace sont \textbf{parallèles} lorsqu'ils ne sont pas sécants.
\end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{itemize}

\item Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles,.

\item  Si deux droites sécantes d'un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan $\mathscr{Q}$ alors les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont parallèles,


\item Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles,

\item   Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
  \end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip

\psset{unit=0.7}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=red](0.5,0)(2.9,2)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2.9,2)(4,3)
         \rput(1.4,0.3){\textcolor{red}{$d_1$}}
         \psline[linecolor=blue](1.3,2)(4.25,0.75)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0.75,2.25)(1.3,2)
         \rput(4.1,1.3){\textcolor{blue}{$\delta_1$}}
         \psline[linecolor=red](0.5,2)(4,5)
         \rput(1.4,2.3){\textcolor{red}{$d_2$}}
         \psline[linecolor=blue](0.75,4.25)(4.25,2.75)
         \rput(4.1,3.3){\textcolor{blue}{$\delta_2$}}
         \psline(0.7,2)(0,0)(4,0)(5,3)(4.5,3)
         \psline[linestyle=dotted](4.5,3)(1,3)(0.7,2)
         \rput(0.5,0.3){$P$}
         \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
         \rput(1.2,4.6){$Q$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](0.35,1)(0,0)(4,0)(5,3)(4.7,3)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](4.7,3)(1,3)(0.35,1)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P$}}
         \psline[linecolor=red](0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,4)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
         \rput(0.5,1.3){\textcolor{red}{$Q$}}
         \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
         \rput(0.5,2.3){$R$}
      \end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(6,5.5)
         \psline(0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,4)
         \psline[linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
         \rput(0.5,1.3){$P$}
         \psline(1.8,5)(1,5)(0,2)(4,2)(5,5)(2.5,5)
         \psline[linestyle=dotted](1.8,5)(2.5,5)
         \rput(1.2,4.7){$Q$}
         \psline[linecolor=red](3.17,1)(3,0.5)(1,2.5)(2,5.5)(2.5,5)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](2.5,5)(4,3.5)(3.17,1)
        \rput(1.4,2.7){\textcolor{red}{$R$}}
         \psline[linecolor=blue](2.3,0.5)(2.8,2)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.8,2)(3.7,4.7)
         \rput(3.9,4.3){\textcolor{blue}{$d$}}
         \psline[linecolor=blue](1.3,1.5)(2.7,5.7)
         \rput(2.8,5.3){\textcolor{blue}{$\delta$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Théorème du \og toit \fg{}}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Théorème}}
Si on a :
\begin{itemize}
\item deux droites parallèles $d$ et $d'$;
\item un plan P contenant $d$;
\item un plan Q contenant $d'$;
\item P et Q sécants selon une droite $\delta$.
\end{itemize}
Alors, l'intersection $\delta$ des deux plans est parallèle aux droites $d$ et $d'$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\begin{center}
\psset{unit=1}
   \begin{pspicture}(7,6.1)
      \psline[linecolor=red](3.5,0.5)(7,4) 
      \psline(4,1)(2,4)(1,1)
      \psline[linestyle=dashed](3.5,3.5)(4.5,6.5)
      \psline(4.5,6.5)(6.5,3.5)
      \psline[linecolor=red](0.5,0.5)(2.8,2.8) 
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2.8,2.8)(4.2,4.2)
      \psline[linecolor=red](1.3,3.3)(5,7)
      \rput(1.3,0.6){\textcolor{red}{$d_1$}}
      \rput(4.3,0.6){\textcolor{red}{$d_2$}}
      \rput(1.5,4){\textcolor{red}{$\delta$}}
      \rput(1.7,2.1){$P$}
      \rput(4.1,1.7){$Q$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration }: }

\textbf{Raisonnons par l’absurde}.  On considère que $\delta$ n’est pas parallèle à $d_1$ ce qui entraine que $\delta$ n’est pas parallèle à $d_2$.\\
Soit $\overrightarrow{v}$ un vecteur directeur de $\delta$.Comme $d_1$ et $d_2$ sont parallèles, on appelle $\overrightarrow{u}$ leur vecteur directeur. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Comme $\delta$ n’est pas parallèle à $d_1$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires donc, comme $\delta$ est contenue dans P, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont des vecteurs directeurs du plan $P$. 

\item Comme $\delta$ est aussi contenue dans $Q$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont aussi des vecteurs directeurs du plan $Q$.

\item On en déduit que les plans $P$ et $Q$ sont parallèles, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse que $P$ et $Q$ sont sécants.\\
Par conséquent, $\delta$ est donc parallèle à $d_1$ et $d_2$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Orthogonalité dans l'espace}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Droite perpendiculaire à un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Dans un plan $\mathscr{P}$, soient deux droites $d_1$ et $d_2$ sécantes en $A$ et une droite $\Delta$.\\
On suppose que la droite $\Delta$ est perpendiculaire en $A$ à $d_1$ et en $A$ à $d_2$.\\
Alors, la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Deux droites sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un même point sont perpendiculaires.

\item Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle elle est orthogobale à \textbf{toutes} les droites de ce plan.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Feux droites sont orthogonales si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur est orthogonal à une base de ce plan
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère une droite orthogonale à un plan.\\
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé \textbf{\textcolor{red}{vecteur normal à ce plan}}.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété admise}}
Une droite est orthogonale à un plan si elle orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
\end{bclogo}



\subsection{\textcolor{red}{Vecteurs de l'espace}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Translations}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Définition}
Si $A$ et $B$ sont deux points de l'espace, la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est la transformmation qui, à tout point $C$, associe le point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ .
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $E$ et $F$ deux points de l'espace, $\overrightarrow{u}$ un vecteur de l'espace et $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.\\
Si $E'$ et $F'$ sont les images par $t$ de E et $F$, alors $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{E'F'}$
\end{bclogo}

Démonstration :\\
$t(E)=E'\Leftrightarrow \overrightarrow{EE'}=\overrightarrow{u}$.\\
$t(F)=F'\Leftrightarrow \overrightarrow{FF'}=\overrightarrow{u}$.\\
En utulisant la relation de Chasles, $\overrightarrow{E'F'}=\overrightarrow{E'E}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FF'}=-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{EF}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} :  $ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le centre du carré $BCGF$.\\
On note $K$ l'image de $I$ par la translation $t_{\overrightarrow{AC}}$ (translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$).\\
Montrons que $I$ est le milieu de $[AK]$.

\bigskip

Par définition de $K$, on a $\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{AC}$. On en déduit que $ACKKF$ est un parallélogramme.\\
Ses diagonales ont alors le même milieu.\\
Or, $I$ étant le centre du carré $BCGF$, $I$ est le milieu de la diagonale $[CF]$ du carré, donc le diagonale du parallélogramme $ACKF$.\\
$I$ est alors le milieu de l'autre diagonale de ce parallélogramme, $[AK]$.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colonéaires lorsqu'il existe un réel $k$ non nul tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.\\
Remarque ; on a alors $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{k}\overrightarrow{v}$
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{¨\textcolor{red}{Propriété}}
Soient trois points $A$, $B$ et $C$ de l'espace deux à deux distincts.\\
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : \\
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$  ont la même direction, donc les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles ; comme elles ont un point commun, elles sont confondues et les trois points sont alignés.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère quatre points $O$, $A$, $B$, $C$ distincts de l'espace.\\
On définit les vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{OC}$.\\
On dit que ces trois vecteurs sont coplanaires lorsque les quatre points $O$, $A$, $B$, $C$ sont coplanaires (donc appartiennent à un même plan).
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires (ainsi $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas nuls).\\
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}$.
\end{bclogo}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteurs linéairement indépendants et base de l'espace}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Séfinition}}
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l'espace et trois réels $a$, $b$ et $c$.\\
Ces trois vecteurs sont linéairement indépendants lorsqu'ils ne sont pas coplanaires, autrement dit lorsque :\\
$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{c}+c\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}\Rightarrow a=b=c=0$\\
On dit alors que ces trois vecteurs forment une base de l'espace.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$ une base de l'espace.\\
Pour tout vecteur $\widehat{w}$ de l'espace, il existe trois réels $x$, $y$ et $z$ tels que $\overrightarrow{w}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}+z\overrightarrow{w}$.\\
Cette décomposition est donc unique.\\On dit que $(x~;~y~;~z)$ sont les coordonnées de $\overrightarrow{w}$ dans cette base.
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Repère de l'espace}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Coordonnées d'un point}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un repère de l'espace est défini par un point $O$ (origine) et une base $\left(\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. Le repère est noté $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$\\
Pour tout point $M$, il existe un unique triplet $(x~;~y~;~z)$ tel que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.\\
$(x~;~y~;~z)$ sont les coordonnées de $M$ ; on écrit $M(x~;~y~;~z)$.
\end{bclogo}



\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Coordonnées d'un vecteur}}
Soient $A\left(x_A~;~y_A~;~z_A\right)$ et $B\left(x_B~;~y_B~;~z_B\right)$ deux points de l'espace.\\
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\begin{pmatrix}x_B=x_A\\y_B=y_A\\z_B=z_A\end{pmatrix}$ (elles se notent verticalement !)
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $A\left(x_A~;~y_A~;~z_A\right)$ et $BF\left(x_B~;~y_B~;~z_B\right)$ deux points de l'espace.\\
Les coordonnées du port $I$, milieu de $[AB]$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}~;~\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Représentation paramétrique d'une droite}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit une droite $d$ passant par $A(x_A;y_A,z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. 

Les coordonnées $(x;y;z)$ de tout point $M$ de $d$ sont de la forme :\\
$\begin{cases}x=x_A+ka\\y=y_A+kb\\z=z_A+kc\end{cases}$.\\
C'est ce qu'on appelle  représentation paramétrique de $d$.

\textbf{\textcolor{red}{Réciproque}} : évidente
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :  $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, d'où $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$. on en déduit le résultat en considérant les coordonnées.

%\subsection{\textcolor{red}{Représentation paramétrique d'un plan}}
%
%On suppose que l'espace est muni d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
%
%Soit $\mathscr{P}$ un plan défini par un point $A\left(x_A~;~y_A~;~z_A\right)$ et deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}$ non colinéaires.
%
%Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point quelconque du plan $\mathscr{P}$.
%
%Il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}+t'\overrightarrow{v}$.
%
%En terme de coordonnées :
%
%$\begin{cases}x-x_A=at+a't'\\y-y_A=bt+b't'\\z-z_A=ct+c't'\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=x_A+at+a't'\\y=y_A+bt+b't'\\z=z_A+ct+c't'\end{cases}$ qu'on appelle représentation paramétrique du plan $\mathscr{P}$.

\subsection{\textcolor{red}{Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace}}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Orthogonalité}}



\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux droites sont orthogonales lorsque deux parallèles respectives passent par un même point sont perpendiculaires.\\
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.

\item Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux droites sont orthogonales si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à une base de ce plan.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $d$ une droite orthogonale à un plan $\mathscr{P}$.\\
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal à ce plan. 
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Produit scalaire}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace.\\
On définit leur produit scalaire par : 
\[\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert\times \vert\vert \overrightarrow{v} \vert\vert\times \cos\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)\]
Lorsque l'un des vecteurs est nul, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $ABCD$ un tétr	aèdre régulier de côté 4.\\
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)=4\times 4\times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=4\times 4\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{8}}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Différentes façons de calculer le produit scalaire}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

\item Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.

\item Un repère orthonormal dans l'espace étant choisi, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}$, alors : \\
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=aa'+bb'+cc'$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

Les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs de l'espace sont les mêmes que celles de deux vecteurs du plan.
En particulier : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}$.


\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Géométrie analytique}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Distance dans l'espace}}
Une base oorthonormale de l'espace est $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$ avec $\left\vert \left\vert i \right\vert \right\vert=\left\vert \left\vert j \right\vert \right\vert=\left\vert \left\vert k \right\vert \right\vert=1$ et $\overrightarrow{I}\cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{I}\cdots \overrightarrow{k}=0$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, on considère les points $A\left(x_A~;~y_A~;~z_A\right)$ et $zB\left(x_zB~;~y_zB~;~z_zB\right)$.\\
Alors $AB=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(yy_B-x_B\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}$.\\
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$, $\left\vert \left\vert \overrightarrow{u} \right\vert \right\vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
\end{bclogo}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Équation d'une sphère}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Dans un repère orthonormé, la sphère $\mathscr{S}$ de centre $A$ et de rayon $r$ a pour équation 
\[\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2+\left(z-z_A\right)^2=r^2\]
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Justification}} : $M(x~;~y~;~z)\in\mathscr{S}\Leftrightarrow AM=r\Leftrightarrow AM^2=r^2\Leftrightarrow \left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2+\left(z-z_A\right)^2=r^2$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Équation cartésienne d'un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'espace est muni d'un repère orthonormé.\\
Soit $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et soit un point $A\left(x_A~;~yy_A~;~z_A\right)$.\\
Une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est
\[a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)+c\left(z-z_A\right)=0.\]
Si l'un des trois nombres $a$, $b$ ou $c$ est non nul, $ax+by+cz+d=0$ est l'équation d'un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.
\end{bclogo}

Démonstration : $M(x~;~y~;~z)\in\mathscr{P}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ d'où le résultat.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples} :}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Projection orthogonale d'un point sur un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{P}$ un plan de vecteur moral $\overrightarrow{n}$ et soit $M$ un point extérieur au plan.\\
Le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathscr{P}$ est l'intersection de $\mathscr{P}$ et de la droite passant par $M$ ayant $\overrightarrow{n}$ comme vecteur directeur.
\end{bclogo}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère une droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$et un point $M$ extérieur à cette droite.\\
Le projeté orthogonal de $M$ sur cette droite $d$ est l'intersection du plan normal à $\overrightarrow{u}$ passant par $M$ avec la droite $d$.
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Distance d'un point à un plan}}
Soient $\mathscr{P}$ un plan et $A$ un point.\\
La distance de $A$ à $\mathscr{P}$  notée $d(A~;~\mathscr{P})$ est la plus petite des distances $AM$ où $M\in\mathscr{P}$.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$d(A~;~\mathscr{P})=AH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{P}$.
\end{bclogo}

Remarque :  $A\in\mathscr{P}=0\Leftrightarrow d(A~;~\mathscr{P})=0$.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\mathscr{P}$ un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ et soit $A\left(x_A~;~y_A~;~z_A\right)$ un point.\\
$d(A\mathscr{P})=\dfrac{\left\vert ax_A+by_A+cz_A \right\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
\end{bclogo}

\label{fin}
\end{document} 