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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les probabilités conditionnelles}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Extrait bac ES centres étrangers juin 2019}}
On s'intéresse à la clientèle d'un musée. 

Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée. 

Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 70\,\% des clients achètent leur billet sur internet; 
\item[$\bullet~~$] parmi les clients achetant leur billet sur internet, 
35\,\% choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ; 
\item[$\bullet~~$] parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55\,\% choisissent une visite avec un audioguide. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ : \og Le client choisit une visite avec un audioguide \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$]$B$ : \og Le client achète son billet sur internet avant sa visite \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $0,41$. 
\item On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide. 

Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site Internet du musée. 

D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac S Polynésie septembre 2002}}
Une compagnie d'assurance automobile fait un bilan des frais d'intervention,
 parmi ses dossiers d'accidents de la circulation. 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $85\:\%$ des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 
\item[$\bullet~$] $20\:\%$ des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. 
\item[$\bullet~$] $12\:\%$ des dossiers entraînant des frais de réparation
 matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels.
\end{itemize}

\noindent Soit les évènements suivants  :

R : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle 

D : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels.

\begin{enumerate}
\item En utilisant les notations R et D, exprimer les trois
pourcentages de l'énoncé en termes de probabilités ; les résultats seront donnés
sous forme décimale.

\item Calculer la probabilité pour qu'un dossier :	

\begin{enumerate} \item entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ;
		
\item entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;

\item entraîne seulement des frais de dommages corporels ;

\item n'entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages
 corporels ;

\item entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu'il entraîne des
 frais de dommages corporels.
 
 \end{enumerate}

\item On constate que $40\:\%$ des dossiers traités correspondent à des excès
 de vitesse et parmi ces derniers $60\:\%$ entraînent des frais de dommages
 corporels. 

\begin{enumerate}
 \item On choisit un dossier ; quelle est la probabilité pour que ce dossier
 corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ? 

\item On choisit cinq dossiers de façon indépendante. Quelle est la probabilité 
pour qu'au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne
 des frais de dommages corporels.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Bac S Antilles Guyane septembre 2002}}
\begin{enumerate} \item Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_1=\frac12$ et par la
relation de récurrence :\begin{equation*}u_{n+1}=\frac16u_n+\frac13.
\end{equation*}

\begin{enumerate} \item     Soit la suite $(v_n)$ définie pour $n\geqslant 1$ par
	$v_n=u_n-\frac25$ ; montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique
	dont on précisera la raison.
\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction  de $n$ puis celle de
$u_n$.

\end{enumerate}

\item On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois 
faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges
et deux faces blanches.\\
On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde
le m\^eme dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le
dé et ainsi de suite.\\
On désigne par $A_n$ l'évènement
\og on utilise le dé A au $n$-ième lancer \fg{},\\ par
$\overline{A_n}$ l'évènement contraire de $A_n$, \\
par $R_n$ l'évènement \og on obtient rouge au $n$-ième lancer
\fg{},\\
par $\overline{R_n}$ l'évènement contraire de $R_n$, \\
par $a_n$ et $r_n$ les probabilités respectives de $A_n$ et $R_n$.

\begin{enumerate} \item Déterminer $a_1$.

\item Déterminer $r_1$. Pour cela, on pourra s'aider d'un arbre.

\item En remarquant que, pour tout $n\geqslant 1$, \\
$R_n=\left(R_n\cap
R_n\right)\cup\left(R_n\cap \overline{R_n}\right)$, montrer que
\[r_n=-\frac16a_n+\frac23.\]

\item Montrer que, pour tout $n\geqslant 1$,\\ $A_{n+1}=\left(A_n\cap
R_n\right)\cup\left(\overline{A_n}\cap \overline{R_n}\right)$.

\item En déduire que, pour tout $n\geqslant 1$,\\ $a_{n+1}=\frac16a_n+\frac13$,
puis déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire l'expression de $r_n$ en fonction de $n$ puis la limite
de $r_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  