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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices de révision (récurrence, limites)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Démontrer, par récurrence, que, pour tout $n\geqslant 1$, \[n!\geqslant 2^{n-1}.\]
 (rappel : $n!$ est le produit des nombres entiers compris entre 1 et $n$)

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et \\
$u_{n+1}=3u_n+2$ pour tout $n$.\\
Montrer que, pour tout $n$, $u_n=4\times 3^n-1$.

\subsection{}%Déclic \no 52 page 73
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ dont on donne le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{-2}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Dresser, en justifiant, les tableaux de variation des fonctions $-f$, $\left\vert f \right\vert$, $f^2$ et $\dfrac{1}{f}$.


\columnbreak

\subsection{}
Déterminer la limite en $+\infty$ dans chacun des cas suivants :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=(2-\sin x)x^2$

\item $f(x)=\dfrac{3x}{\cos x-3}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-3~;~3\right\}$ par : \[f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer, si elle existe, $\lim_{x\rightarrow 3}f(x)$.

\item Démontrer que la courbe représentative de $f$ $\mathscr{C}$ admet des asymptotes dont on donnera les équations.
\end{enumerate}



\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{1-3x}{x^2+x}.\]
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de $f$ à la calculatrice. Conjecturer la limite de $f$ en 0 et en $+\infty$, ainsi que ses variations.

\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.

\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item Vérifier les conjectures.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ?}}
Soit $f$ une fonction dont le tableau de variation est le suivant :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&1&&2&&4&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{1}&\dh&\m{0}&\db&\mI&\bb&\h{\pI}&\dh&\m{0}&\db&-3&\cb&\m{0}&\ch&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x)=1$ admet une unique solution.

\item L'équation $f(x)=-3$ admet une unique solution.

\item L'imge par $f$ de l'intervalle $]0~;~4]$ est l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\item Le signe de $f$ est donné par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&0&&1&&4&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\bb&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  