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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale S : devoir sur feuille \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Nouvelle-Calédonie mars 2008
Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10\:\%
 n'ont pas survécu, 75\:\%
  deviennent rouges et les 15\:\% restant deviennent gris.
\item[$\bullet~$] pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5\:\% n'ont
pas survécu, 65\:\% deviennent rouges et les 30\:\% restant deviennent gris.
\end{itemize}
Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60\:\% au premier éleveur, 40\:\% au second.
\begin{enumerate}
\item  Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de
deux mois.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de $0,92$.
		\item   Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
		\item   Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier élevage ?
 	\end{enumerate}
\item Une personne choisit au hasard et de façon indépendante $5$ alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item  L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne $1$~euro si le poisson est rouge, $0,25$~euro s'il est gris et perd $0,10$~euro s'il ne survit pas.

	 Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par
poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique, arrondie au centime.
 \end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{}%\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie novembre 2007}
\label{courbe}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 
\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'équation $y = - x - 1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. On a représenté sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ un nombre réel. \' Ecrire, en fonction de $a$, une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$.
\item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b - a = - 1$.
\item En déduire une construction, à effectuer sur l'annexe, de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera apparaître le point $N$ correspondant.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le signe de $f$.
\item En déduire pour tout entier naturel non nul $n$ les inégalités suivantes :
\[(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad 
\text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}\]
\item En utilisant l'inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
\[\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}\]
\item En utilisant l'inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
\[\text{e} \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}\]
\item Déduire des questions précédentes un encadrement de 
\[ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n, \]
puis sa limite en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane juin 2013
\label{courbes}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que:
\[
f(x) = (x + 1)\text{e}^x.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\smallskip

On définie la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:

\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ du plan.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
\item  Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
\end{enumerate}
\item On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathscr{C}_0$, $\mathscr{C}_{\mathrm{e}}$, et $\mathscr{C}_{-\mathrm{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).\\
Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.

\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à  la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{}%\textcolor{blue}{Liban mai 2013}

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$ 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme \index{algorithme} affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

\medskip

\hspace{-1cm} 
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ 
$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
~&&&&\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ 
$v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à  $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ 
Pour $i$ variant de $1$ à  $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à  $n$ faire\\ 
\hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\  
Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\
Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\
&&&&Afficher $v$\\
\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\  \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{footnotesize}

\item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.  
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. 
 
La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B Recherche de la limite de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath

\medskip

On considère la suite\index{suite} $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.$
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ 
\item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\Huge
\begin{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Annexe à l'}} \ref{courbe}
\end{center}

\normalsize
\begin{center}
\psset{unit=1.714cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-4,-4)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3,6)
\psplot{-4}{2.222}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
\psline(-4,3)(3,-4) \uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1.1,1){$(\mathcal{C})$} \uput[ur](2,-3){$(D)$}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\Huge
\begin{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Annexe à l' \ref{courbes}}}
\end{center}

\normalsize
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
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\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\end{pspicture*}

\label{fin}
\end{document}  