\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices \no 1 (récurrence)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
 On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 4$ et pour tout $n \geq 1$, $u_{n+1}=\frac14u_n+6$. Montrer que, pour tout n, on a :  $u_n=-\left(\frac14\right)^{n-1}+8$.


\subsection{}
 On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+35}$ .
 
 Montrer par récurrence sur $n$ que cette suite est croissante et majorée par 7.


\columnbreak

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $u_0=2$ et pour tout $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$.

Montrer que, pour $n\in\mathbb{N}$, $2\leqslant u_n\leqslant 3$.

\subsection{}
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'entier $3^{2n}-2^n$ est un multiple de 7.

\subsection{}
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{5u_n-1}{4u_n+1}\end{array}\right.$.\\
Montrer que $u_n\neq\dfrac12$ pour tout $n$.


\end{multicols}

%%%%%%%%
%\setcounter{subsection}{0}
%\vspace{1cm}
%
%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices \no 1 (récurrence)}}\end{center}
%
%
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%
%\subsection{}
% On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 4$ et pour tout $n \geq 1$, $u_{n+1}=\frac14u_n+6$. Montrer que, pour tout n, on a :  $u_n=-\left(\frac14\right)^{n-1}+8$.
%
%
%\subsection{}
% On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+35}$ .
% 
% Montrer par récurrence sur $n$ que cette suite est croissante et majorée par 7.
%
%\subsection{}
%Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $u_0=2$ et pour tout $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$.
%
%Montrer que, pour $n\in\mathbb{N}$, $2\leqslant u_n\leqslant 3$.
%
%\subsection{}
%Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'entier $3^{2n}-2^n$ est un multiple de 7.
%
%\subsection{}
%On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{5u_n-1}{4u_n+1}\end{array}\right.$.\\
%Montrer que $u_n\neq\dfrac12$ pour tout $n$.
%
%
%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  