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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Nombres complexes : TD \no 1}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soient les deux nombres complexes $z_1=1-4\mathrm{i}$ et $z_2=1+\mathrm{i}$.\\
Donner la forme algébrique de $z_1z_2$, $\dfrac{z_2}{z_1}$, $z_2-z_1$ et $\dfrac{1}{z_1}-\dfrac{1}{z_2}$.



\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.

Montrer que $(a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab$.

\item Calculer $(1+\mathrm{i})^2$, $(1+\mathrm{i})^3$ et $(1+\mathrm{i})^4$.

\item En déduire la valeur de $(1+\mathrm{i})^n$ pour $n$ entier naturel.

\columnbreak

\item On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $j^2$ puis $j^3$.

\item En déduire $j^n$ selon les valeurs de $n$.
\end{enumerate}

\item Trouver (astucieusement) la forme algébrique de $\dfrac{1}{j}$.

\item Donner(avec un minimum de calculs) la valeur de $1+j+j^2$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes et écrire les solutions sous forme algébrique :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{i}z-1=7\mathrm{i}$

\item $z=3+\mathrm{i}z$

\item $5\mathrm{i}-z=3\mathrm{i}z+1$

\item $2\mathrm{i}+3z=(1+\mathrm{i})z+1$
\end{enumerate}


\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}
\vspace{1cm}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Nombres complexes : TD \no 1}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
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\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soient les deux nombres complexes $z_1=1-4\mathrm{i}$ et $z_2=1+\mathrm{i}$.\\
Donner la forme algébrique de $z_1z_2$, $\dfrac{z_2}{z_1}$, $z_2-z_1$ et $\dfrac{1}{z_1}-\dfrac{1}{z_2}$.



\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.

Montrer que $(a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab$.

\item Calculer $(1+\mathrm{i})^2$, $(1+\mathrm{i})^3$ et $(1+\mathrm{i})^4$.

\item En déduire la valeur de $(1+\mathrm{i})^n$ pour $n$ entier naturel.

\columnbreak

\item On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $j^2$ puis $j^3$.

\item En déduire $j^n$ selon les valeurs de $n$.
\end{enumerate}

\item Trouver (astucieusement) la forme algébrique de $\dfrac{1}{j}$.

\item Donner(avec un minimum de calculs) la valeur de $1+j+j^2$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes et écrire les solutions sous forme algébrique :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{i}z-1=7\mathrm{i}$

\item $z=3+\mathrm{i}z$

\item $5\mathrm{i}-z=3\mathrm{i}z+1$

\item $2\mathrm{i}+3z=(1+\mathrm{i})z+1$
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  