\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices sur les limites de suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n\geqslant 1$ par \[u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}.\]
\begin{enumerate}
\item Soit $n\geqslant 1$. Justifier que, pour tout $k$ avec 

$1\leqslant k\leqslant n$, on a : $\dfrac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

\item En déduire que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_{n}\geqslant \sqrt{n}$.

\item En déduire la limite de la suite $\left(_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Étudier $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\sin n}{n+1}\right)$.

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier.

\begin{enumerate}
\item Si une suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0, alors la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$ tend vers $+\infty$.

\item Si une suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$, alors la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$ converge vers $0$.

\item Si une suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0, alors la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=nu_n$ converge vers $0$.

\item Si une suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$ et si une suite $\left(v_n\right)$ est convergente, alors la suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_n=u_nv_n$ tend vers vers $+\infty$.
\end{enumerate}

%\columnbreak
\subsection{}
Dans chacun des cas suivants, trouver une suite $\left(u_n\right)$ et une suite $\left(v_n\right)$ telles que :

\begin{enumerate}
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$~;~$\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$ 


et $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_nv_n=+\infty$.

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$~;~$\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$ 

et $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_nv_n=5$.

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$~;~$\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ 

et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n+v_n\right)=+\infty$.

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$~;~$\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ 

et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n+v_n\right)=5$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par :  
$u_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$,$u_{n+1}=\frac{3+2u_n}{2+u_n}.$ 
\begin{enumerate} 
\item Calculer les quatre premiers termes de la suite. 

\item   Prouver par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant1$.

\item Démontrer que la suite est majorée par $\sqrt{3}$.

\item Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

\item On considère la suite $(v_n)$ définie par :  
pour tout $n\in\mathbb{N}$,\\
$v_n=\frac{u_n-\sqrt{3}}{u_n+\sqrt{3}}.$

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont 
  on donnera le premier terme et la raison.
  
\item Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$  
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  