\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lhead{DS TS1-2-3}
\rhead{Lycée Maurice Genevoix - 7 décembre 2019}

\begin{document}
\vspace*{\stretch{1}}
\begin{center}
\textbf{\huge Devoir surveillé de mathématiques}

\textbf{\LARGE Terminale S -  Durée 4h}

\textbf{\LARGE Calculatrices autorisées}
\end{center}
\vspace*{\stretch{1}}

\begin{center}
\textit{\large Ce sujet comporte 4 exercices indépendants répartis sur 5 pages numérotées de 1/5 à 5/5. La dernière page est une annexe à rendre avec la copie, même non complétée.\\ Pour toutes les questions, la précision et la clarté des raisonnements sera prise en compte dans la notation. Toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, sera valorisée.\\}
\end{center}

\vspace*{\stretch{1}}

\clearpage

\vfill

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ par \index{suite}

\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_{0}& =& 2\\ 
\text{et pour tout entier naturel }n, u_{n+1} &=& \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n.
\end{array}\right.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline 
$u_{n}$	&2	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
		\item D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n} \geqslant  \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.$
 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant  0$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item \emph{On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite } $\left(u_{n}\right)$.
 
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n} = u_{n} - 10 \times  0,5^n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le  
premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
		\item En déduire, que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = - 8 \times  \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times  0,5^n.$ 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant  0,01$.
\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
\textbf{Initialisation :}& $n \gets 0$\\
& $u \gets 2$\\  
\textbf{Traitement :}&Tant que ...\hfill (1)\\  
	&\hspace{0,5cm} $n \gets $ ... 	\hfill(2)\\ 
	&\hspace{0,5cm} $u \gets $ ... 	\hfill(3)\\ 
&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}&Afficher $n$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
\textbf{Partie A}\\
Soit la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=2x^3-3x^2-1.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $u$.
\item Démontrer que l'équation $u(x)=0$ a une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et que $1<\alpha<2$.
\item En déduire le signe de $u(x)$ selon les valeurs de $x$.
\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}.$
\begin{enumerate}
  \item Déterminer les limites de $f$ en $-1$ et en $+\infty$.
  \item Montrer que $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left(1+x^3\right)^2}$.
  \item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$
  \item En remarquant que $2\alpha^3-3\alpha^2-1=0$, montrer que $f(\alpha)=\dfrac{2(1-\alpha)}{3(1+\alpha^2)}$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}\\
Soit les fonctions $g$ et $h$ définies sur  $\mathbb{R}^*$ par : $g(x)=x^2\left(1-\dfrac{1}{x}\right) \text{~~et~~} h(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right).$
\begin{enumerate}
  \item Conjecturer avec une calculatrice les positions des courbes  représentatives des fonctions $g$ et $h$.
  \item Montrer que $g(x)-h(x)=\dfrac{u(x)}{2x}$ puis, dresser un tableau de signes de $(g-h)(x)$ sur $\mathbb{R}^*$.\par
Le résultat est-il  conforme à la conjecture ?
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
\label{espace}
\textbf{Les parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}\\

Soient M et N deux points de l'espace.\\  Le \textbf{plan médiateur} d'un segment [MN] de l'espace est l'ensemble des points de l'espace P équidistants de M et N ; c'est donc l'ensemble des points P de l'espace tels que MP = NP.\\

Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. Le point I est le milieu du segment [BF]. \\Le point J est le milieu du segment [BC]. Le point K est le milieu du segment [CD].\\
Une figure ci-dessous représente la situation. \\
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{ccttqq}{0.8 0.2 0}
\newrgbcolor{ccwwqq}{0.8 0.4 0}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(8,8)
\psline(0,0)(3.86,-1.04)%[AB]
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.28,2.29)%[AD]
\psline[linestyle=dashed](7.14,1.26)(3.28,2.29)%[CD]
\psline(3.86,-1.04)(7.14,1.26)
\psline(0,4)(3.86,2.96)
\psline(3.86,2.96)(7.14,5.26)
\psline(3.28,6.29)(7.14,5.26)
\psline(0,4)(3.28,6.29)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(3.86,-1.04)(3.86,2.96)
\psline(7.14,1.26)(7.14,5.26)
\psline[linestyle=dashed](3.28,2.29)(3.28,6.29)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,4)(3.86,0.96)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](3.86,0.96)(5.5,0.11)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](0,4)(3.28,2.29)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](5.5,0.11)(3.28,2.29)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](-0.26,0.1){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,-1.04)
\rput[bl](3.88,-1.32){\darkgray{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.28,2.29)
\rput[bl](3.18,1.94){\darkgray{$D$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.14,1.26)
\rput[bl](7.22,1.38){\darkgray{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$E$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,2.96)
\rput[bl](3.94,3.08){\darkgray{$F$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.14,5.26)
\rput[bl](7.22,5.38){\darkgray{$G$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.28,6.29)
\rput[bl](3.36,6.42){\darkgray{$H$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,0.96)
\rput[bl](3.94,1.08){\darkgray{$I$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.5,0.11)
\rput[bl](5.58,0.24){\darkgray{$J$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.21,1.78)
\rput[bl](5.28,1.9){\darkgray{$K$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray,dotscale=3](3.57,2.63)
\rput[bl](3.66,2.74){\darkgray{$L$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\vfill

\textcolor{red}{\textbf{Partie A : construction d'une section}}\\

Construire la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJE) sur la figure fournie en annexe. On laissera les traits de construction apparents. Aucune justification n'est demandée.\\

\vfill

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : démonstration d'une propriété de l'espace.}}\\

On souhaite démontrer ici la proposition $\mathcal{P} : $
\begin{center}
\fbox{\parbox{0.9\linewidth}{
\textbf{Proposition $\mathcal{P}$}\\
Soient M et N deux points de l'espace. Soient P et Q deux points du plan médiateur du segment [MN].\\La droite (PQ) est orthogonale à la droite (MN).}}
\end{center}

Soient P et Q deux points du plan médiateur d'un segment [MN]. Soit I le milieu du segment [MN]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite (MN) est orthogonale à la droite (PI).
\end{enumerate}
 On admet que la droite (MN) est orthogonale à la droite (QI).
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item En déduire que la droite (MN) est orthogonale au plan (PQI).
\item En déduire la proposition $\mathcal P$.
\end{enumerate}

\vfill

\textcolor{red}{\textbf{Partie C : Une application}}\\
Le plan est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}; \overrightarrow{\text{AB}}; \overrightarrow{\text{AD}}; \overrightarrow{\text{AE}}\right)$. On considère à nouveau le cube défini précédemment.

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que A et G appartiennent au plan médiateur de [IJ].
		\item On admet de même que A et G appartiennent au plan médiateur de [JK]. En utilisant la propriété $\mathcal{P}$ énoncée à la partie B, montrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (IJK).
 	\end{enumerate}
\item  On appelle L le centre du cube ABCDEFGH. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points L, I, J et K sont coplanaires.\\

\textcolor{red}{Honte à moi, je ne vois pas comment montrer que IL, I, J et K sont coplanaires !}

\item Vérifier que les points A, L et G sont alignés puis calculer le volume du tétraèdre AIJK.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
\label{fonctparam}
\textbf{Uniquement pour les élèves qui ne suivent pas l'enseignement de spécialité}\\
Soit $n$ un entier naturel. On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $I = [0;1]$ par $f_n(x) = \frac{1-nx^2+x^3}{1+x^2}$. \\On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère du plan. Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$. \\
Le graphique donné en annexe représente la droite $\mathcal{D}$ et les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n \in \lbrace 0;1;2;3;4\rbrace$.\\En considérant ce graphique, il semble que  $\mathcal{C}_n$ et $\mathcal{D}$ s'intersectent en un unique point $M_n(x_n,x_n)$.\\Le but de cet exercice est d'étudier la suite $(x_n)$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Conjecturer le sens de variation de la suite $(x_n)$. Expliquer la démarche.
\item La suite $(x_n)$ semble-t-elle être convergente ?
\end{enumerate}


\item \textbf{Dans cette question, on suppose que $n = 0$.} On s'ntéresse donc à la fonction $f_0$ définie sur $I$ par $f_0(x) = \frac{1+x^3}{1+x^2}$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f_0(x) = x$ sur l'intervalle $I$.
\item En déduire que $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{D}$ ont un unique point d'intersection $M_0$ dont on déterminera les coordonnées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Dans toute la suite, on admet que la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}_n$ ont un unique point d'intersection $M_n$ et on note $x_n$ l'abscisse de $M_n$. }

Soit $n$ un entier naturel non nul.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
%\item On s'intéresse à la fonction $g_n$ définie sur $I$ par $g_n(x) = f_n(x)-x$.
%\begin{enumerate}
%\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g_n$. 
%\item En déduire qu'il existe un unique réel $x_n$ appartenant à l'intervalle $[0;1]$ tel que $g_n(x_n) = 0$.
%\item On admet que $g_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{-\sqrt{n}}{n+1}$. En déduire que la suite $(x_n)$ converge vers 0.
%\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E_n)~;~ nx^2+x-1 = 0$ sur l'intervalle $I$.
\item Déterminer deux réels $a_n$ et $b_n$ tels que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f_n(x) = x-a_n + \frac{b_n-x}{1+x^2}$.\\ On exprimera $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
\item Montrer que l'équation $f_n(x) = x$ est équivalente à l'équation $(E_n)$.
\item Exprimer alors $x_n$ en fonction de $n$. 
\item En déduire le sens de variation de la suite $(x_n)$ et sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vfill

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
\textbf{Uniquement pour les élèves qui suvent l'enseignement de spécialité}
\phantom{Rien}
\begin{enumerate}
\item On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que  

\[\left\{\begin{array}{l !{\equiv} l r}
N& 5	&(13)\\
N& 1	&(17)
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que 239 est solution de ce système.
		\item Soit $N$ un entier relatif solution de ce système.
		
		Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N = 1 + 17x = 5 + 13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant la relation $17x - 13y = 4$.
		\item Résoudre l'équation $17x - 13y = 4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
		\item En déduire qu'il existe un entier relatif  $k$ tel que $N = 18 + 221k$.
		\item Démontrer l'équivalence entre $N \equiv 18 \quad (221)$ et 
		$\left\{\begin{array}{l !{\equiv} l r}
N& 5&(13)\\
N& 1&(17)
\end{array}\right.$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il un entier naturel $k$ tel que $10^k \equiv 1 \quad (17)$ ?
		\item Existe-t-il un entier naturel $l$ tel que $10^l \equiv 18 \quad (221)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace*{\stretch{1}}

\clearpage

\lhead{Nom-Prénom :  }
\rhead{Classe : \hspace*{2cm}}
\cfoot{7 décembre 2019 - DST - Terminale S - Mathématiques\\
Page \thepage/\pageref{fin}\\
}

\begin{center}
\textbf{\LARGE \textcolor{red}{Annexe à rendre avec la copie}}
\end{center}

\noindent \textcolor{blue}{ANNEXE À L'} \ref{espace}

Construire la section du cube par le plan (IJE).
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{ccttqq}{0.8 0.2 0}
\newrgbcolor{ccwwqq}{0.8 0.4 0}
\psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(8,8)
\psline(0,0)(3.86,-1.04)%[AB]
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.28,2.29)%[AD]
\psline[linestyle=dashed](7.14,1.26)(3.28,2.29)%[CD]
\psline(3.86,-1.04)(7.14,1.26)
\psline(0,4)(3.86,2.96)
\psline(3.86,2.96)(7.14,5.26)
\psline(3.28,6.29)(7.14,5.26)
\psline(0,4)(3.28,6.29)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(3.86,-1.04)(3.86,2.96)
\psline(7.14,1.26)(7.14,5.26)
\psline[linestyle=dashed](3.28,2.29)(3.28,6.29)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,4)(3.86,0.96)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](3.86,0.96)(5.5,0.11)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](0,4)(3.28,2.29)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](5.5,0.11)(3.28,2.29)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](-0.26,0.1){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,-1.04)
\rput[bl](3.88,-1.32){\darkgray{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.28,2.29)
\rput[bl](3.18,1.94){\darkgray{$D$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.14,1.26)
\rput[bl](7.22,1.38){\darkgray{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$E$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,2.96)
\rput[bl](3.94,3.08){\darkgray{$F$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.14,5.26)
\rput[bl](7.22,5.38){\darkgray{$G$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.28,6.29)
\rput[bl](3.36,6.42){\darkgray{$H$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,0.96)
\rput[bl](3.94,1.08){\darkgray{$I$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.5,0.11)
\rput[bl](5.58,0.24){\darkgray{$J$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.21,1.78)
\rput[bl](5.28,1.9){\darkgray{$K$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray,dotscale=3](3.57,2.63)
\rput[bl](3.66,2.74){\darkgray{$L$}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\noindent \textcolor{blue}{ANNEXE À L'} \ref{fonctparam}\\
\textbf{Ne concerne que les candidats qui ne suivent pas l'enseignement de spécialité}

Représentation graphique des courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, 
$\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$ et de la droite d'équation $y = x$.
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=10]{BB1_fn.png}
%\end{center}

\psset{unit=6,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.2)(1.5,1.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.2)
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{(1+x^3)/(1+x^2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{0.0}{1.0}{(1-x^2+x^3)/(1+x^2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{0.0}{1.0}{(1-2*x^2+x^3)/(1+x^2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=orange]{0.0}{1.0}{(1-3*x^2+x^3)/(1+x^2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=purple]{0.0}{1.0}{(1-4*x^2+x^3)/(1+x^2)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{x}
\rput[tl](0.5,1.01){$\mathscr{C}_0$}
\rput[tl](0.5,0.78){$\mathscr{C}_1$}
\rput[tl](0.45,0.64){$\mathscr{C}_2$}
\rput[tl](0.49,0.41){$\mathscr{C}_3$}
\rput[tl](0.3,0.5){$\mathscr{C}_4$}
\uput[u](0.2,0.2){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture*}

\label{fin}
\end{document}