\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint,ulem}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Devoir sur feuille \no 5}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Centres étrangers (Pondichéry) 2019
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points  d'affixes 1, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés.

Sur le graphique fourni en fin d'exercice,  le point A a pour affixe 1. 

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A: étude d'exemples}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Un premier exemple} }

Dans cette question, on pose  $z = \text{i}$. 

	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme algébrique des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.\index{ecriture algébrique@écriture algébrique} 
		\item Placer les points $N_1$ d'affixe $z^2$, et $P_1$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné enfin d'exercice. 

On remarque que dans ce cas les points A, $N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Une équation}  

Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d’inconnue $z$ :\: $z^2 + z + 1 = 0$.
\item \textbf{\textcolor{blue}{Un deuxième exemple}}

Dans cette question, on pose :  $z = - \dfrac{1}{2}
 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
 	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.\index{ecriture exponentielle@écriture exponentielle} 
		\item Placer les points $N_2$ d'affixe $z^2$ et $P_2$, d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.

On remarque que dans, ce cas les points A, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

Soit $z$ un nombre complexe non nul. 

On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Établir que, pour tout  nombre complexe différent de $0$, on a : 

\[z^2 - \dfrac{1}{z} = \left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right).\]

\item On rappelle que si, $\overrightarrow{U}$ est un vecteur non nul et $\overrightarrow{V}$ un vecteur d’affixes respectives $z_{\overrightarrow{U}}$ et $z_{\overrightarrow{V}}$, les vecteurs  $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un  nombre réel $k$ tel que  $z_{\overrightarrow{V}} = k z_{\overrightarrow{U}}$.\index{vecteurs colinéaires}

En déduire que, pour $z \ne  0$,  les points A, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est un réel.
\item On pose $z = x+ \text{i}y$, où $x$ et $y$ désignent des nombres réels.

 Justifier que : $z^2 + z + 1 = x^2 - y^2 + x + 1 + \text{i} (2xy + y)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z \ne 0$ tels que les points A,  $N$ et $P$ soient alignés. 
		\item Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné ci-dessous. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=3cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.6,-1.4)(1.6,1.4)
\psgrid[gridlabels=0]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-1.6,-1.4)(1.6,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle[linewidth=1.5pt](0,0){1}
\uput[d](.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}%Antilles 2019
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse,
en justifiant la réponse.

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On considère le nombre complexe $c = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$  et les points S et T d'affixes  respectives $c^2$ et $\dfrac{1}{c}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Affirmation 1 :}}

Le nombre $c$ peut s'écrire $c = \dfrac{1}{4}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$.
\item \textbf{\textcolor{blue}{Affirmation 2 :}}

Pour tout entier naturel $n$,\: $c^{3n}$ est un nombre réel.
\item \textbf{\textcolor{blue}{Affirmation 3 :}}

Les points O, S et T sont alignés.\index{points alignés}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Affirmation 4 :}}

Pour tout entier naturel non nul $n$,

\[|c| + \left|c^2 \right| + \ldots + \left|c^n \right| = 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n.\]
\end{enumerate}

\subsection{}%Amérique du Nord mai 2013
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\overrightarrow{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
		\item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique \\
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$. 
		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Antilles septembre 2013
	Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que : 

\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\medskip
 
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Étude du cas} \boldmath $k = 1$\unboldmath }

\medskip

On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera. 
\item Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}$. 
\item Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : 

\[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\]
 
est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$. 
\item Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 

\item (\textbf{\textcolor{red}{question à ne pas traiter}})) \sout{Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$. }
\end{enumerate} 

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Propriétés graphiques} }

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à  $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère.
 
\begin{center}
\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(1.4,0.65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(-0.25,-0.19)(1.39,0.65)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{1.4}{2 x mul  2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-0.1}{1.4}{10 x mul  2.71828 x 10 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.1}{1.4}{3 x mul  2.71828 x 3 mul exp div}
\psplot{-0.1}{1.4}{3 x mul}
\uput[l](0.17,0.5){$T$}\uput[dl](0.28,0.18){$\mathcal{C}_{a}$}
\uput[d](0.68,0.26){$\mathcal{C}_{b}$}
\uput[ur](0.9,0.3){$\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes 
$\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point.
\item  
	\begin{enumerate}
			\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a 
			
			\[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
			 
			\item Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum. 
			\item En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche. 
			\item Écrire une équation de la tangente à  $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère. 
			\item En déduire à  l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  