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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Polynésie septembre 2008
\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Les parties A et B sont indépendantes}.} \end{center}

\medskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\
On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\mathbb{N}$ et vérifiant la relation suivante :\\
pour tout entier naturel $n$ non nul, \[x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}.\]

\begin{enumerate}
\item  On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\mathbb{N}$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.\\
Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.\\
En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).\\

On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\mathbb{N}$ par une relation de la forme :
\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n\] où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.

\item  On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).\\
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que \\
$u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.\\
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n.\]

\item  Determiner $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
$v_{0} =  6$ et, pour tout entier naturel $n$,  \[v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = 1,4x - 0,05x^2.\]
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\\
 0 \leqslant  <v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
	\end{enumerate}

\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $n\geqslant 2$ un entier fixé (quelconque) et soit $f_n$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f_n(x)=\dfrac{1+x^n}{(1+x)^n}.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $f_n$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et calculer $f_n'(x)$.

\item Montrer que $f_n'(x)=\dfrac{n(1+x)^{n-1}\left(x^{n-1}-1\right)}{(1+x)^{2n}}$.

\item \'Etudier le signe de $f_n'(x)$ et montrer que $f_n$ atteint un minimum que l'on déterminera.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item En déduire l'inégalité suivante : \[(1+x)^n\leqslant 2^{n-1}\left(1+x^n\right).\]

\item En déduire que, si $x$ et $y$ sont des réels positifs, \[(x+y)^n\leqslant 2^{n-1}\left(x^n+y^n\right).\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Un chirurgien orthopédique commande des prothèses chez trois fabricants A, B et C. le tiers des prothèses provient de A, 30\:\%  provient de B et le reste provient de C.\\
La proportion de prothèses défectueuses est de 0,3\:\% chez A, de 0,6\:\% chez B et de 0,5\:\% chez C.\\
On prend au hasard la fiche d'un patient qui s'est fait poser une prothèse chez ce médecin.\\
Quelle est la probabilité que cette prothèses soit défectueuse ?

\columnbreak
\subsection{}
On sait que 1\:\% d'une population est atteinte  d'une certaine maladie orpheline.\\
On dispose de test de dépistage de cette maladie ainsi que des données suivantes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si la personne est atteinte de cette maladie, alors le test est positif dans 90\:\% des cas.

\item si la personne n'est pas atteinte par cette maladie, alors le test est néanmoins positif dans 5\:\% des cas.
\end{enumerate} 
On choisit une personne au hasard.\\
On note :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item M l'événement : \og{} La personne est malade.\fg.

\item T l'événement : \og{} Le test est positif.\fg.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}

\item Traduire les hypothèses en termes de probabilités.

\item Faire un arbre pondéré représentant la situation.

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(M \cap T)$ et $p\left(\overline{M} \cap T\right)$.

\item Calculer $p(T)$.
\end{enumerate}

\item Quelle est la probabilité qu'une personne soit réellement atteinte par cette maladie sachant que son test est positif ?

\item Quelle est la probabilité qu'une personne ne soit pas atteinte par cette maladie sachant que son test est positif ?

\item Quelle est la probabilité qu'une personne soit  atteinte par cette maladie sachant que son test est négatif ?
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
Soit $a\geq 1$ un nombre réel. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=a$ et $ u_{n+1}=\frac12\left(\frac a{u_n}+u_n\right)$.\\
On désire calculer une valeur approchée de $\sqrt{a}$ (méthode de Héron d'Alexandrie, mathématicien grec du 1\ier{} siècle après J.C.).\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Première partie}}\\

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right).\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

\item En déduire que, pour tout $x\in\left[\sqrt{a}~;~a\right]$ : \\
$f(x)\in\left[\sqrt{a}~;~a\right]$.

\item 
\begin{enumerate}

\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 

\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée par $\sqrt{a}$.

\item En déduire que la suite $\left(u_{n }\right)$ est convergente.
\end{enumerate}

\item Montrer que la limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$.  En déduire $\ell$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Deuxième partie(facultative) : vitesse de convergence}}\\

\noindent On prend désormais $\mathbf{a=2}$ et on pose $v_{n}=u_{n}-\sqrt{2}$.\\
\emph{$v_{n}$ mesure donc l'écart entre $u_{n}$ et $\sqrt{2}$}.

\begin{enumerate}

\item Montrer que $v_{n+1}=\frac{v_n^2}{2u_n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item Prouver par récurrence que $v_n\leq \frac 1{2^{2^n}}$ pour tout entier $n\geq 1$.

\item %Majorer l'écart entre $u_3$ et $\sqrt{2}$ par une puissance de $10$.
\`A l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'itérations on est sûr que $u_{n}$ est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-9}$ près.

%\item Donner une valeur de $n$ ‡ partir de laquelle $u_n$ approche $\sqrt{2}$ avec au moins 1000 décimales exactes. $\left(v_n<10^{-1000}\right)$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  