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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}

\begin{center}
\emph{\og{}La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques.\fg{} (Blaise Pascal)}
\end{center}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

\item Quelle conjecture peut-on faire quant  la formule explicite de $u_n$ ?

\item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(_n\right)$ définie pour tout entier nature $n$ non nul dont on donne quelques termes :\\
$u_1=0,1$~;~$u_2=0,12$~;~$u_3=0,123$~;~\\
$u_{10}=\numprint{0,12345678910}$~;~$u_{11}=\numprint{0,1234567891011}$.
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $u_5$ et de $u_{13}$.

\item Démontrer que cette suite est convergente.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}
Dire pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
\begin{enumerate}
\item Si $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0$ et $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=0$, alors 
$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.

\item Si $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1$ et $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=1$, alors 
$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.

\item Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0$, alors\\ 
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(f(x)-g(x)\right)=0$.

\item Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$, alors 
$\lim_{x\rightarrow 1}\left(f(x)-g(x)\right)=0$.

\item Si $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=+\infty$, alors 
$\lim_{x\rightarrow 1}\left(f(x)-g(x)\right)=-\infty$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Bac Métropole septembre 2013
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 
\[u_{0} = 2\quad  \text{et pour tout entier naturel } n,\: u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}.\] 

On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} > 0$.

\begin{enumerate}



\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$. On pourra en donner une valeur approchée à  $10^{-2}$ près. 
		\item Vérifier que si $n$ est l'un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alors $u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$. 
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+ 1} - 1 = \dfrac{- u_{n} + 1}{ 2u_{n} + 1}. \]
		
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$	
	\end{enumerate} 

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 

	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout entier naturel $n, 
 v_{n+1} = \dfrac{- u_{n} + 1}{3u_{n} + 3}$. 

		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
		
En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} =  \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
		  
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $u_n$ la suite définie sur N* par :  \[u_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.\\

\item Démontrer que pour $m\geqslant 1$, $u_{2m}-u_{m}\geqslant \frac{1}{2}$ [1]\\

\item  Écrire l'inégalité [1] successivement pour $m = 1$, $m = 2$, $ m=4$, 
$m=8$, \ldots, $m=2^{n-1}$ puis additionner membre à membre ces 
inégalités.

\begin{enumerate}
\item En déduire que $u_{2^n}\geqslant 1+\frac{n}{2}$.

\item En déduire que la suite u n'est pas majorée et déterminer la limite de la suite u.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Amérique du Nord mai 2014 (extrait)
\label{espace}
On considère un cube ABCDEFCH donné en annexe, page suivante (à rendre avec la copie). 

On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que $\overrightarrow{\text{HP}} =\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{HG}}$. 

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A: Section du cube par le plan (M NP) }}


\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.

Construire le point L 

\item On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection. 

On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersection. 

Construire les points Tet Q en laissant apparents les traits de construction. 

Construire l'intersection des plans (MNP) et (ABF). 

\item En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP). 

\end{enumerate}

\end{multicols}


\newpage

\begin{center}
\Huge\textbf{\textcolor{blue}{ Annexe à l'exercice \ref{espace}}}
\end{center}

\normalsize
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5,6)
%\psline{->}(0,0)(1.5,1.5)
\psline(0,0)(3,0)
\psline(3,0)(4.5,1.5)
\psline[linestyle=dashed](4.5,1.5)(1.5,1.5)
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%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
\uput[d](3,0){\blue{$B$}}
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\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.75,3.75)(3.75,2.25)(2.25,4.5)
\end{pspicture*}
\end{center}





\label{fin}
\end{document}  