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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TD : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}

\emph{Les mathématiques, bien considérées, sont douées non seulement de justesse, mais aussi de suprême beauté – Bertrand Russel}


\subsection{\textcolor{blue}{Avec une suite auxiliaire }}%math'x page 122



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{1}{2}x+3$ et la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=-5$, et 
pour tout $n\geqslant 0$, \[u_{n+1} = f\left(u_n\right)\].
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $y=x$.

\begin{enumerate}

\item Construire $\mathscr{C}_f$ et $\Delta$ dans un repère, avec \\
$-6\leqslant x\leqslant 8$ et $-1\leqslant y\leqslant 8$.
\item Construire à l'aide du graphique précédent les premiers termes de la suite sur \textbf{l'axe des abscisses}.\\ 
Conjecturer le sens de variation et la limite de $\left(u_n\right)$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) =\alpha$ (point fixe de $f$).

\item Que représente $\alpha$ graphiquement ? 
\end{enumerate}

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v _n = u_n - \alpha$, pour tout $n\in\mathbb{N}$.\

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique.\\
Indication : \emph{on pourra utiliser $f(\alpha)=\alpha$, c'est-à-dire $\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+3$}.

\item En déduire $v_n$ en fonction de $n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 

\end{enumerate}

\item Démontrer alors les conjectures faites à la question 2. 

\end{enumerate}

\subsection{}%Déclic \no 77page 36
La suite $u$ est définie par $u_n=\dfrac{2n^2-3\sin n}{n^2+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée de $u_{10}$ et de $u_{100}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{2n^2+3}{n^2+1}$.

\item En déduire la limite de la suite $u$.
\end{enumerate}

\item Justifier que, pour tout entier $n$ : \[\dfrac{-5}{n^2+1}\leqslant u_n-2\leqslant \dfrac{1}{n^2+1}.\]

\item À partir de quel rang $N$ sommes-nous certains que pour tout $n\geqslant N$, la distance entre $u_n$ et 2 est inférieure ou égale à $10^{—2}$ ?

\item A-t-on $u_n\leqslant 2$ pour tout entier $n\in\mathbb{N}$ ?


\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection{}%Bac Asie joint 2013
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : 

\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] 
  
\begin{enumerate}

\item Démontrer que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :

\[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.


\newpage

 
\begin{enumerate}
\item 

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c |l|}\hline
 Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
Initialisation &Affecter ‡ $u$ la valeur 2\\ \hline 
\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 ‡ $n$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
&FIN POUR\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$u$&\footnotesize\np{1,0083}&\footnotesize\np{0,9973}&\footnotesize\np{1,0009}&\footnotesize\np{0,9997}&\footnotesize\np{1,0001}&\footnotesize \np{0,99997}&\footnotesize\np{1,00001}&\footnotesize \np{0,999996}&\footnotesize \np{1,000001}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. 
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$. 
		\item montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{\og{}un peu plus difficile\fg{}}}%http://xmaths.free.fr/TS/exos/TSsuitexE4.pdf
%correction : http://xmaths.free.fr/corrections/rWnzQDB553.pdf



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par : \\
$u_0= 2$   et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $      v_n=\dfrac{2}{u_n}$     et     $u_{n+1}=\dfrac{u_n+ v_n}{2}$
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$~;~$u_1$~;~$v_1$~;~$u_2$~;~$v_2$.\\
Donner les résultats sous forme de fraction irréductible.

\item En utilisant un tableur ou une calculatrice, donner un tableau de valeurs décimales approchées de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ variant de 1 à 5.

\item Démontrer que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont majorées par 2 et minorées par 1.

\item Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$,   \[u_{n+1}- v_{n+1}=\dfrac{\left(u_n- v_n\right)^2}{2\left(u_n+ v_n\right)}\hspace{1cm}(1).\]
\emph{on pourra remarquer que, pour tout $n$, $\left(v_n\right)$, on a $u_nv_n=2$}

\item Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$,  $u_n\geqslant v_n$.

\item Montrer que  $\left(u_n\right)$ est décroissante et $\left(v_n\right)$ croissante.

\item Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n-v_n\leqslant 1$   et en  déduire que   $\left(u_n-v_n\right)^2\leqslant u_n- v_n$.     (2)

\item Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[u_{n+1}-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{4}\left(u_n-v_n\right)\]  (on pourra utiliser les relations (1) et (2) ).\\
En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n-v_n\leqslant \dfrac{1}{4^n}$.

\item Montrer que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont convergentes et qu'elles ont la même limite $\ell$.

\item Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ? 

\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  