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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD suites \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite strictement positive, convergente de limite $\ell$. Alors $\ell=0$.

\item Si pour tout $n>1$, $-1-\dfrac{1}{n}\leqslant v_n\leqslant  1+\dfrac{1}{n}$, alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.

\item Si $\left(u_n\right)$ n'est pas minorée, alors elle est majorée.

\item Si $\left(u_n\right)$ prend un nombre fini de valeurs, alors elle est convergente.

\item Si $\left(u_n\right)$ est strictement positive et strictement croissante, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2010}}
On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 

\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 \[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$. 

		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 

		\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 

		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 

\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 
\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_{0}$. 

		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 

		\item En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N},~ w_{n+1} = w_{n} + 2$. 

		\item Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 

\item Montrer que pour tout entier naturel $n$
\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}.\]
 
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : 
\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}

\end{multicols}


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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD suites \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
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\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite strictement positive, convergente de limite $\ell$. Alors $\ell=0$.

\item Si pour tout $n>1$, $-1-\dfrac{1}{n}\leqslant v_n\leqslant  1+\dfrac{1}{n}$, alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.

\item Si $\left(u_n\right)$ n'est pas minorée, alors elle est majorée.

\item Si $\left(u_n\right)$ prend un nombre fini de valeurs, alors elle est convergente.

\item Si $\left(u_n\right)$ est strictement positive et strictement croissante, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2010}}
On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 

\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 \[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$. 

		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 

		\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 

		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 

\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 
\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_{0}$. 

		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 

		\item En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N},~ w_{n+1} = w_{n} + 2$. 

		\item Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 

\item Montrer que pour tout entier naturel $n$
\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}.\]
 
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : 
\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}


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\label{fin}
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