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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les variables aléatoires}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Un sac contient des billes dorées et argentées. On tire successivement et avec remise, trois billes de ce sac.\\
 $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de billes dorées obtenues.\\
 Écrire en notation mathématique l'événement :

\begin{enumerate}
\item On obtient une seule bille dorée.

\item On obtient au moins deux billes dorées. 
\end{enumerate}

\subsection{}
Une association sportive organise une loterie. Parmi les \numprint{1000} billes vendus :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item un billet rapporte un gain de 100 \euro.

\item dix billets rapportent chacun un gain de 50 \euro.

\item cent billets rapportent chacun un gain de 10 \euro.
\end{enumerate}
Le prix du billet est vendu 2 \euro.\\
La variable aléatoire $G$ associe à chaque billet choisi au hasard le gain algébrique de l'acheteur.

\begin{enumerate}[a)]
\item Quelles sont les valeurs prises par $G$ ?

\item Calculer $P(G=-2)$.

\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer mentalement l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire donnée par le tableau suivant :
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
a&1&2\\
\hline
$P(X=a)$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{3}{4}$\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{}
Afin de fidéliser sa clientèle, un commerçant décide de distribuer, au hasard, 200 bons de réduction à ses clients : 50 bons de 2 \euro{}, 50 bons de 5 \euro{}, 70 bons de 10 \euro{} et 10 bons de 50 \euro.\\
On tire au hasard un bon parmi les 200.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.

\item Calculer et interpréter l'espérance de $X$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Voici les règles d'un jeu de hasard.\\
Le joueur mise 3 \euro{} puis lance un dé équilibré à 6 faces.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item S'il obtient un chiffre pair, le joueur reçoit, en euros, le double du chiffre obtenu.

\item S'il obtient 1 ou 3, le joueur reçoit 1 \euro.

\item Sinon, il ne reçoit rien.
\end{enumerate}
$X$ est le gain algébrique du joueur.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?

\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.

\item Calculer puis interpréter son espérance.
\end{enumerate}

\subsection{}% Magnard 1ere 2019 age 313
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d'appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.\\
Il a constaté, lors d'une précédente promotion, que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 20\:\% des clients achètent l'appareil photo en promotion.

\item 70\:\% de clients qui achètent l'appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion.

\item 60\:\% des clients n'achètent ni l'apparition photo en promotion ni la carte mémoire en promotion.\\
On suppose qu'un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en promotion.\\
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item  Un client entre dans le magasin.\\
On note A l'événement \og{}le client achète l'appareil photo en promotion\fg{}.\\
On note C l'événement \og{}le client achète la carte mémoire en promotion\fg{}.\\
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $p\left(\overline{A}\right)$ et $p\left(\overline{A} \cap \overline{C}\right)$.

\item Le client n'achète pas l'appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu'il n'achète pas non plus la carte mémoire en promotion.
\end{enumerate}

\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.

\item Le commerçant ait un bénéfice de 30 \euro{} sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 \euro{} sur chaque carte mémoire en promotion.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice $X$ par client.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$&0&&&\\
\hline
$p\left(X=x_i\right)$&0,6&&&\\
\hline
\end{tabularx}

\item Pour 100 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa promotion ?
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  