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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices sur la loi binomiale}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Sur les faces d'un dé tétraédrique sont inscrits les chiffres 1, 3; 7 et 9.\\
Lorsqu'on lance ce dé, la probabilité qu'il se pose sur une des faces ne dépend pas de cette face.

\begin{enumerate}
\item On lance le dé. Quelle est la probabilité de l'événement S : \og{}La somme des nombres sur les faces visibles est supérieure à 18\fg{} ?

\item On effectue $n$ lancers du dé dans les mêmes conditions. $Y$ est la variable aléatoire qui comptabilise les fois où $S$ se réalise.
\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}
Justifier que $Y$ suit ie loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\item Exprimer $p(Y=k)$ pour $k$ entier compris entre 0 et $n$.

\item Déterminer le nombre minimal de lancers pour avoir $p(Y=0)<10^{-8}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère qu'à un concours, un candidat a 20\:\% de chances de réussir.\\
On prend un groupée 25 candidats au hasard.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'au moins deux candidats réussissent ?

\item Quelle est la probabilité qu'au plus deux candidats réussissent ?

\item Quelle est la probabilité que dix candidats réussissent ?

\item Calculer le nombre moyen de candidats qui réussissent sur 25 candidats qui passent le concours.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Pondichéry avril 2013}}
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
 
L'enquête révèle que 55\,\% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95\,\% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
 
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10\,\% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
 
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $L$ : l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ; 
\item $C$ : l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer $P(L \cap  C)$ la probabilité de l'évènement $L \cap C$. 
\item Montrer que $P(C) = \np{0,5675}$. 
\item Calculer $P_{C}(L)$, la probabilité de l'évènement $L$ sachant l'évènement $C$ réalisé. En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$. 
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que $X$ suit une loi binomiale.
 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale. 
		\item Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$. 
		\item Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2011}}
\emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.

Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus.

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE A}}

\medskip

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.

$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$.
		
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \numprint{0,0492}.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par un calcul la phrase :
		
\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg.
		\item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE B}}

\medskip

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
\begin{enumerate}
\item Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Bac Asie juin 2012}}
Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 
Une urne contient $k$ boules noires et 3 boules blanches. Ces $k + 3$ boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; 
\item un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
\item un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
Dans la partie A, on pose $k = 7$.
 
Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.
 
\begin{enumerate}
\item Un joueur joue une partie. On note $p$ la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes.
 
Démontrer que $p = 0,42$. 
\item Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. 
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$, puis calculer $p_{10}$ en arrondissant au millième. 
		\item Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99\:\%.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

Dans la partie B, le nombre $k$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. 

Un joueur joue une partie.
 
On note $Y_{k}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité : $p\left(Y_{k} = 5\right) = \dfrac{6k}{(k + 3)^2}$. 
		\item Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y_{k}$ \end{enumerate}
\item On note E$\left(Y_{k}\right)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_{k}$ 

On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E$\left(Y_{k}\right)$ est strictement positive. 

Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur. 
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  