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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur l'intégration}}\end{center}

\subsection{}
On souhaite calculer l'intégrale suivante : $I=\int_0^\pi t\cos(t)\text{ d}t$.\\
On pose $f:t\mapsto t\cos(t)$, définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $t\in\mathbb{R}$, $f(t)=-2\sin(t)-f''(t).$

\item En déduire la valeur de $I$

\end{enumerate}

\subsection{}
On souhaite calculer l'intégrale suivante : $I=\int_{-5}^1x\mathrm{e}^{x}\text{ d}x$.\\
On pose $f:x\mapsto x\mathrm{e}^{x}$, définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$ et l'exprimer en fonction de $f(x)$.

\item En déduire la valeur de $I$

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les deux intégrales : $I=\int_0^\pi\cos^2(x)\text{ d}x\text{ et }J=\int_0^\pi\sin^2(x)\text{ d}x$

\begin{enumerate}
\item Calculer $I+J$ et $I-J$.

\item En déduire les valeurs de $I$ et $J$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit l'intégrale $I=\int_0^1\dfrac{1}{1+u^2}\text{ d}u$.
\begin{enumerate}
\item Est-il possible, avec vos connaissances de Terminale, de calculer une primitive de la fonction \linebreak $f:u\mapsto \dfrac{1}{1+u^2}$ ?

\item Démontrer que, pour tout réel $u\geqslant 0$, $1-u^2\leqslant \dfrac{1}{1+u^2}\leqslant 1$.

\item En déduire un encadrement de $I$

\item À l'aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de $4I$. Pouvez-vous en déduire une conjecture sur la valeur de $I$ ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f=x\mapsto \int_0^x\mathrm{e}^{-t^2}\text{ d}t$ une fonction.
\begin{enumerate}
\item Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?

\item Expliquer pourquoi $F$
\begin{enumerate}
\item  est dérivable sur $\mathbb{R}^+$

\item croissante sur $\mathbb{R}^+$.
\end{enumerate}

\item Soit $H:x\mapsto\int_x^{2x}\mathrm{e}^{-t^2}\text{ d}t$.
\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}
Démontrer que $H(x)=F(2x)-F(x)$.

\item En déduire que $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ puis démontrer que $H'(x)=\mathrm{e}^{-4x^2}\left(2-\mathrm{e}^{3x^2}\right)$.

\item En déduire les variations de $H$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Méthode des rectangles}}
On souhaite déterminer une valeur approchée de $\displaystyle{\int_0^3} \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm{d}x$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la fonction à intégrer est décroissante sur $I = [0\,;3]$.
 \item Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, on découpe $I$ en $n$ intervalles
   de même amplitude, que l'on note $I_k$, pour $k=0, \ldots, n-1$ et
   sur chaque intervalle, on construit le rectangle  \og
   inférieur \fg{}.
  \begin{enumerate}
   \item Faire un schéma.
   \item Quelle est l'amplitude des intervalles $I_k$ ?
   \item On note $I_k=[x_k\,; x_{k+1}]$. Pour tout
     $k=0, \ldots, n$,exprimer $x_k$ en fonction de $k$ et
     $n$.
   \item Pour tout $k= 0, \ldots, n-1$, quelle est l'aire du 
     rectangle construit sur l'intervalle $I_k$ ?
   \item Compléter l'algorithme permettant de calculer la somme des aires des rectangles inférieurs :
   
\textbf{Algorithme}

     %\titreAlgo{Méthode Rectangles} 
\begin{minipage}{11cm}
\fbox{\begin{tabular}{ll}\\
1.&Liste des variables utilisées\\
2.&$k$, $n$ entiers\\
3.&Sinf : réel\\
4.&Entrée\\
5.&Saisir $n$\\
6;&Traitement\\
7.&Donner à Sin la valeur 0\\
8.&Pour k variant de \dots à \dots faire\\
9.&Donner à Sinf la valeur \dots\\
10.&FinPour\\
11.&Sortie\\
12.&Afficher Sinf\\
13.&Fin de l'algortithme
\end{tabular}
}
\end{minipage} 

 \end{enumerate}
  \item Reprendre la question 2) avec les rectangles supérieurs et compléter l'algorithme pour qu'il affiche aussi la valeur de \texttt{Ssup}.
  
  \item Modifier cet algorithme pour qu'il s'arrête lorsque la différence entre \texttt{Ssup} et \texttt{Sinf} devient inférieure à $10^{-2}$. On fera aussi afficher la valeur de $n$ correspondant à la subdivision de $I$ permettant d'obtenir cette précision.
\end{enumerate}







\label{fin}
\end{document}  