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  \title{Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive}
  \author{}
  \date{}

  \begin{document}

  \begin{frame}
  \titlepage
  \end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Formule}
D'après le cours; si $f$ est continue sur [a~;~b], $\int_a^bf(x)\text{ d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$ où $F$ est n'importe quelle primitive de $f$.
\end{block}

\pause

\begin{block}{Exemple 1}
Soit $f$ la fonction carré sur [0~;~ 2] ; on veut calculer l'aire du domaine limité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$ (partie en bleu ci-dessous)
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,5)
\pscustom[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid]{\psplot{0}{2}{x^2},\psplot{2}{0}{0}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-1,-1)(3,5)
\uput[u](1.5,1){$\mathscr{A}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{}
On n'a pas de formule donnant cette aire, donc on doit calculer une intégrale.

$\mathscr{A}=\int_0^2f(x)\text{ d}x$ avec $f(x)=x^2$.

\pause

Une primitive de $f$ est $F$ avec $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$.

\pause

Alors : $\int_0^2f(x)\text{ d}x=F(2)-F(0)=\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}=\dfrac{8}{3}$ u.a.

\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
On veut calculer l'aire du domaine limité par la courbe représentative de la fonction $\sin$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\dfrac{\pi}{2}$ (partie bleue ci-dessous).
\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=2,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(2,1.5)
\pscustom[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid]{\psplot{0}{1.57}{sin(x)},\psplot{1.57}{0}{0}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(2,1.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-1,-1)(2,1.5)
\uput[u](1,0.3){$\mathscr{A}$}
\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\pause

$\mathscr{A}=\int_0^{\frac\pi2}\sin(x)\text{ d}x=\left[-\cos(x)\right]_0^{\frac\pi2}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(-\cos(0)\right)=1$ u.a.

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Aire entre deux courbes}
On veut calculer l'aire de la partie du plan limitée par la droite d'équation $y=x$, la courbe représentative de la fonction carré et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ (partie bleue ci-dessous).

\begin{center}
\psset{xunit=3,yunit=3,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(2,1.2)
\pscustom[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid]{\psplot{0}{1}{x},\psplot{1}{0}{x^2}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-0.2)(2,1.2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-1,-0.2)(2,1.2)
\uput[u](0.5,0.3){$\mathscr{A}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{}
Une intégrale permet de calculer l'aire comprise entre une courbe et l'axe des abscisses. L'aire cherchée va donc se calculer comme différence de deux aires : $\mathscr{A}=\mathscr{A}_2-\mathscr{A}_1$, $\mathscr{A}_2$ étant l'aire entre la courbe représentative de la fonction $f_1$ définie par $f_1(x)=x$ et l'axe des abscisses et $\mathscr{A_1}$ l'aire comprise entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de $f_2$ avec $f_2(x)=x^2$.

\pause

Une primitive de $f_1$ est $F_1$ avec $F_1(x)=\dfrac{x^2}{2}$ ; une primitive de $f_2$ est $F_2$ avec $F_2(x)=\dfrac{x^3}{3}$.


\pause

$\mathscr{A}_1=F_1(1)-F_1(0)=\dfrac{1}{2}$

\pause

$\mathscr{A}_2=F_2(1)-F_2(0)=\dfrac{1}{3}$

\pause

Donc : $\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}$ u.a.

\end{block}
\end{frame}


\label{fin}
\end{document}  