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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\subsection*{\textcolor{blue}{D'après un exercice de bac}}%Pondichéry avril 2012
Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, on considère : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 

\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
 
\item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	-3 - 2t \\
y&=& 	2t\\ 
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

\medskip
 
\textcolor{red}{\textbf{Proposition 1}}
 
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
 
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 2}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{blue}{Propriété admise (car plus au programe)}}
Soit $\mathscr{P}$ un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ et $A\left(x_A~;y_A~;~z_A\right)$ un point quelconque de l'espace.\\
La distance de A au plan $\mathscr{P}$ est alors :
\[\boxed{\textcolor{red}{d\left(x_A\mathscr{P}\right)=\dfrac{\left\vert ax_A+by_A+cz_A+d \right\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}}\]
\end{bclogo}
 
La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$.
 
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 3 }}

L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	1 - t' \\
y&=	& - 1 -	2t'\\ 
z&=	&t'
\end{array}\right. \quad t' \in \mathbb{R}.\] 
 
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 4}}
 
Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. 

\label{fin}
\end{document}  