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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur l'intégration}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\subsection{\textcolor{blue}{\no 27 page 249}}
%Dans un repère orthonormé, on considère $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $\sin$ sur l'intervalle $I=\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
%
%\begin{enumerate}[a)]
%\item Calculer l'aire de la partie $\mathscr{E}$ du plan limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et la droite d'équation $x=\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\item Soit $a$ un réel de $I$. La droite d'équation $x=a$ coupe $\mathscr{E}$ en deux parties.\\
%Quelle est la valeur de $a$ pour que ces deux parties de $\mathscr{E}$ aient la même aire ?
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Calcul d'intégrales}}
Calculer les intégrales suivantes :

\begin{enumerate}[a)~]
\item $I_1=\int_0^\pi\cos(3x)\text{ d}x$

\item $I_2=\int_{-1}^0\mathrm{e}^{-2x+1}\text{ d}x$

\item $I_3=\int_0^1\sqrt{\mathrm{e}^{x}}\text{ d}x$

\item $I_4\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\cos x}{\left(1+\sin x\right)^3}\text{ d}x$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
 
\begin{enumerate}
\item Soient $I=\int_0^\pi\mathrm{e}^{x}\sin^2 x\text{ d}x$ et $J=\int_0^\pi\mathrm{e}^{x}\cos^2 x\text{ d}x$.\\
Alors $I+J=\mathrm{e}^{\pi}-1$.

\item Soit $f$ une fonction continue positive sur $[a~;~b]$.\\
Alors $\int_a^bf(x)\text{ d}x\geqslant 0$

\item Si $a<b$ et $\int_a^bf(x)\text{ d}x$, alors $f$ est positive sur $[a~;~b]$.

\item $\int_0^\frac\pi2\sin x\text{ d}x\leqslant \int_0^\frac\pi2x\text{ d}x$

\end{enumerate}

\subsection{}
Sur l'intervalle $[0~;~1]$, on définit la fonction $f_n$ par $f_n(x)=x^n$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ et $f_0(x)=1$.\\
On définit $I_n=\int_0^1f_n(x)\text{ d}x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in[0~;~1]$, \[f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x).\]

\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$.

\item cette suite est-elle convergente ?

\item Vérifier en calculant explicitement $I_n$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Famille d'intégrales}}%Math'x \no 40 page 251
On considère une famille de fonctions $f_n$, $n\in\mathbb{N}^*$, continues positives sur $\mathbb{R}$ et leurs courbes représentatives $\mathscr{C}_n$ dans un repère orthogonal du plan.\\
On a tracé les courbes $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$\\
On définit $I_n=\int_0^2f_n(x)\text{ d}x$, $n\in\mathbb{N}^*$
\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=3,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(2.5,1.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.4)(2.5,1.2)
\multido{\n=1+1}{3}{\psplot{0}{2.5}{EXP(-\n*x)}}
\uput[u](1,0.37){$\mathscr{C}_1$}
\uput[u](1,0.14){$\mathscr{C}_2$}
\uput[ul](0.5,0.15){$\mathscr{C}_3$}
%\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](,(-0.5,-0.4)(2.5,1.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Émettre, à l'aide du graphique, une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$.

\item On précise que $f_n(x)=\mathrm{e}^{-nx}$.\\
Calculer $I_n$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Math'x \no 43 page 251

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que sur $[0~;~1]$, $\mathrm{e}^{-t^2}\geqslant \mathrm{e}^{-t}$.

\item Comparer les intégrales $\int_0^1\mathrm{e}^{-t}\text{ d}t$ et $\int_0^1\mathrm{e}^{-t^2}\text{ d}t$.\\
En déduire une minoration de $\int_0^1\mathrm{e}^{-t^2}\text{ d}t$.


\end{enumerate}

\item Comparer de même $\int_1^2\mathrm{e}^{-t}\text{ d}t$ et $\int_1^2\mathrm{e}^{-t^2}\text{ d}t$.\\
En déduire une inégalité portant sur $\int_1^2\mathrm{e}^{-t^2}\text{ d}t$.


\end{enumerate}


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  