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  \title{Forme exponentielle d'un nombre complexe}
  \author{}
  \date{}

  \begin{document}

 \begin{frame}
  \titlepage
  \end{frame}

  
\begin{frame}
\begin{block}{Notation}
Pour tout réel $\theta$, on note $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ le nombre $\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
En effet, en posant $f(\theta)=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$, on montre à partir des propriétés trigonométriques que :\\
Pour tout $\theta\in\mathbb{R}$ et tout $\theta'\in\mathbb{R}$, $f(\theta)f\left(\theta'\right)=f(\theta+\theta')$.\\
Or cette propriété est la relation fonctionnelle que nous avons trouvée pour la fonction exponentielle d'un réel.
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
La véritable justification  vient d'une définition différente de la fonction exponentielle à l'aide d'une somme infinie de termes, valable dans $\mathbb{R}$ \textbf{et} dans $\mathbb{C}$, mais qu'on ne voit qu'après le bac !
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Exemples}
$\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi6}=\cos\dfrac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}$
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Trouver la forme exponentielle d'un nombre complexe}
On commence par trouver le module et un argument
\end{block}

\pause

\begin{block}{Exemples}
$1+\mathrm{i}\sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
$5=5\left(\cos(0)+i\mathrm{i}\sin(0)\right)=5\mathrm{e}^{\mathrm{i}0}$ (qu'on n'utilise jamais !)
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
$-5\mathrm{i}=5\left(0+\mathrm{i}\times (-1)\right)=5\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-\frac\pi2\right)}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi2}$
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Quelques expressions à connaître quasiment par c\oe{}ur }

\begin{enumerate}
\item $-\mathrm{i}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi2}$

\item $-\mathrm{i}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi2}$

\item La formule que certains considère comme la plus belle des mathématiques : \[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1\]
(car elle fait intervenir les nombres $\mathrm{i}$ (nombre imaginaire), $\mathrm{e}$ et $\pi$ (nombres transcendants, c'est-à-dire solutions d'aucune équation algébrique) et qui donne avec ces trois nombres combinés, une expression simple
\end{enumerate}

\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{block}{Retour sur un nombre vu en TD avec la forme trigonométique}
On pose $\mathrm{j}=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\\
La forme trigonométrique de $\mathrm{j}$ est $\mathrm{j}=\cos\dfrac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2\pi}{3}$.\\
Da forme exponentielle est donc $\mathrm{j}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
\end{block}

\pause

\begin{block}{Formule du cours}
Dans le cours, il y a la formule $\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\right)^n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}$ valable pour tout $x\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$.
\end{block}

\pause

On en déduit :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{j}^3=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}3}\right)^3=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{2\pi}3\times 3\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi}=1$

\item $\mathrm{j}^2=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}3}\right))^2=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}3}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{4\pi}3-2\pi\right)}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}3}=\overline{\mathrm{j}}$
\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Exemples moins simples}

\begin{enumerate}
\item $\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac\pi2+\frac\pi3\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}6}$

\item $-\mathrm{e}^{i\theta}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\mathrm{e}^{i\theta}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\pi)}$
\end{enumerate}

\end{block}

\end{frame}
\label{fin}
\end{document}  