\documentclass{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
  \usetheme{Warsaw}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}


\usepackage{enumerate}
\usepackage{pgf}

\usepackage{times}

\usepackage{graphicx}

  \title{Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes}
  \author{}
  \date{}

  \begin{document}

  \begin{frame}
  \titlepage
  \end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Trouver une forme algébrique}
Soit $\left\vert z \right\vert=2$ et $\arg(z)=-\dfrac{\pi}{4}$ ; écrire $z$ tout forme algébrique
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
On sait que $z=\left\vert z \right\vert \left(\cos \theta+\mathrm{i}\sin \theta\right)$ si $\theta=\arg(z)$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
On a donc $z=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)
$
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{Trouver une forme algébrique}
Soit $\left\vert z \right\vert=4$ et $\arg(z)=\pi$ ; écrire $z$ tout forme algébrique
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
On a : $z=4\left(\cos\pi+\mathrm{i}\sin\pi\right)=4\times (-1+\mathrm{i}\times 0)=-4$
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{Trouver une forme algébrique}
Soit $\left\vert z \right\vert=\sqrt{3}$ et $\arg(z)=\dfrac{2\pi}{3}$ ; écrire $z$ tout forme algébrique
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
$z=\left\vert z \right\vert\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
On en déduit : \\
$z=\sqrt{3}\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=\sqrt{3}\left(-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants}
Déterminer le module et un argument de $a=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{5}\right)$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
Rappel : le forme trigonométrique de $z$ est $z=r\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)$ avec $r=\left\vert z \right\vert>0$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
$2>0$ donc $a=r\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ avec $r=2$ et $\theta=\dfrac{\pi}{5}$.\\
$\left\vert a \right\vert=2$ et $\arg(a)=\dfrac{\pi}{5}$.
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{}
$b=-3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$.
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
Rappel : $\left\vert \cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta \right\vert=\sqrt{\left(\cos\theta\right)^2+\left(\sin\theta\right)^2}=\sqrt{1}=1$\\
Conclusion : pour tout $\theta$, $\left\vert \cos \theta+\mathrm{i}\sin\theta \right\vert=1$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
$\left\vert b\right\vert=\left\vert  -3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) \right\vert=\left\vert -3 \right\vert\left\vert \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right\vert=\left\vert -3 \right\vert=3$
\end{block}

\pause

\begin{block}{Determination d'un argument}
Soit $\theta=arg(b)$.\\
$\begin{cases}\cos \theta=\dfrac{\text{Re}(b)}{\left\vert b \right\vert}=\dfrac{-3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{3}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\
\sin \theta=\dfrac{\text{Im}(b)}{\left\vert b \right\vert}=\dfrac{-3\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{3}=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\end{cases}$
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{}
On cherche donc $\theta$ tel que $\begin{cases}\cos\theta=-\cos\dfrac{\pi}{3}\\
  \sin\theta=-\sin\dfrac{\pi}{3}\end{cases}$\\
\end{block}  

\pause

 \begin{block}{}
On en déduit que $\theta=\dfrac{\pi}{3}+\pi+2k\pi=\dfrac{4\pi}{3}=2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.\\
La mesure principale est $\theta=\dfrac{\pi}{3}-\pi=\dfrac{\pi-3\pi}{3}=-\dfrac{2\pi}{3}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{\left\vert b \right\vert=3}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\arg(b)=-\dfrac{2\pi}{3}}}$
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{}
Trouver le module et un argument de $c=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)-\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
On trouve $\left\vert c \right\vert=1$
\end{block}

\pause

\begin{block}{Recherche d'un argument $\theta$}
On doit avoir $c=\cos\theta+\mathrm{i}\sin \theta$ donc $\begin{cases}\cos\theta=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\\
\sin\theta=-\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\end{cases}$
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
$\theta$ et $\dfrac{3\pi}{4}$ doivent avoir le même cosinus mais des sinus opposés.\\
En raisonnant sur le cercle trigonométrique, on trouve $\theta=-\dfrac{3\pi}{4}$\\
En effet $\cos(-\alpha)=\cos \alpha$ et $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{Conclusion}
$\left\vert d \right\vert=1$ et $\arg(d)=-\dfrac{3\pi}{4}$
\end{block}

  \end{frame}
\label{fin}
\end{document}  