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\title{ \textcolor{red}{\textbf{\fbox{Rappels sur les suites :}}}}
\date{}
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\begin{document}
\maketitle



\tableofcontents

\section{\textcolor{blue}{Généralités}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels.\\
Si $u$ est le nom de la suite, l'image de $n$ par $u$ se note $u(n)$ (notation fonctionnelle) ou de manière plus usuelle $u_n$ (notation indicielle).\\
L'ensemble des termes de la suite se note alors $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{ Façons de définir une suite :}} 
Il existe essentiellement deux façons :\\
\begin{enumerate}[a)]
\item  \textcolor{blue}{\textbf{Suites définies par la donnée explicite de leurs termes :}}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Exemple :}} Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=2n+1$.
On peut calculer chaque terme de manière explicite séparément les uns des 
autres.\\
De même, soit $(v_n)$ la suite définie par : $v_n=f(n)$ où $f(x) = x^2+5$.
On peut calculer chaque terme indépendamment les uns des autres.

\item \textcolor{blue}{\textbf{Suites définies par récurrence :}}\\
La suite est définie par la donnée d'un ou de plusieurs premiers termes et par une relation entre un terme et un ou plusieurs termes précédents.

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit la suite $(w_n)$ définie par : $\left\{\begin{array}{ccc}w_0&=&3\\w_{n+1}&=&4w_n+5\end{array}\right.$.\\
On a : $w_{1}=17$, $w_{2}=73$ \dots

\item \textbf{\textcolor{blue}{Suite de Fibonacci :}}\\
Soit la suite $\left(F_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}F_{0}=F_{1}=1\\F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}\end{array}\right.$.\\
On a : $F_{2}=2$, $F_{3}=3$, $F_{_{4}=5}$, $F_{5}=8$ \dots
\end{enumerate}
Pour calculer chaque terme, il faut avoir calculé les termes précédents.
\end{enumerate}

Pour ceux qui souhaitent en savoir davantage sur la suite de Fibonacci, cliquer \href{http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci}{ici}

\textcolor{red}{\textbf{Remarque :}} lorsqu'une suite est définie par récurrence, on essaye de 
se ramener à une formule explicite des termes, mais ce n'est pas toujours possible.

\subsection{\textcolor{red}{Représentation graphique}}


\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=-1\\u_{n+1}=2\sqrt{u_{n}+4}\end{array}\right.$\\
On a $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ avec $f(x)=2\sqrt{x+4}$.\\
On représente la courbe $\mathscr{C}_{f}$ et la droite d'équation $y=x$ (première bissectrice).\\
Sur l'axe des abscisses, on place $u_{0}=-1$.\\
$u_{1}=f\left(u_{0}\right)$ ; à partir de $u_{0}$, on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses jusqu'à la courbe $\mathscr{C}_{f}$. L'ordonnée du point d'intersection est $u_{1}$.\\
On trace alors la droite parallèle à l'axe des abscisses à partir du point d'intersection précédent jusqu'à la bissectrice ; ce point a pour coordonnées $\left(u_{1~;~u_{1}}\right)$ ; on place alors sur l'axe des abscisses le nombre $u_{1}$.\\
On recommence à partir de $u_{1}$ \dots

\begin{center}
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\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(7.1,7.1)
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\uput[180](0,6.15275){ $u_3$}
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\uput[-90](6.4626,0){ $u_6$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\textbf{\textcolor{red}{Autre exemple }}: $\left\{\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+8}{2u_n+1}\end{array}\right.$
\begin{center}
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\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(4.1,4.1)
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}
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\uput[180](0,2.10643){ $u_5$}
\uput[-90](2.10643,0){ $u_5$}
\uput[180](0,1.93874){ $u_6$}
\uput[-90](1.93874,0){ $u_6$}
\uput[180](0,2.03767){ $u_7$}
\uput[-90](2.03767,0){ $u_7$}
\end{pspicture*}


\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Sens de variation :}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $(u_n)$ est croissante si et seulement si, pour tout n, $u_n\leqslant u_{n+1}$.\\
Une suite $(u_n)$ est décroissante si et seulement si, pour tout n, $u_n\geqslant  u_{n+1}$.\\
Une suite $(u_n)$ est constante si et seulement si, pour tout n, $u_n= u_{n+1}$.\\
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip

\fbox{\textbf{\textcolor{red}{Techniques d'étude : }}}\\
\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Technique fonctionnelle}} : elle s'applique lorsque la suite est fonctionnelle, c'est-à-dire lorsque l'on a $u_n=f(n)$. On étudie alors les variations de la fonction $f$. Si $f$ est croissante (décroissante), alors la suite est croissante (décroissante)\\
\textcolor{red}{Exemple : } : Le suite $(u_n)$ définie par : $u_n=n^2-6n+1$ est croissante pour $n\geq 3$.\\
En effet, la fonction $f:x\mapsto x^{2}-6x+1$ a pour dérivée : $f':x\mapsto 2x-6=2(x-3)$ et $f'(x)\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant 3$, donc $f$ est croissante sur $[3~;~\infty[$.

\newpage

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcdanger]{\textcolor{red}{Attention}}
La réciproque est fausse : Exemple : La fonction $g(x)=\frac{\cos(2\pi x)}{x}$ n'est pas monotone, mais la suite $(u_n)$ définie par $u_n =g(n)=n$ est décroissante.
\end{bclogo}

\begin{center}\begin{pspicture}(-1,-9)(10,7)
\psset{yunit=3}
\psgrid[gridlabels=0](-1,-2.3)(10,1.6)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%Courbe
\psplot[plotpoints=300,linecolor=red,linewidth=1pt]{0.2}{10}{360 x mul cos x div}
\psdots(1,1)(2,0.5)(3,0.333)(4,0.25)(5,0.2)(6,0.1666)(7,0.1428)(8,0.125)(9,0.11111)(10,0.1)
\psplot[linestyle=dashed]{1}{10}{1 x div}
\end{pspicture}\end{center}


\item \textbf{\textcolor{blue}{Techniques algébriques :}}
\begin{enumerate}
\item On étudie le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.\\
Exemple : soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n+1}=u_{n }+n^2$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=n^2\geqslant 0$ donc $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
\item \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
On suppose que, pour tout $n$, $u_n>0$,\\
Si, pour tout $n$, le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{}$ est supérieur à 1, la suite est croissante ; s'il est compris entre 0 et 1, celle-ci est décroissante.
\end{bclogo}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} $\cfrac{u_{n+1}}{u_n}-1=\cfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}$ qui est du signe de $u_{n+1}-u_n$ puisque le dénominateur $u_n$ est positif pour tout $n$.

\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=2$ et $u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{n+1}$.\\
Que peut-on dire de cette suite ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Réponse :}} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{n+1}>0$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\vspace{1cm}
Il existe deux types de suites très simples et très courantes en mathématiques qui méritent donc d'être étudiés en détail ; ce sont les suites \textbf{\textcolor{red}{arithmétiques}} et les suites \textbf{\textcolor{red}{géométriques}}.

\subsection{\textcolor{red}{Suites arithmétiques :}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $(u_{n})$ est arithmétique s'il existe un nombre r, appelé raison de la suite, tel que, pour tout n, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
On a alors : $u_{n+1}-u_{n}=r$ (la différence de deux termes consécutifs est constante)
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Terme général : $u_{n}=u_{0}+nr$\\
ou plus généralement : $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$ ($n\geqslant p$).\\
La suite est complètement déterminée si l'on connaÓt un terme et la raison.\\
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}  se fait par récurrence.\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Les suites arithmétiques sont les suites dont le terme général est de la forme : $u_n=an+b$, où $a$ et $b$ sont des constantes.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration : }}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique, $u_{n}=u_{0}+nr=an+b$ avec $a=r$ et $b=u_{0}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Réciproque :}} soit $\left(u_{n}\right)$ avec $u_{n}=an+b$ ; on a : $u_{n+1}-u_{n}=a$ donc $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r=a$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ \textcolor{blue}{Somme de termes consécutifs : }}\\

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\sigma_{n}=1+2+3+\ldots+n$. Alors : $\sigma_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip


\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
On écrit $\sigma_{n}$ à l'endroit et à l'envers et on ajoute terme à terme :\\
$\sigma_{n}=1+2+3+\cdots+(n-1)+n$\\
$\sigma_{n}=n+(n-1)+\cdots+2+1$\\
Par somme : $2\sigma_{n}=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1)=n(n+1)$ (car il y a $n$ termes égaux à $n+1$).\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\sigma_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}}}$\\

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique.
$S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}=\sum_{i=0}^{i=n}u_{i}.$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Première formule :}} $S_{n}=(n+1)u_{0}+r\frac{n(n+1)}{2}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième formule :}} $S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Plus généralement :}} si $S=x+\ldots+y$ est la somme de p termes consécutifs d'une suite arithmétique, alors : $S=\frac{p(x+y)}{2}$  
(demi-somme des termes extrêmes $\times $ nombre de termes).

\end{enumerate}\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Première formule : \\
$S_{n}=u_{0}+(u_{0}+r)+(u_{0}+2r)+\cdots+(u_{0}+nr)=(n+1)u_{0}+r(1+2+3+\cdots+n)=(n+1)u_{0}+r\sigma_{n}\\
=(n+1)u_{0}+r\dfrac{n(n+1)}{2}$.

\item Deuxième formule : écrivons $S_{n}$ de deux façons différentes, une fois à l'endroit, une fois à l'envers :\\
$S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}$\\
$S_{n}=u_{n}-+u_{n-1}+\cdots+u_{1}+u_{0}$.\\
En ajoutant terme à terme : \\
$2S_{n}+\left(u_{0}+u_{n}\right)+\left(u_{1}+u_{n-1}\right)+\cdots+\left(u_{p}+u_{n-p}\right)+\cdots+\left(u_{n}+u_{0}\right)$.\\
Or, pour tout $p$ : $u_{p}+u_{n-p}=\left(u_{0}+pr\right)+\left(u_{n}-pr\right)=u_{0}+u_{n}$.\\
On en déduit : $2S_{n}=(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)$ (car il y a $(n+1)$ termes) donc $\boxed{\textcolor{red}{S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}}}$

\item $S=x+\cdots+y=x+(x+r)+(x+2r)+\cdots+x+(p-1)r$ (puisqu'il y a $p$ termes).
$S=y+(y-r)+(y-2r)+\cdots+y-(p-1)r)$ (en écrivant la somme à partir du dernier terme).\\
En effectuant la somme terme à terme, on obtient : $2S=(x+y)+(x+y)+\cdots+(x+y)=p(x+y)$ (puisqu'il y a $p$ termes) d'où : $S=\cfrac{p(x+y)}2$.\\
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} calculer $S=100+102+\cdots+154$.\\
Ce sont les termes d'une suite arithmétique de raison $r=2$. Il y a 28 termes ($154=100+27\times 2)$.\\
Donc : $S=\cfrac{28(100+154)}2=\numprint{3556}$

\newpage
\item \textbf{\textcolor{red}{Variations :}}\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.\\
$(u_n)$ est croissante si, et seulement si, $r$ est positif.\\
$(u_n)$ est décroissante si, et seulement si, $r$ est négatif.\\
$\left(u_{n}\right)$ est constante si, et seulement si, $r=0$.
\end{bclogo}\end{minipage}\\

\textcolor{red}{Démonstration :} $u_{n+1}-u_n=r$ d'où le résultat.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{ Suites géométriques:}}


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement s'il existe un nombre réel q appelé raison de la suite, tel que, pour tout entier naturel 
n : $u_{n+1}=qu_{n}$.\\
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Alors, pour tout n : $u_{n}=qu_{n-1}$ ou plus généralement : $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$ pour $p\leqslant n$.\\
Une suite géométrique est entièrement déterminée par un terme et sa raison.\\
\end{bclogo}

La démonstration se fait par récurrence.\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
 Les suites géométriques sont les suites dont le terme général est de la forme $u_n=aq^n$, $a$ et $q$ étant des constantes.
\end{bclogo}

\bigskip

\textcolor{blue}{Démonstration :}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, $u_{n}=u_{0}q^n=aq_{n}$ avec $a=u_{0}$.\

\item \textbf{\textcolor{red}{Réciproque :}} Si $u_{n}=aq^n$, $u_{n+1}=aq^{n+1}$ donc $u_{n+1}=au_{n}$ : $\left(u_{n}\right)$ est bien géométrique, de raison $a$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Somme de termes consécutifs :}}\\
\begin{minipage}{13cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $q$ un nombre. Posons $\sigma_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^n=\sum_{i=1}^nq^{i}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, $\sigma_{n}=(n+1)$.

\item si $q \neq1$, on a : $\sigma_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}\end{minipage}\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, c'est évident ; $S_{n}+1+1+\cdots+1=n+1$.

\item Si $q\neq 1$, on calcule $S_{n}$ et $qS_{n}$ et on soustrait :\\
$S_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^n$.\\
$qS_{n}=~~~q+q^2+q^3+\cdots+q^n+q^{n+1}$.\\
Alors : $S_{n}-qS_{n}=1-q^{n+1}$ (il ne reste que le premier terme de la première ligne et le dernier de la deuxième ligne).\\
D'où : $S_{n}(1-q)=1-q^{n+1}$ et : $\boxed{\textcolor{red}{S_{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison q ($q\neq1$).\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}=\sum_{i=0}^{i=n}u_{i}=u_{0}\frac{1-q^{n+1}} {1-q}$

\item Si $S = x+\ldots+y$ est la somme de p termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ($q\neq1$), alors : $\boxed{S=x\left(\frac{1-q^{p}}{1-q}\right)}$\\
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{enumerate}

\section{\textcolor{blue}{ Limites des suites :}}
\subsection{\textcolor{red}{ Limite infinie :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle ]A ; $+\infty$[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.\\
On écrit alors : $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$

\item Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle ]$-\infty$ ; A[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.\\
On écrit alors $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = -\infty$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Exemples : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=n^{2}$. On a $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} soit $A>0$. Prenons $p=E(\sqrt{A})+1$. Alors $p^2>A$. Pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}=n^2>p^2>A$ donc $u_{n}\in[A~;~+\infty[$.\\
D'après la définition, $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$

\item  $u_{n}=-n^{3}$ : de même, $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}++\infty$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Cas des suites croissantes non majorées}}
\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Dire qu'une suite u est majorée signifie qu'il existe un réel $M$ tel 
que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\leqslant M$.

\item Dire qu'une suite u est minorée signifie qu'il existe un réel $m$ tel 
que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\geqslant m$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} u est la suite définie sur N* par : $u_{n}=2+\frac{1}{n}$. u 
est minorée et majorée.\\

\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété :}}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Si u est une suite croissante non majorée, alors u tend vers 
$+\infty$.
\item Si u est une suite décroissante non minorée, alors u tend vers 
$-\infty$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration de (a) :}}\\
Soit A un réel quelconque. Comme u n'est pas majorée, il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}> A$.\\
La suite u est croissante, donc, pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}\geqslant u_{p}$.\\
Alors, pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}\in]A ; $+\infty$[. \\
Ainsi, la suite tend vers $+\infty$.\\

\noindent Même démonstration pour (b)

\subsection{\textcolor{red}{ Limite finie}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$\ell$ désigne un réel quelconque. Dire qu'une suite u a pour 
limite $\ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient 
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.\\
On dit alors que la suite est convergente vers $\ell$.
\end{bclogo}


\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Notation et exemples :}}
On écrit : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $u_{n}=\dfrac{1}{n}$.\\

\textbf{Remarque} : une suite qui n'est pas convergente est divergente.\\

\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite divergente est  une suite non convergente.\\
Elle a une limite infinie \textbf{ou} n'a pas de limite.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple 1:}} u est la suite définie sur N* par : 
$u_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$\\

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite u est croissante.\\

\item Démontrer que pour $m\geqslant 1$, $u_{2m}-u_{m}\geqslant \frac{1}{2}$ [1]\\

\item  \'Ecrire l'inégalité [1] successivement pour $m = 1$, $m = 2$, $ m=4$, 
$m=8$, \ldots, $m=2^{n-1}$ puis additionner membre à membre ces 
inégalités.\\
En déduire que $u_{2^n}\geqslant 1+\frac{n}{2}$.
En déduire que la suite u n'est pas majorée et déterminer la 
limite de la suite u.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple 2 :}}\\
Que peut-on dire de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_n=(-1)^n$ ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercice :}} Montrer qu'une suite convergente est bornée.\\

\noindent Solution :\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite qui converge vers une réel $\ell$.\\
Considérons par exemple l'intervalle $]\ell-1~;~\ell+1[$.\\
D'après la définition de la convergence, il existe un réel $A$ tel que, pour tout $n> A$, $u_{n}\in]\ell-1~;~\ell+1[$.\\
Les termes $u_{0}$, $u_{1}$, \dots, $u_{A}$ sont en nombre fini, donc bornés, par le plus petit et le plus grand d'entre eux.\\
Les termes $u_{n}$, pour $n>A$ sont bornés par $\ell-1$ et $\ell+1$.\\
On en déduit que la suite est bornée.

\subsection{\textcolor{red}{Unicité de la limite}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite convergente. Elle admet donc une limite $\ell$.\\
Cette limite est \textbf{unique}.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :\\
Effectuons un raisonnement par l'absurde.\\
Supposons que la suite admette deux limites, $\ell$ et $\ell'$, avec $\ell<\ell'$.\\
Posons $h=\dfrac{\ell'-\ell}{3}$.\\
Puisque la suite converge vers $\ell$, il existe un entier $A$, tel que, pour tout $n>A$, $u_{n}\in]\ell-h~;~\ell+h[$.
La suite converge vers $\ell'$, donc il existe un entier $B$, tel que, pour tout $n>B$, $u_{n}\in]\ell'-h~;~\ell'+h[$.\\
Soit $C$ le maximum de $A$ et de $B$ : $C=Max(A~;~B)$.\\
Pour $n>C$, $u_{n}\in]\ell-h~;~\ell+h[\cap]\ell'-h~;~\ell'+h[$ ; or, ces deux intervalles sont disjoints.\\
En effet : $\ell'-h-(\ell+h)=\ell'-\ell-2h=\ell'-\ell-2\dfrac{\ell'-\ell}{3}=\dfrac{3(\ell'-\ell)-(\ell'-\ell)}{3}=\dfrac{\ell'-\ell}{3}>0$.\\
C'est impossible, donc l'hypothèse de départ est fausse.


\newpage



\subsection{\textcolor{red}{Théorème des gendarmes (admis)}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème des gendarmes}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Premier cas :}} Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $+\infty$. Soit une autre suite $(v_n)$. S'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $v_n\geq u_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=+\infty$.\\
On a une propriété analogue si la limite est $-\infty$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas :}} Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.\\
Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration (hors-programme) :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Premier cas :}}\\
Soit $A>0$ un nombre quelconque.\\
$\left(u_{n}\right)$ tend vers $+\infty$, donc il existe un entier $q$ tel que, pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}>A$.\\
Pour tout $n\geqslant p$, $v_{n}\geqslant u_{n}$.\\
Soit $r=\text{Max}(p~;~q)$. ($r$ est le plus grand des deux entiers $p$ et $q$).\\
Pour tout $n\geqslant r$, $A<u_{n}\leqslant v_{n}$ donc $v_{n}>A$.\\
La suite $\left(v_{n}\right)$ tend donc vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\item 
\textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas :}}\\
Soit $I=]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$ un intervalle quelconque centré sur $\ell$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$ donc il exite un entier $q$ tel que, pour tout $n\geqslant q$, $u_{n}\in]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}w_{n}=\ell$ donc il existe un entier $r$ tel que, pour tout $n\geqslant r$, $w_{n}\in]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$.\\
On sait que, pour tout entier $n\geqslant p$, $u_{n}\leqslant v_{n}\leqslant w_{n}$.\\
Soit $s=\text{Max}(p~;~q~;~r)$.\\
Pour tout entier $n\geqslant s$, $\ell-\alpha\leqslant u_{n}\leqslant v_{n}\leqslant w_{n}\leqslant \ell+\alpha$, donc $w_{n}\in]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$.\\
On en déduit que la suite $\left(w_{n}\right)$ a aussi pour limite $\ell$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Opérations et limites}}
\subsubsection*{\textcolor{blue}{Addition ou soustraction}}
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $(u_n)$ a pour limite&$\ell$&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$\\
\hline
Si $(v_n)$ a pour limite&$\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$\\
\hline
alors $(u_n+v_n)$ a pour limite&$\ell+\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}


\subsubsection*{\textcolor{blue}{Produit}}
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $(u_n)$ a pour limite&$\ell$&$\ell>0$&$\ell<0$&$\ell>0$&$\ell<0$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&0\\
\hline
Si $(v_n)$ a pour limite&$\ell'$&$+\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$\pm\infty$\\
\hline
alors $(u_n\times v_n)$ a pour limite&$\ell\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$-\infty$&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Quotient}}
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $(u_n)$ a pour limite&$\ell$&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&0&$\pm \infty$&0&$\pm \infty$\\
\hline
Si $(v_n)$ a pour limite&$\ell\neq 0'$&$\pm\infty$&0&$\ell'$&$\pm\infty$&0&0&$\pm\infty$\\
\hline
alors $\left(\dfrac{u_n}{ v_{n}}\right)$ a pour limite&$\frac{\ell}{\ell'}$&0&$\pm\infty$&$\pm\infty$&0&$\pm\infty$&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace{1cm}\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Les formes indéterminées sont : $\og{} \infty-\infty$~;~$ 0\times \infty$ ~;~ $\frac{0}{0}$ ~;~ $\frac{\infty}{\infty}\fg$.

\subsection{\textcolor{red}{Limites et puissances}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $q>1$ ; alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^^{n=+\infty}$

\item Soit q\in]-1~;~1[$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^^{n=0}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $a>0$ un réel.  Démontrons par récurrence que, pour tout $n$, $(1+a)^n\geqslant 1+na$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour $n=0$ : (1+a)^0=1 et $1+na=1+0a=1$ donc c'est vrai au rang $n=0$

\item On suppose que c'est vrai pour un rang $n$ quelconque, donc $(1+a)^n\geqslant 1+na$.\\
Alors : $(1+a)^{n+1}=(1+a)^{n}(1+a)\geqslant (1+na)(1+a)=1+a+na+na^{2}=1+(n+1)a+na^{2}\geqslant 1+(n+1)a$ car $na^{2}>0$.\\
La propriété est vraie au rang $n+1$, donc héréditaire.\\
Elle est donc vraie pour tout $n$.
\end{enumerate}

\item Soit $q>1$. Il existe $a$ tel que $q=1+a$.\\
Alors $q^{n}=(1+a)^{n}\geqslant 1+na$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}(1+na)=+\infty$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^{n}=+\infty$

\item Si $q=0$, c'est évident\\
Si $0<q<1$, on pose $Q=\dfrac{1}{q}>1$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{Q}\right)^{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{Q^{n}}\right)=0$ d'après ce qui précède.\\
Si $-1<q<0$, $q=-Q$ avec $0<Q<1$ et on applique ce qui précède.
\end{enumerate}


\section{\textbf{\textcolor{blue}{Théorème de convergence :}}}
\noindent \begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème admis}}
\begin{itemize}
\item Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
\item Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.
\end {itemize}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} 
Soit la suite $\left(u_{n}}\right)$ définie par : $u_{0}=2$ et $u_{n}=2,\underbrace{4848\cdots48}_{\small{n\text{ groupes }48}}$ pour $n\geqslant 1$.\\
Il est clair que cette suite est croissante, majorée par 3 (ou 2,5), donc elle est convergente vers une limite réelle $\ell$, avec $\ell=2,48484848484848\cdots$.\\
Essayons de trouver une \textbf{\textcolor{red}{expression rationnelle}} de $\ell$.\\
On a : $u_{n}=2+\dfrac{48}{100}+\dfrac{48}{1000}+\cdots+\dfrac{48}{10^{2n}}=2+48\times \left(\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^4}+\dfrac{1}{10^6}+\cdots+\dfrac{1}{10^{2n}}\right)\\
=2+48\times \left[\left(\dfrac{1}{10^2}\right)+\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^3+\cdots+\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n\right]$.\\

On reconnaît la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.\\
On en déduit : $u_{n}=2+48\times \dfrac{1}{10^2}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{10^2}}=2+48\times \dfrac{1}{100}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n}{\dfrac{99}{100}}=2+48\times \dfrac{1}{100}\times \dfrac{100}{99}\left(1-\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n\right)$.\\
Comme $-1<\dfrac{1}{10^2}<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n=0$.\\
On en déduit : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell=2+48\times \dfrac{1}{99}=\dfrac{2\times 99+48}{99}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{246}{99}}}$.


\label{fin}
\end{document} 