\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}.\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Fonctions numériques : dérivation}}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents


\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Notion de tangente à une courbe}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de courbe représentative $\mathscr{C}_f$  et soit $A$ un point fixe de $\mathscr{C}_f$.\\
Soit $M$ un point variable de $\mathscr{C}_f$. On trace  la droite $(AM)$ qui est sécante à $\mathscr{C}_f$. On fait tendre $M$ vers $A$. Si, lorsque $M$ tend vers $A$, la sécante admet une position limite, on dit que cette limite est tangente à $\mathscr{C}_f$.\\


\parbox{9cm}{
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(5,6)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{(x-1)*(x+2)*(x-3)/5}
\psplot[linecolor=red]{-5}{5}{(--1.97--0.43*x)/1.26}
\rput[bl](-3.4,-9.62){$f$}
\psdots(-1.56,1.03)
\rput[bl](-1.48,1.14){$A$}
\psdots(-0.3,1.46)
\rput[bl](-0.22,1.58){$M$}
\uput[u](4,3.6){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{9cm}{
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,6)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{5.0}{(x-1)*(x+2)*(x-3)/5}
\psplot[linecolor=red]{-3}{5}{(--1.47--0.57*x)/0.56}
\rput[bl](-3.4,-9.62){$f$}
\psdots(-1.56,1.03)
\rput[bl](-1.48,1.14){$A$}
\psdots(-1,1.6)
\uput[l](-0.92,1.72){$M$}
\uput[u](4,3.6){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture*}}

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(6,6)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-3)(6,6)
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{6.0}{(x-1)*(x+2)*(x-3)/5}
\psplot[linecolor=red]{-5}{6}{(--3.69--1.71*x)/1}
\rput[bl](-3.4,-9.62){$f$}
\psdots(-1.56,1.03)
\psdots(-1.56,1.03)
\rput[bl](-1.48,1.14){$M=A$}
\uput[u](4,3.6){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture*}

\end{center}



\subsection{\textcolor{red}{Nombre dérivé de $f$ en $a$ et fonction dérivée :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Notons $a$ l'abscisse de $A$ et $x$ l'abscisse de $M$. Le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ est : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. \\
Dire que la sécante a une position limite qui est la droite tangente à $\mathscr{C}_f$en $A$ signifie que $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe. \\
Si ce nombre \textbf{existe}  et s'il est \textbf{fini}, on pose : $\textcolor{red}{\mathbf{f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$ et ce nombre est le \textbf{\textcolor{red}{nombre dérivé}} de $f$  en $a$.\\
On dit alors que $f$ est dérivable en $a$.
\end{bclogo}

\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarque :}}
En posant $x=a+h$, on obtient : $\mathbf{\textcolor{red}{f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}}$.
\end{bclogo}

\bigskip
Exemple : $f(x)=x^2$.\\
Pour tout $a\in\mathbb{R}$ : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{[a+h]^2-a^2}{h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}=2a+h$.\\
Par conséquent : $\lim_{h\rightarrow 0 }\left(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)=2a$.\\
$f$ est dérivable en $a$ et $\boxed{\textcolor{red}{f'(a)=2a}}$

Par définition, $f'(a)$   est \textbf{le coefficient directeur de la tangente} à $\mathscr{C}_f$ en $a$.\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'équation de la tangente est alors : $\mathbf{\textcolor{red}{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}$.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}} \\
Rappel : la droite, de coefficient directeur $a$ et passant par le point $M_{0}$ de coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ a pour équation $y-y_{0}=a\left(x-x_{0}\right)$.\\
En effet, l'équation est de la forme $y=ax+b$.\\
Comme $M_{0}$ appartient à cette droite, ses coordonnées vérifient cette équation, donc $y_{0}=ax_{0}+b$.\\
Par conséquent : $\left\{\begin{array}{lll}y&=&ax+b\\y_{0}&=&ax_{0}+b\end{array}\right.$.\\
Par soustraction, on obtient : $y-y_{0}=a\left(x-x_{0}\right)$.\\

\noindent Pour la tangente, on obtient donc : $y-y_{A}=f'(a)\left(x-x_{A}\right)$ qui donne $y=f'(a)\left(x-x_{A}\right)+f(a)$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$f$  est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si $f$ est dérivable en tout $a$ de $I$.
\end{bclogo}

\bigskip


   
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarque}}
La dérivée $f'$ de $f$ est elle-même une fonction. Si elle est dérivable, on appelle $f''$ sa dérivée (dérivée seconde de $f$).\\
Cette dérivée seconde peut elle-même être dérivable et ainsi de suite. Les dérivées d'ordre $n$, avec $n\geqslant 3$, se notent $f^{(n)}$.\\
Ainsi : $f''=\left(f'\right)'$ ; $f^{(3)}=\left(f''\right)'$ et plus généralement $f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'$
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=3x^4+5x^2+2x+1$.\\
On a : $f'(x)=12x^3+10x+2$ ; $f''(x)=36x^2+10$ ; $f^{(3)}(x)=72x$ : $f^{(4)}(x)=72$ ; $f^{(5)}(x)=0$ et les dérivées suivantes sont toutes égales à la fonction nulle.

\item Soit $f(x)=\sin x$.\\
Alors : $f'(x)=\cos x$ ; $f''(x)=-\sin x$ ; $f^{(3)}(x)=-\cos x$ ; $f^{(4)}(x)=\sin x=f(x)$. On retombe sur la fonction initiale.

\item Imaginons qu'il existe une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, $f'(x)=f(x)$. $f$ est-elle dérivable à l'ordre 3 si oui, que vaut $f^{(3)}$ ?\\
Réponse : $f'=f$ donc $f'$ est dérivable et $f''=(f')'=f'$ et de même $f^{(3)}=f$.\\
On pourrait alors montrer par récurrence, que la fonction $f$ vérifie alors : pour tout $n$, $f^{(n)}=f$.\\
On étudiera cette fonction plus en détail dans un prochain chapitre.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Exercices}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Montrer que la fonction $x\mapsto |x|$ n'est pas dérivable en 0.

\item Étudier la dérivabilité de la fonction $x\mapsto x|x|$ en 0.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Solutions :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $f$ la fonction $x\mapsto |x|$.\\
$\forall x\neq 0$, $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{|x|-0}{x-0}=\dfrac{|x|}{x}$.\\
Si $x<0$, $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{-x}{x}=-1$ et pour $x>0$, $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{x}=1$.\\
On en déduit que : $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}(-1)=-1$, alors que $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}(1)=1$.\\
La limite à gauche et à droite n'est pas la même, donc la limite en 0 n'existe pas ; $f$ n'est pas dérivable en 0 (mais l'est à gauche et à droite) ; on dit que la courbe admet une demi-tangente à gauche et une demi-tangente à droite.

\item Soit $g:x\mapsto x|x|$. Cette fois, on a : $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(|x|\right)=0$ ; la limite existe, donc la fonction $g$ est dérivable en 0 et la courbe représentative de $g$ a une tangente en 0.
\end{enumerate}

Voici les deux représentations graphiques de $f$ et de $g$.


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3,3)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-3.0}{3.0}{abs(x)}
\end{pspicture*}
\end{center}}\hfill\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3,3)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-3.0}{3.0}{x*abs(x)}
\rput[bl](-4.2,4){$f$}
\end{pspicture*}
\end{center}}
%\end{multicols}

\subsection{\textcolor{red}{Tableau des dérivées usuelles :}}
\begin{center}
$\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
\rowcolor{yellow!40}\textbf{ Fonction $f$définie par : }&\textbf{Fonction $f'$ définie par : }&\textbf{ Domaine de décidabilité de validité }\\
\hline
f(x)=k\in\mathbb{R}&f'(x)=0&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=x^n(n\in\mathbb{N}^*)&f'(x)=nx^{n-1}&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=\frac1x&f'(x)=-\frac1{x^2}&\mathbb{R}^*\\
\hline
f(x)=\frac1{x^n}=x^{-n}~(n\in\mathbb{N},~n\geqslant 2)&f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}=-nx^{-n-1}&\mathbb{R}^*\\
\hline
f(x)=\sqrt{x}&f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}&]0~;~+\infty[\\
\hline
f(x)=\cos x&f'(x)=-\sin x&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=\sin x&f'(x)=\cos x&\mathbb{R}\\
\hline
\end{array}$

\end{center}


\subsection{\textcolor{red}{Dérivées et opérations :}}
Soient $u$, $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(ku)'=ku'$

\item $(u+v)'=u'+v'$

\item $(uv)'=u'v+uv'$

\item $\left(\frac1u\right)'=-\frac {u'}{u^2}$, $u(x)\neq 0$

\item $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, $v(x)\neq 0$

\end{enumerate}


\end{minipage}}
\end{center}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}

%\subsection{\textcolor{red}{Écriture différentielle, valeurs approchées :}}
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
%Si $f$ est dérivable en $a$ de $I$, $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(h)$.\\
%On en déduit que : $\lim_{h\rightarrow 0}[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(h)]=0$.\\
%On appelle $\varphi$ la fonction définie par :   $\varphi(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(h)$. On a :  $\lim_{h\rightarrow 0}\varphi(h)=0$ \\
%Alors , on a : $\mathbf{\textcolor{red}{f(a+h)=f(a)+f'(x)h+h\varphi(h)}}$ où $\lim_{h\rightarrow 0}\varphi(h)=0$.
%\end{bclogo}

\bigskip

%
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété réciproque}}
%S'il existe un nombre $b$ tel que $f(a+h)=f(a)+bh+h\varphi(h)$ où $\lim_{h\rightarrow 0}\varphi(h)=0$, alors on a : $\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=b$.\\
%On en déduit que $f$ est dérivable en $a$ et $f'(x)=b$.
%\end{bclogo}

\bigskip
 
%
%En posant  : $\Delta x=(x+h)-x$ et $\Delta y=f(x+h)-f(x)$, on obtient : $\Delta y=f'(x)\Delta x+\varphi(\Delta x)\Delta x$.\\
%D'où l'approximation : $\Delta y=f'(x)\Delta x$.\\
%Cette approximation conduit à l'écriture symbolique $dy=f'(x)dx$ qu'on écrit aussi $\frac{dy}{dx}=f'(x)$, notamment en physique.\\
%
%\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} la quantité $f(a)+f'(a)h$ est l'approximation affine de $f$ en $a+h$.\\
%
%\textbf{\textcolor{blue}{Interprétation géométrique :}} cela consiste à calculer une approximation de $f(a+h)$ en rempla\c cant localement autour de $a$ la courbe $\mathscr{C}$ par sa tangente et à trouver la valeur exacte de l'ordonnée du point de la tangente au point d'abscisse $a+h$, plutÙt que la valeur exacte $f(a+h)$.
%
%
%\textbf{\textcolor{red}{Application :}} Donner une approximation  de $\frac{1}{1,01}$ et de $\sqrt{0,99}$  
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $\dfrac{1}{1,01}=f(1+0,01)\approx f(1)+f'(1)\times 0,01$ avec $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.\\
%On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{1,01}\approx \textcolor{red}{0,99}}}$
%
%\item $\sqrt{0,99}=g(1+(-0,01))\approx g(1)+g'(1)\times (-0,01)$ avec $g(x)=\sqrt{x}$ et $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.\\
%On en déduit : $\boxed{\sqrt{0,99}\approx 1-\dfrac{1}{2}\times 0,01=\textcolor{red}{0,995}}$
%\end{enumerate}
 
 \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis)}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et dérivable en $a\in I$ ; alors, $f$ est continue en $a$
\end{bclogo}

\bigskip


%\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}\\
%Soit $a\in I$. $I$ étant un intervalle ouvert, pour $h$ suffisamment petit, $a+h\in I$.\\
%Puisque $f$ est dérivable en $a$, alors $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+h\varphi(h)$, avec $\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(h)=0$.\\
%On en déduit que $\lim_{x\rightarrow 0}f(a+h)=f(a)$, donc que $f$ est continue en $a$.\\

\noindent Attention, la réciproque est fausse ; une fonction peut être continue en $a$, mais pas dérivable ; exemple, la fonction $x\mapsto |x|$ en 0.

\subsection{\textcolor{red}{Dérivée de la composée de quelques fonctions :}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $f\circ g$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème admis}}
Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $J$ et $f$ une fonction définie et dérivable sur $J$.\\
Alors $f\circ g$ est dérivable et $\left(f\circ g\right)'=g'\times \left(f'\circ g\right)$.\\
Pour tout $x\in I$, $\left(f\circ g\right)'(x)=g'(x)\times f'(g(x))$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $x\mapsto \sqrt{u(x)}$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $u$ une fonction définie, positive et dérivable sur un intervalle I., de fonction dérivée $u'$.\\
La fonction $f$ définie sur I par $f:x\mapsto\sqrt{u(x)}$ est dérivable en tout nombre $x$ tel que $u(x)\neq 0$ et \\
$f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.
\end{bclogo}

\bigskip


%\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
%
% 
%\textcolor{blue}{Démonstration : }\\
%Soit $x\in I$ tel que $u(x)>0$. Soit J un intervalle de I contenant I.\\
%Soit $h$ un réel non nul, tel que $x+h\in J$.\\
%Soit $A(h)=\dfrac{\sqrt{u(x+h)-u(x)}}{h}$ et on étudie la limite quand $h$ tend vers 0.\\
%$A(h)=\dfrac{\left[\sqrt{u(x+h)}-\sqrt{u(x)}\right]\times \textcolor{red}{\left[\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}\right]}}{\textcolor{red}{\left[\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}\right]}}=
%\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h\left[\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}\right]}$ (avec $\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}>0$).\\
%Or, $\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\right)=u'(x)$ ; $\lim_{h\rightarrow 0}u(x+h)=u(x)$ par continuité de $u$ donc $\lim_{h\rightarrow 0}\left[\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}\right]=2\sqrt{x}$.\\
%On en déduit que $\lim_{h\rightarrow 0}A(h)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ cqfd.\\

On applique la formule de dérivations d'une fonction composée avec $g=u$ et $f:x\mapsto \sqrt{x}$.

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $f(x)=\sqrt{3x^{2}+5x+7}$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
$f(x)=\sqrt{u(x)}$ avec $u(x)=3x^{2}+5x+7$ et $u'(x)=6x+5$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{6x+5}{2\sqrt{3x^{2}+5x+7}}}}$.\\

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $x\mapsto u^{n}(x)$, $n\in\mathbb{N}^{*}$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Soit $u'$ sa fonction dérivée. et soit $n$ un entier relatif non nul.\\
La fonction $u^{n}$ est dérivable et $\left(u^{n}\right)'=nu'\times u^{n-1}$.
\end{bclogo}

\bigskip


%\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
%Soit $A(h)=\dfrac{u^{n}(x+h)-u^{n}(x)}{h}$. On doit étudier la limite de $A(h)$ quad $h$ tend vers 0.\\
%On a vu en première que la fonction $f:x\mapsto x^{n}$ est dérivable et que $f'(x)=nx^{n-1}$.\\
%Cela signifie que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=nx^{n-1}}}$.\\
%En changeant de lettre, on a : $\lim_{k\rightarrow 0}\dfrac{(z+k)^{n}-z^{n}}{k}=nz^{n-1}$\\
%Posons $\varepsilon(k)=\dfrac{(z+k)^{n}-z^{n}}{k}-nz^{n-1}$. On a $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon(k)=0}}$.\\
%On obtient, après transformation :\\
%$\dfrac{(z+k)^{n}-z^{n}}{k}=nz^{n-1}+\varepsilon(k)$ donc $(z+k)^{n}-z^{n}=\left(nz^{n-1}+\varepsilon(k)\right)\times k$\\
%
%\noindent On pose alors $u(x)=z$ et $u(x+h)=z+k$.\\
%$u^{n}(x+h)-u^{n}(x)=(z+k)^{n}-z^{n}=\left(nz^{n-1}+\varepsilon(k)\right)\times k=\left(nu^{n-1}(x)+\varepsilon\left(u(x+h)-u(x)\right)\right)\times \left(u(x+h)-u(x)\right)$.\\
%On en déduit : \\
%$\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{u^{n}(x+h)-u^{n}(x)}{h}=\left(nu^{n-1}(x)+\varepsilon\left(u(x+h)-u(x)\right)\right)\times  \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}}}$\\
%On a : $\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\right)=u'(x)$ car la fonction $u$ est dérivable.\\
%La fonction $u$ est continue, donc $\lim_{h\rightarrow 0}u(x+h)=u(x)$ donc $\lim_{h\rightarrow 0}\left[u(x+h)-u(x)\right]=0$.\\
%Alors : $\lim_{h\rightarrow 0}\varepsilon\left(u(x+h)-u(x)\right)=\lim_{k\rightarrow 0}\varepsilon(k)=0$ en posant $k=u(x+h)-u(x)$.\\
%Par conséquent : $\lim_{h\rightarrow 0}\left(nu^{n-1}(x)+\varepsilon\left(u(x+h)-u(x)\right)\right)=nu^{n-1}(x)$.\\
%Alors : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{u^{n}(x+h)-u^{n}(x)}{h}\right)=nu^{n-1}(x)\times u'(x)}}$.\\

On applique la formule de dérivation d'une fonction composée avec $g=u$  et $f(x)=x^n$.

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}} 
\begin{enumerate}
\item Soit $f:x\mapsto \left(3x^{2}+5x-7\right)^{5}$ ; $f=u^{5}$ avec $u(x)=\left(3x^{2}+5x-7\right)^{5}$.\\
On a alors $f'=\left(u^{7}\right)'=7u'u^{7-1}=7u'u6$ avec $u'(x)=6x+5$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=7(6x+5)\left(3x^{2}+5x-7\right)^{6}}}$.

\item Soit $f:x\mapsto \dfrac{1}{\left(x^{2}+x+1\right)^{5}}$ sur $\mathbb{R}$.\\
On a $f(x)=\left(x^{2}+x+1\right)^{-5}$ donc $f=u^{-5}$ avec $\left\{\begin{array}{l}n=-5\\u(x)=x^{2}+x+1\end{array}\right.$.\\
$f'=nu'u^{n-1}=-5u'u^{-6}=-\dfrac{5u'}{u^{6}}$ avec $u'(x)=2x+1$.\\
Par conséquent : $f'(x)=-\dfrac{5(2x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{6}}$
\end{enumerate}

\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de la fonction $x\mapsto f(ax+b)$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et deux nombres $a$ et $b$.\\
La fonction $g:x\mapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et a pour dérivée $g'x\mapsto a\times f'(ax+b)$.
\end{bclogo}

\bigskip


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}}\\
%$\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=\dfrac{f(a(x+h)+b)-f(ax+b)}{h}=\dfrac{f(ax+b+ah)-f(x)}{h}=a\times \dfrac{f(ax+b+ah)-f(x)}{ah}$.\\
%Or : $\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{f(ax+b+ah)-f(x)}{ah}\right)=\lim_{k\rightarrow 0}\dfrac{f(ax+b+k)-f(ax+b)}{k}=f'(ax+b)$.\\
%On en déduit : $\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=\boxed{\textcolor{red}{a\times f'(ax+b)}}$.
On applique la formule de dérivation d'une fonction composée avec $g(x)=ax+b$.

\textbf{\textcolor{red}{Exemple : }} Soit $f:x\mapsto \cos(2x+3)$ ; $f'(x)=2\cos'(2x+3)=\boxed{\textcolor{red}{-2\sin(2x+3)}}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $\sin u$ et $\cos u$}}
Propriété admise : si $u$ est dérivable, $\sin u$ est dérivable et $\cos u$ est dérivable.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left(\sin u\right)'=u'\times \sin' u=u'\cos u$

\item $\left(\cos u\right)'=u'\times \cos' u=-u'\sin u$
\end{enumerate}

Exemple : soit $f(x)=\sin\left(x^{2}\right)$.\\
$f=\sin u$ avec $u(x)=x^{2}$.\\
$f'=u'\cos u$ avec $u'(x)2x$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2x\cos\left(x^{2}\right)}}$


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\subsection{\textcolor{red}{Application de la dérivabilité :}}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Utilisation du nombre dérivé pour le calcul de certaines limites :}}
On sait que si $f$ est dérivable en $a$, alors $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$.  \\

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} $\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}$ donc $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\sin '(0)=\cos 0=1$.   

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation d'une fonction :}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis)}}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.\\
Si $f'=0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.\\
Si $f'$ est strictement positive sur $I$ sauf éventuellement  pour un certain nombre fini de valeurs où elle s'annule, alors $f$ est croissante sur $I$.\\
Si $f'$ est strictement négative sur $I$ sauf éventuellement  pour un certain nombre fini de valeurs où elle s'annule, alors $f$ est décroissante sur $I$.
\end{bclogo}

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\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}\\
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=x^3$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
$f'(x)=3x^2\geq 0$ et $f'(x)=0$ pour $x=0$.\\
On en déduit que la fonction $f$   est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. \\

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2\cos x-2+x^2$.
\item En déduire la comparaison des fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto 1-\frac{x^2}{2}$.  
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Solution :}}
\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=-2\sin x+2x$. Pour étudier le signe de $f'(x)$, dérivons $f'$. $f''(x)=-2\cos x+2=2(1-\cos x)\geq 0$. $f'$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et comme $f'(0)=0$, on en déduit le signe de $f'$.\\
On en déduit que  $f$ est décroissante sur $]-\infty~;0[$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\item Le minimum $f(0)$ vaut 0, donc : $\forall x\in\mathbb{R}$, $\cos x\geq1-\frac{x^2}{2}$. 
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}

