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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Nombres complexes : forme trigonométrique}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Coordonnées polaires d'un point}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ un repére orthonormal du plan complexe.\\
On considère un point $M$ autre que $O$. On va repérer le point M dans le plan autrement que par ses coordonnées cartésiennes (ou affixe).

\begin{center}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39215686274509803 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(5,5)
%\multips(0,-7)(0,1){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-8.92,0)(8.92,0)}
%\multips(-8,0)(1,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-7.02)(0,7.02)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-2)(5,5)\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(3.96,3.78)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(3.96,3.78)
\pscustom[linewidth=2pt,linecolor=qqwuqq]{
\parametricplot{0}{0.7621465405869854}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}
\lineto(0,0)\closepath}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](3.96,3.78)
\rput[bl](4.04,3.98){\ududff{$M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](1,0)
%\rput[bl](1.08,0.2){\xdxdff{$U$}}
\uput[d](0.5,-0.2){$\overrightarrow{u}$}
%\rput[bl](2.2,1.66){$f$}
\uput[u](1.92,1.96){$\overrightarrow{OM}$}
\rput[bl](2,0.5){\qqwuqq{$\theta $}}
\end{pspicture*}
\end{center}

On repère la position de $M$ par  sa distance à 0 et l'angle orienté entre le vecteur $\overrightarrow{u}$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$.\\

On note $\left[r~;~\theta\right]$ les coordonnés polaires d'un point ; $r=OM$ et $\theta=\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{OM}\right)$ (angle orienté, défini à $2k\pi$ prés).\\
Les \textbf{coordonnées cartésiennes} de $M$ sont alors $\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$.\\


\subsection{\textcolor{blue}{Argument d'un nombre complexe}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition} :}
Dans le plan complexe muni du repére orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on appelle argument de $z\neq 0$, noté $\arg(z)$ \textbf{\textcolor{red}{toute}} mesure en radians de l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)$ où $M$ est le point d'affixe $z$.
\end{bclogo}

\bigskip



\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarques : }}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  Un nombre complexe a une infinité d'arguments, différents tous entre eux d'un multiple de $2\pi$.\\
Autrement dit : $\arg(z)=\theta+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ si $\theta$ est un des arguments.\\
On utilise de préférence la mesure principale de cet argument, c'est-à-dire la mesure (parmi l'infinité de mesures possibles) qui appartient à l'intervalle $[-\pi~;~\pi[$.

\item 0 n'a pas d'argument car on ne pas pas définir d'angle entre $\overrightarrow{u}$ et le vecteur nul $\overrightarrow{0}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\subsection{\textcolor{blue}{Forme trigonométrique}}
Si $\theta=\arg(z)$, l'affixe de $z$ est alors : $z=r\cos\theta+\mathrm{i}r\sin\theta=r\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)$.\\
On a : $\left\{\begin{array}{l}\cos\theta=\dfrac{x}{r}~\left(\dfrac{\text{côté adjacent à l'angle}}{\text{hypoténuse}}\right)\\\\\sin\theta=\dfrac{y}{r}~\left(\dfrac{\text{côté opposé à l'angle}}{\text{hypoténuse}}\right)\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{l}x=r\cos\theta\\\\y=r\sin\theta\end{array}\right.$\\

\begin{minipage}{15cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{\textbf{\textcolor{red}{Définition}} :}}
La forme trigonométrique de $z$ est : $\boxed{\textcolor{red}{z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)}}$ où $r=\left\vert z \right\vert$\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque : }}la forme trigonométrique d'un nombre complexe est unique.
\end{bclogo}\end{minipage}

Exemple de détermination de la forme trigonométrique d'un nombre complexe  : soit $z=2+2\mathrm{i}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On commence par chercher le module : $\left\vert z \right\vert=\left\vert 2+2\mathrm{i} \right\vert=\left\vert 2(1+\mathrm{i}) \right\vert=2\left\vert 1+\mathrm{i} \right\vert=2\sqrt{1^2+1^2}=2\sqrt{2}$ donc $\left\vert z \right\vert=2\sqrt{2}$.

\item Détermination de $\arg(z)=\theta$.\\
On doit avoir :\\
$\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac{\text{Re}(z)}{\left\vert z \right\vert}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\\
\sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac{\text{Im}(z)}{\left\vert z \right\vert}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}$.\\
On cherche donc un angle $\theta$ tel que $\begin{cases}\cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\\
\end{cases}$\\
On trouve $\boxed{\textcolor{red}{\theta=\dfrac{\pi}{4}}}$.\\
\end{enumerate}
Par conséquent : $z\boxed{\textcolor{red}{=2+2\mathrm{i}=2\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Propriétés :}}
\textbf{\textcolor{red}{a) Conjugué et opposé :}}\\
\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Pour tout $z\in\mathbb{C}^*$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\arg(\overline{z})=-\arg(z)~[2\pi]$

\item $\arg(-z)=\arg(z)+\pi~[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} évident géométriquement, car les points d'affixes $z$ et $\overline{z}$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.\\
Multiplier l'affixe $z\neq 0$ d'un point par (-1) revient à faire subir à ce point une symétrie de centre O ; l'argument augmente alors de $\pi~[2\pi]$.\\

\textbf{\textcolor{red}{b) Propriétés algébriques :}}\\
\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{}
Si $z$ et $z'$ sont des nombres complexes non nuls, alors:\\
\begin{enumerate}

\item $z\in\mathbb{R}^*\Leftrightarrow \arg(z)=0~[\pi]$ \hspace{1cm} (caractérisation d'un réel)

\item $z\in\mathrm{i}\mathbb{R}\Leftrightarrow \arg(z)=\dfrac{\pi}{2}~[\pi]$\hspace{1cm} (caractérisation d'un imaginaire pur)

\item $\forall z\in\mathbb{C}^*$, $\forall z'\in\mathbb{C}^*$, $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$

\item $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)$

\item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')$

\item $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $\arg\left(z^n\right)=n\arg(z)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip



\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
\begin{enumerate}

\item évident géométriquement : si $z\in\mathbb{R}^{+*}$, $\arg(z)=0~[2\pi]$ et si $z\in\mathbb{R}^{-*}$, $\arg(z)=\pi~[2\pi]$ d'où le résultat.\\
La réciproque est évidente.

\item facile (même méthode qu'au 1.)

\item Soient $z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+\mathrm{i}\sin\theta')$ écrits sous leurs formes trigonométriques.\\
Alors : $zz'=rr'(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)(\cos\theta'+\mathrm{i}\sin\theta')=rr'(\cos\theta\cos\theta'+\mathrm{i}\cos\theta\sin\theta'+\mathrm{i}\sin\theta\cos\theta'-\cos\theta\cos\theta')=rr'(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'+\mathrm{i}(\cos\theta\sin\theta'+\sin\theta\cos\theta'))=rr'(\cos(\theta+\theta')+\mathrm{i}\sin(\theta+\theta'))$.\\
Donc $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$.

\item Soit $z=r(cos\theta+i\sin\theta)$ avec $|z|=r$ et $\arg(z)=\theta$.\\
$\frac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}=\dfrac{\overline{z}}{r^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)}=\dfrac{r(\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta)}{r^2}=\dfrac{1}{r}\left(\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta\right)$ d'où $arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)$.
\item $\frac{z'}{z}=z'\times\frac{1}{z}$ et on utilise les propriétés précédentes.
\item \textbf{démonstration par récurrence} (facile à faire)
\end{enumerate}


\bigskip

%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (plus au programme telle quelle) :}}
%Soient trois points distincts A, B, C : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $\left|\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\frac{\left|z_C-z_A\right|}{\left|z_B-z_A\right|}=\frac{AC}{AB}$
%
%\item $\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\arg(z_C-z_A)-\arg(z_B-z_A)=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}\right)- \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.
%\end{enumerate}
%\end{bclogo}
%
%\bigskip
%
%\textbf{\textcolor{red}{Exemple d'utilisation :}}\\
%Soient les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes $z_A=5+2i$, $z_B=2+3i$, $z_C=4-i$.\\
%Que peut-on dire du triangle ABC ?\\
%$\frac{AC}{AB}=\left|\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\left|\frac{-1-3i}{-3-i}\right|=|i|=1$ donc AC=AB et le triangle ABC est isocéle.
%
%\noindent $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\arg(i)=\frac{\pi}{2}$ et le triangle est rectangle en A.\\
%ABC est donc un triangle rectangle isocéle.

\subsection{\textcolor{blue}{Forme exponentielle des nombres complexes}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
Pour tout nombre réel $\theta$, on pose : $\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$.\\
Si $z$ est un nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$, on appelle forme exponentielle de $z$ l'écriture $z=r e^{i\theta}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :} }\\
Soit $f$ la fonction définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ par : $f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$. On a : $f(\theta+\theta')=f(\theta)f(\theta')$. La fonction $f$ vérifie \textbf{\textcolor{red}{l'équation fonctionnelle}} caractéristique de la fonction exponentielle, ce qui est une première justification de cette écriture sous forme exponentielle.\\
La vraie justification vient de propriété que l'on étudie après le bac.

\bigskip

\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété : }}
Soient $r e^{i\theta}$ et $r'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes non nuls, notés respectivement $z$ et $z'$.\\
\begin{enumerate}
\item $zz'=r e^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$
\item $\frac{1}{z}=\frac{1}{r e^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$
\item $\frac{z'}{z}=\frac{r 'e^{i\theta'}}{r e^{i\theta}}=\frac{r}{r'}e^{i(\theta'-\theta)}$
\item $z^n=(r e^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$
\item $\overline{z}=\overline{r e^{i\theta}}=r e^{-i\theta}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

La démonstration repose sur les calculs faits avec la notation trigonométrique.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque }}: La formule qu'admirait Euler au point de la faire graver sur sa tombe est \huge\[\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1}}\]

\bigskip
\normalsize

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarques :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \noindent Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos x=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)$

\item \noindent Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\sin x=\dfrac{1}{2\mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)$
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  