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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD suites \no 2}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite strictement positive, convergente de limite $\ell$. Alors $\ell=0$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=2$ pour tout $n$ (suite constante). a suite $\left(u_n\right)$ est strictement positive et $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=2$.

\item Si pour tout $n>1$, $-1-\dfrac{1}{n}\leqslant v_n\leqslant  1+\dfrac{1}{n}$, alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} :  contre-exemple : $u_n=(-1)^n$ pour tout $n$. La suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite et vérifie les inégalités imposées.\\
On peut aussi prendre $u_n=\cos n$ eau $u_n=\sin n$ (mais ce n'est pas évident de démontrer que ces suites ne sont pas convergentes).

\item Si $\left(u_n\right)$ n'est pas minorée, alors elle est majorée.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} :  contre-exemple : $u_n=(-1)^n\times n$ ; $\left(u_n\right)$ n'est ni majorée ni minorée.

\item Si $\left(u_n\right)$ prend un nombre fini de valeurs, alors elle est convergente.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=(-1)^n$ ; la suite prend deux valeurs mais diverge.

\item Si $\left(u_n\right)$ est strictement positive et strictement croissante, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple :  $u_n=2-\dfrac{1}{n+1}$ ; cette suite est croissante et \textbf{\textcolor{blue}{converge}} vers 2.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2010}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 

%\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
D'après la définition $u_{2} = u_{1} - \dfrac{1}{4}u_{0} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{3}{4}}}$.

$\bullet~$ Si la suite était géométrique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à $- \dfrac{1}{2}$ ; or $u_{1} \times \left(- \dfrac{1}{2} \right) =  \dfrac{1}{2} \neq u_{2}$.

$\bullet~$ Si la suite était arithmétique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à $\dfrac{1}{2} - ( -1) = \dfrac{3}{2}$ ; or $u_{1} + \left(\dfrac{3}{2}  \right) =  \dfrac{4}{2} = 2  \neq u_{2}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item %On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 
%\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $v_{0}$.
$v_{0} = u_{1} - \dfrac{1}{2}u_{0} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \times (- 1) = \boxed{\textcolor{red}{1}}$. 
		\item %Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.
		
Pour tout naturel $n$, $v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}\\
= u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n} - \dfrac{1}{2}u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n+1} -  \dfrac{1}{4}u_{n} \\
= \dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} \right) =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}v_{n}}}$.

\item %En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Pour tout $n$, $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_{n}$. On en déduit que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une \textbf{\textcolor{red}{suite géométrique}} de premier terme 1 et de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{1}{2}}}$. 

\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
Puisque la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique, quel que soit $n \in \mathbb{N},~v_{n} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2^n}}}$.
	\end{enumerate} 
	
\item %On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 

%\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $w_{0}$.
$w_{0} = \dfrac{u_{0}}{v_{0}}  = \dfrac{- 1}{1} = \boxed{\textcolor{red}{-1}}$.

		\item %En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$.
On a  $w_{n+1}   = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \dfrac{v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}}{\dfrac{1}{2}v_{n}} =\boxed{\textcolor{red}{ 2 + \dfrac{u_{n}}{v_{n}}}}$.

		\item %En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N},~ w_{n+1} = w_{n} + 2$.
On a par définition $\dfrac{u_{n}}{v_{n}} = w_{n}$, donc l'égalité ci-dessus s'écrit :

$\boxed{\textcolor{red}{w_{n+1} = 2 + w_{n}}}$. 

		\item %Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
		L'égalité précédente montre que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}} de premier terme $- 1$ et de raison $2$.
		
		On a donc $w_{n} = w_{0} + n \times 2 =\boxed{\textcolor{red}{ - 1 + 2n}}$.
	\end{enumerate} 
	
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$

%\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
On a trouvé que $w_{n} = 2n - 1 = \dfrac{u_{n}}{v_{n}} = \dfrac{u_{n}}{\frac{1}{2^n}} = 2^n \times u_{n}$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n} = \dfrac{2n - 1}{2^n}}}$, car $2^n \neq 0$ quel que soit $n \in \mathbb{N}$.  
\item %Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
 
%Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : 

%\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]
Démonstration par récurrence :

$\bullet~~$ \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $S_{0} = u_{0} = -1$ et $2 - \dfrac{2\times 0 + 3}{2^0} = 2 - \dfrac{3}{1} = 2 - 3 = - 1$. La formule est vraie au rang $0$.

$\bullet~~$ \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : supposons qu'il existe un naturel $k$ tel que :

$S_{k} = \sum_{i=0}^{k} u_{i} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{k} = 2 - \dfrac{2k + 3}{2^k}$.

Donc $S_{k+1} = S_{k} + u_{k+1} = 2 - \dfrac{2k + 3}{2^k} +  \dfrac{2(k + 1) - 1}{2^{k+1}} \\
= 2 +  \dfrac{-4k - 6  + 2k + 1}{2^{k + 1}} = 2 + \dfrac{-2k - 5}{2^{k + 1}} = 2 - \dfrac{2k + 5}{2^{k + 1}} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ 2 - \dfrac{2(k + 1) + 3}{2^{k + 1}}}}$.

La formule est vraie au rang $k + 1$.

On a donc démontré par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ :

\[\boxed{\textcolor{red}{S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}}}.\]

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  