\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les probabilités conditionnelles}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Extrait bac ES centres étrangers juin 2019}}
On s'intéresse à la clientèle d'un musée. 

Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée. 

Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 70\,\% des clients achètent leur billet sur internet; 
\item[$\bullet~~$] parmi les clients achetant leur billet sur internet, 
35\,\% choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ; 
\item[$\bullet~~$] parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55\,\% choisissent une visite avec un audioguide. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ : \og Le client choisit une visite avec un audioguide \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$]$B$ : \og Le client achète son billet sur internet avant sa visite \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
Traduction de l'énoncé : $p(B)=0,7$ ; $p_B(A)=0,35$~;~$p_{\overline{B}}(A)=0,55$.

On traduit la situation par un arbre pondéré :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $0,7$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $0,35$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{ $0,65$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{B}$}\tbput{ $0,3$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $0,55$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{ $0,45$}}}
\end{center}

\item %Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $0,41$. 
D'après la formule des probabilités totales, on a :\\
$p(A)=p_B(A)\times p(B)+p_{\overline{B}}(A)\times p\left(\overline{B}\right)=0,35\times 0,7+0,55\times 0,3=0,245+0,165=0,41$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{p(A)=0,41}}$.

\item On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide. 

Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur Internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site Internet du musée. 

%D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur? Justifier la réponse. 
$p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{0,245}{0,41}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,598>0,5}}$.\\
Puisque plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur Internet, le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site Internet du musée. 
\end{enumerate}

\subsection{Bac S Polynésie septembre 2002}
%Une compagnie d'assurance automobile fait un bilan des frais d'intervention, parmi ses dossiers d'accidents de la circulation. 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $85\:\%$ des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 
%\item[$\bullet~$] $20\:\%$ des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. 
%\item[$\bullet~$] $12\:\%$ des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Soit les évènements suivants  :
%
%$R$ : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle 
%
%$D$ : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels.

\begin{enumerate} 
\item ~%En utilisant les notations $R$ et $D$, exprimer les trois
%pourcentages de l'énoncé en termes de probabilités ; les résultats seront donnés sous forme décimale.
On peut dresser un arbre pondéré  de probabilités :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$}\naput{0,85}}
		{\TR{$D$}\naput{0,12}
		\TR{$\overline{D}$}\nbput{0,88}
		}
\pstree{\TR{$\overline{R}$}\nbput{0,15}}
		{\TR{$D$}
		\TR{$\overline{D}$}
		}
}
\end{center}

On a donc 

$\bullet~~$On a $p(R) = 0,85$ ;

$\bullet~~$On a $p(D) = 0,2$ ;

$\bullet~~$On a $p_R(D) = 0,12$.
\item %Calculer la probabilité pour qu'un dossier :	
	\begin{enumerate} 
		\item %entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ;	
On a $p(R \cap D) = p(R) \times p_R(D) = 0,85 \times 0,12 = 0,102$.	
		\item %entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;
$p\left(R \cap \overline{D}\right) = (R) \times  p_R\left(\overline{D} \right) = 0,85 \times (1 - 0,12) = 0,85 \times 0,88 = 0,748$.
		\item %entraîne seulement des frais de dommages corporels ;
D’après la loi des probabilités totales :

$p(D) = p(R  \cap D) + p\left(\overline{R} \cap D \right) \iff 0,2 = 0,102 +  p\left(\overline{R} \cap D \right) \iff p\left(\overline{R} \cap D \right) =$

$0,2 - 0,102 = 0,098$.
		\item %n'entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels ;
Les évènements $D\cap R$, \: $D \cap \overline{R}$, \: $R \cap \overline{D}$,\: et $\overline{R} \cap \overline{D}$ constituent une partition de l'ensemble des dossiers, d'où :

$p\left(\overline{R} \cap \overline{D} \right) = 1 - p(D\cap R) - p\left( D \cap \overline{R}\right) - p\left(R \cap \overline{D} \right) = 1 - (0,102 + 0,098 + 0,748) = 0,052$.
	\item %entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu'il entraîne des frais de dommages corporels.
	$p_D(R) = \dfrac{p(R \cap D)}{p(D)} = \dfrac{0,102}{0,2} = 0,51$. 
	 \end{enumerate}
\item %On constate que 40\,\% des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et parmi ces derniers 60\,\% entraînent des frais de dommages corporels.
Soit $E$ l'évènement : \og le dossier correspond à un excès de vitesse \fg. 

On a $p(E) = 0,6$ et $p_E(D) = 0,4$. 
	\begin{enumerate} 
		\item %On choisit un dossier ; quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ?
On a $p(E \cap D) = p(E) \times p_E(D) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$.
		\item %On choisit cinq dossiers de fa\c{c}on indépendante. Quelle est la probabilité  pour qu'au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels.
Le nombre de dossiers est assez grand pour que l'on puisse considérer que la probabilité de tirer un dossier correspondant à un excès de vitesse et entraînant des frais de dommages corporels est toujours égale à $0,24$. La variable aléatoire égale au nombre de dossiers correspondant à un excès de vitesse et entraînant des frais de dommages corporels suit donc une loi de Bernoulli de paramètres $n = 5$ et $p = 0,24$.

La probabilité qu'il n'y ait aucun dossier correspondant à un excès de vitesse et entraînant des frais de dommages corporels est égale à $(1 - 0,24)^5 = 0,76^5$, donc la probabilité qu'au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels est :

$1 - 0,76^5 \approx 0,746$.
	 \end{enumerate} 
 \end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Bac S Antilles Guyane septembre 2002}}
\begin{enumerate} 
\item %Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_1=\frac12$ et par la relation de récurrence :\begin{equation*}u_{n+1}=\frac16u_n+\frac13.
%\end{equation*}
	\begin{enumerate} 
		\item %Soit la suite $(v_n)$ définie pour $n \geqslant 1$ par
%$v_n=u_n-\frac25$ ; montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique
%dont on précisera la raison.
On a pour $n \geqslant 1$, \: $v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{2}{5} = \frac16u_n+\frac13 - \dfrac{2}{5} = \frac16u_n + \dfrac{5 - 6}{3\times 5} =$

$\frac16u_n + \dfrac{- 1}{15} = \dfrac{1}{6}\left(u_n - \dfrac{2}{5} \right) = \dfrac{1}{6}v_n$.

L'égalité $v_{n+1} =  \dfrac{1}{6}v_n$  vraie pour $n \geqslant 1$, montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{6}$. Son premier terme est 

$v_1 = u_1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5 - 4}{10} = \dfrac{1}{10}$.
		\item %En déduire l'expression de $v_n$ en fonction  de $n$ puis celle de $u_n$.
On sait que $v_n = v_1\times \left(\dfrac{1}{6} \right)^{n-1} = \dfrac{1}{10}\times \dfrac{1}{6^{n-1}}$.

Or $v_n=u_n-\frac25 \iff u_n = v_n + \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{10}\times \dfrac{1}{6^{n-1}} + \dfrac{2}{5}$, pour $n \geqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item %On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois 
%faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches.

%On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde
%le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le
%dé et ainsi de suite.
%
%On désigne par $A_n$ l'évènement
%\og on utilise le dé A au $n$-ième lancer \fg,
%
%par $\overline{A_n}$ l'évènement contraire de $A_n$, 
% 
%par $R_n$ l'évènement \og on obtient rouge au $n$-ième lancer
%\fg,
%
%par $\overline{R_n}$ l'évènement contraire de $R_n$, 
%
%par $a_n$ et $r_n$ les probabilités respectives de $A_n$ et $R_n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $a_1$.
On a $a_1 = \dfrac{1}{2}$ puisque l'on choisit au départ l'un des deux dés au hasard
		\item ~%Déterminer $r_1$. Pour cela, on pourra s'aider d'un arbre.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_1$}\naput{\footnotesize $\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$R_1$}\naput{\footnotesize $\frac{1}{2}$}
	\TR{$\overline{R_1}$}\nbput{\footnotesize $\frac{1}{2}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A_1}$}\nbput{\footnotesize $\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$R_1$}\naput{\footnotesize $\frac{2}{3}$}
	\TR{$\overline{R_1}$}\nbput{\footnotesize $\frac{1}{3}$}
	}
}		
\end{center}
\bigskip

On a donc, d'après la loi des probabilités totales :

 $r_1 = p\left(R_1 \right) = p\left(A_1 \cap R_1 \right) + p\left(\overline{A_1} \cap R_1 \right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{2}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 4}{3\times 4} = \frac{7}{12}$.
		\item ~%En remarquant que, pour tout $n\geqslant 1$, $R_n=\left(R_n\cap A_n\right)\cup\left(R_n\cap \overline{A_n}\right)$, montrer que
%$r_n=-\frac16a_n+\frac23$.
On peut dresser un arbre analogue au rang $n$ :

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_n$}\naput{\footnotesize $a_n$}}
	{\TR{$R_n$}\naput{\footnotesize $\frac{1}{2}$}
	\TR{$\overline{R_n}$}\nbput{\footnotesize $\frac{1}{2}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A_n}$}\nbput{\footnotesize $1 - a_n$}}
	{\TR{$R_n$}\naput{\footnotesize $\frac{2}{3}$}
	\TR{$\overline{R_n}$}\nbput{\footnotesize $\frac{1}{3}$}
	}
}		
\end{center}
\bigskip

On a donc $r_n = p\left(R_n \right) = p\left(A_n \cap R_n \right) + p\left(\overline{A_n} \cap R_n \right) = a_n \times \frac{1}{2} + \left(1 - a_n \right)\times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}a_n - \frac{2}{3}a_n  + \frac{2}{3} = - \frac{1}{6}a_n + \frac{2}{3}$.
		\item %Montrer que, pour tout $n\geqslant 1$, $A_{n+1}=\left(A_n\cap R_n\right)\cup\left(\overline{A_n}\cap \overline{R_n}\right)$.
À la partie $(n + 1)$, on utilise le dé A si :

$\bullet~~$on l'a utilisé à la partie $n$ et qu'on a obtenu rouge

$\bullet~~$ou si on a utilisé le dé B à la partie $n$ et que l'on a obtenu blanc.

On a donc pour tout $n \geqslant1$, 

$A_{n+1} = \left(A_n \cap R_n \right) + \left(\overline{A_n} \cap \overline{R_n} \right)$

		\item %En déduire que, pour tout $n\geqslant 1$,
		
%$a_{n+1}=\dfrac16a_n+\frac13$,
%puis déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.
D'après la question précédente :

$a_{n+1} = p\left(A_{n+1} \right) = p\left(A_n \cap R_n \right) + p\left(\overline{A_n} + \overline{R_n} \right)$, soit :

$a_{n+1} = p\left(A_n \right) \times p_{A_n}\left(R_n\right) + p_{\overline{A_n}}\left(\overline{R_n} \right) = \dfrac{1}{2}a_n + \dfrac{1}{3}\left(1 - a_n \right)$.

Finalement $a_{n+1} = \dfrac{1}{6}a_n + \dfrac{1}{3}$.

On a donc $a_n = u_n$ vue à la question 1. Donc 

\[a_n = \dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1}{6} \right)^{n-1} + \dfrac{2}{5}.\]

\item %En déduire l'expression de $r_n$ en fonction de $n$ puis la limite de $r_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
D'après le résultat des questions 2. c. et 2. e., on a donc pour $n \geqslant 1$ :

$r_n = - \frac{1}{6}a_n + \frac{2}{3} = - \frac16\left(\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1}{6} \right)^{n-1} + \dfrac{2}{5} \right) + \dfrac{2}{3} = - \dfrac{1}{60}\left(\dfrac{1}{6} \right)^{n-1}\right) - \dfrac{1}{15} + \dfrac{2}{3} =$

$- \dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1}{6} \right)^{n} + \dfrac{- 1 + 10}{15} = - \dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1}{6} \right)^{n} + \dfrac{9}{15} = - \dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1}{6} \right)^{n} + \dfrac{3}{5}$.

Comme $- 1< \frac16 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{6} \right)^{n} = 0$, donc  finalement 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} r_n =  \dfrac{3}{5} = 0,6 = 60\,\%$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  