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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices de révision (récurrence, limites)}}\end{center}



\subsection{}
Démontrons, par récurrence, que, pour tout $n\geqslant 1$, $n!\geqslant 2^{n-1}.$\\
 
\bigskip
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=1$, $2^{n-1}=2^0=1=1!$ donc la propriété est vraie au rang $n=1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie à un rang $n\geqslant 1$ quelconque.\\
Au rang $n+1$ : $(n+1)!=n!\times (n+1)$.\\
$n\geqslant 1\Rightarrow n+1\geqslant 2\Rightarrow n!\times (n+1)\times n!\times 2$.\\
Or, d'après 'hypothèse de récurrence, $n!\geqslant 2^{n-1}$, donc $n!\times 2\geqslant 2^{n-1}\times 2=2^{n_1+1}=2^n$ d'où $(n+1)!\times 2^n$ c.q.f.d.
\end{enumerate}
La propriété est héréditaire.\\
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pur tout $n\geqslant 1$, donc $\boxed{\textcolor{red}{n!\geqslant 2^n}}$ pour tout $n\geqslant 1$.

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et \\
$u_{n+1}=3u_n+2$ pour tout $n$.\\
Montrons par récurrence  que, pour tout $n$, $u_n=4\times 3^n-1$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=0$; $4\times 3^n-1=4\times 3^0-1=4\times 1-1=4-1=3=u_0$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque donc $u_n=4\times 3^n-1$.\\
Alors : $u_{n+1}=3u_n+2=3\left(4\times 3^n-1\right)+2=3\times 4\times 3^n-3+2=4\times 3\times 3^n-1=4\times 3^{n+1}-1$ c.q.f.d. 
\end{enumerate}

La propriété est héréditaire.\\
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pur tout $n\geqslant 1$, donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=4\times 3^n-1}}$ pour tout $n$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions ; pour $x\in\mathscr{D}_f$, on suppose que $f(x)\in\mathscr{D}_g$.\\
On appelle composée de $f$ suivie de $g$ la fonction, notée $g\circ f$, définie par $g\circ f(x)=g(f(x))$.\\
$g\circ f : x\xrightarrow{f} f(x)\xrightarrow{g} g(f(x))$.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La composée de deux fonctions croissantes ou décroissantes est croissante ; la composée d'une fonction croissante avec une fonction décroissante est décroissante.
\end{bclogo}
\textbf{\textcolor{blue}{Justification}} : supposons $f$ et $g$ croissantes : elles conservent donc toutes les deux l'ordre\\
Soient $x_1<x_2$ quelconques.\\
$x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)\leqslant f\left(x_2\right)\Rightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right)\leqslant g\left(f\left(x_2\right)\right)$ donc $g\circ f$ est croissante.\\

\bigskip

\noindent Si les deux fonctions sont décroissantes, elle changent toutes les deux l'ordre.\\
Alors : $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)\geqslant f\left(x_2\right)\Rightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right)\leqslant g\left(f\left(x_2\right)\right)$ donc $g\circ f$ est croissante.\\

\bigskip

\noindent Même démarche si l'une est crossante et l'autre décroissante

\subsection{}%Déclic \no 52 page 73

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ dont on donne le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{-2}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Dresser, en justifiant, les tableaux de variation des fonctions $-f$, $\left\vert f \right\vert$, $f^2$ et $\dfrac{1}{f}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-f=u\circ f$ avec $v(x)=-x$ ; $v$ est décroissante, donc $v\circ f$ a les variations contraires de celles de $f$.\\
Le tableau de variations de $-f$ est donc :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
\m{-f(x)}&\h{\pI}&\d&-2&\c&\h{\pI}&\bb&\mI&\c&\h{-1}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $\left\vert f \right\vert=u\circ f$ avec $u(x)=\left\vert x \right\vert$ ; la fonction $x\mapsto \left\vert x \right\vert$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\
\begin{itemize}
\item Sur $]-\infty~;~-1]$, $f$ est croissante et négative donc $u\circ f$ est décroissante.

\item Sur $[-1~;~0[$, $f$ est décroissante et négative donc $u\circ f$ est croissante.

\item Sur $]0~;~2[$, $f$ est décroissante et positive donc $u\circ f$ est décroissante.

\item Sur $[2~;~+\infty[$, $f$ est croissante et positive donc $u\circ f$ est croissante.
\end{itemize}
On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
\m{\left\vert f(x) \right\vert}&\h{\pI}&\d&2&\c&\h{\pI}&\bb&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $f^2=u\circ f$ avec $u(x)=x^2$ ; la fonction carré $x\mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\
\begin{itemize}

\item Sur $]-\infty~;~-1]$, $f$ est croissante et négative, donc $u\circ$ est décroissante.\\ 

\item Sur $[-1~;~0[$, $f$ est décroissante et négative, donc $u\circ$ est croissante.\\

\item Sur $]0~;~2]$, $f$ est décroissante et positive, donc $u\circ$ est décroissante.\\

\item Sur $[2~;~+\infty]$, $f$ est croissante et positive, donc $u\circ$ est croissante.
\end{itemize}
Le tableau de variation de $f^2$ est donc :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
\m{f^2(x)}&\h{\pI}&\d&4&\c&\h{+\infty}&\bb&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $\dfrac{1}{f}=u\circ f$ avec $u(x)=\dfrac{1}{x}$ ; $u$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$ et sur $]0~;~+\infty[$.\\
\begin{itemize}
\item Sur $]-\infty~;~-1$, $f$ est croissante et négative, donc $u\circ f$ est décroissante comme composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante.

\item Sur $[-1~;~0[$, $u\circ f$ est décroissante d même que $u$ donc $u\circ f$ est croisante.

\item Sur $]0~;~2]$, $f$ est décroissante positive, $u$ est décroissante donc $u\circ f$ est croissante.

\item Sur $[2~;~+\infty[$, $f$ est croissante positive, $u$ est décroissante donc $u\circ f$ est décroissante.
\end{itemize}
On en déduit de tableau de variation de $\dfrac{1}{f}$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
\m{\dfrac{1}{f}(x)}&\h{0}&\d&-\dfrac{1}{2}&\c&\h{0}&\bb&0&\c&\h{1}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsection{}
Déterminer la limite en $+\infty$ dans chacun des cas suivants :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=(2-\sin x)x^2$\\
$\forall x\in\mathbb{R},~-1\leqslant \sin x\leqslant 1\Rightarrow -1\leqslant -\sin x\leqslant 1\Rightarrow1\leqslant 2-\sin x\leqslant 3$ (en ajoutant 2).\\
En multipliant par $x^2\geqslant 0$, on en déduit : \\
$x^2\leqslant (2-\sin x)x^2\leqslant 3x^2$ donc $x^2\leqslant fx\leqslant 3x^2$
Or $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^2=+\infty$.\\
D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème de comparaison}}, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.\\
(On a minoré $f(x)$ par une expression qui tend vers $+\infty$).

\item $f(x)=\dfrac{3x}{\cos x-3}$\\
$\forall x\in\mathbb{R},~-1\leqslant \cos x\leqslant 1\Rightarrow -4\leqslant \cos x-3\leqslant -2$.\\
On applique alors la fonction inverse, qui est décroissante sur $]-\infty~;~0[$.\\
$-\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{\cos x-3}\leqslant -\dfrac{1}{4}$.\\
Comme on cherche la limite en $+\infty$, on peut supposer $x$ positif et multiplier alors par $3x$, ce qui ne va pas changer le sens des inégalités.\\
Donc : $-\dfrac{3x}{2}\leqslant \dfrac{3x}{\cos x-3}\leqslant -\dfrac{3x}{4}$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{3x}{4}\right)=-\infty$.\\
D'après le \textbf{ \textcolor{red}{théorème de comparaison}}, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}}$.\\
On a cette fois majoré $f(x)$ par un terme qui ten vers $-\infty$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-3~;~3\right\}$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminons, si elle existe, $\lim_{x\rightarrow 3}f(x)$.\\
On constate que le numérateur, $x^2-4x+3$, s'annule pour $x=3$.\\
C'est un polynôme du second degré, qui a comme racine 3. Il se factorise donc sous la forme $x^2-4x+3=(x-3)(ax+b)$.\\
$a$ correspond au coefficient de $x^2$ donc $a=1$ ; $-3b=3$ donc $b=-1$ d'où $x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$.\\
On peut aussi calculer le discriminant $\Delta=4$ et calculer les deux racines, qui valent 1 et 3.\\
Pour $x\neq 3$, on a $f(x)=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)=\dfrac{x-1}{x+3}}$ (identité remarquable au dénominateur).\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}}}$

\item Démontrer que la courbe représentative de $f$, $\mathscr{C}$, admet des asymptotes dont on donnera les équations.\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Limite à l'infini}} : \\
Pour $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x^2\left(1-\frac4x+\frac3{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac9{x^2}\right)}=\dfrac{1-\frac4x+\frac3{x^2}}{1-\frac9{x^2}}$ donc $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=1$.\\
La droite d'équation $y=1$ est asymptote à $\mathscr{C}$ au voisinage de l'infini.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Limite en -3}} :\\
$\lim_{x\rightarrow -3}\left(x^2-4x+3\right)=24>0$\\
$\lim_{x\rightarrow -3}\left(x^2-9\right)=0$ ; il faut distinguer selon la position de $x$ par rapport à -3.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}\left(x^2-9\right)=0$ avec $x^2-9>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}f(x)=+\infty}}$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x>-3}}\left(x^2-9\right)=0$ avec $x^2-9<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x>-3}}f(x)=-\infty}}$.\\
La droite d'équation $x=-3$ est donc asymptote à $\mathscr{C}$.\\
Courbe (non demandée)
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-6)(8,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-6)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.8pt](-6,-6)(8,6)
\psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200,linecolor=blue]{-6}{8}{(x^(2)-4*x+3)/(x^(2)-9)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-3,-6)(-3,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-6}{8}{(--1-0*x)/1}
\uput[d](-1,-1){$\mathscr{C}$}
\uput[r](-3,4){$x=-3$}
\uput[u](2,1){$y=1$}
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\newpage


\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1-3x}{x^2+x}$.
\begin{enumerate}
\item Traçons la courbe représentative de $f$ à la calculatrice. Conjecturer la limite de $f$ en 0 et en $+\infty$, ainsi que ses variations. On obtient :
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(8,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-3)(8,6)
\psplot[linecolor=red]{0.01}{8}{(1-3*x)/(x^2+x)}
\end{pspicture*}
\end{center}
On conjecture que la limite en 0 de $f(x)$ est $+\infty$, que la limite en $+\infty$ est 0 et que la fonction semble décroissante sur $]0~;~1]$ puis décroissante sur $[1~;~+\infty[$.

\item %Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=1-3x\\v(x)=x^2+x\end{array}\right.$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-vu'}{v^2}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=-3\\v'(x)=2x+1\end{array}\right.$.\\
On en déduit que : $f'(x)=\dfrac{-3\left(x^2+x\right)-(2x+1)(1-3x)}{\left(x^2+x\right)^2}=\dfrac{-3x^2-3x-[2x-6x^2+1-3x]}{\left(x^2+x\right)^2}=\dfrac{-3x^2-3x-2x+6x^2-1+3x}{\left(x^2+x\right)^2}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{3x^2-2x-1}{\left(x^2+x\right)^2}}}$.\\
Le dénominateur est positif, donc l'expression est du signe du numérateur.\\
$\Delta=16$ ; il y a deux racines, $-\dfrac{1}{3}$ et 1.\\
Seul le nombre 1 est dans l'ensemble de définition.\\
On en déduit : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&1&&\pI\\
\hline
3x^2-2x-1&\bb&&-&\z&+\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
f(x)&\bb&\h{\pI}&\d&-1&\c&\h{0}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Étudions les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en 0 $x>0$.\\
$\lim_{x\rightarrow 0}(1-3x)=1$ et $\lim_{x\rightarrow 0}\left(x^2+x\right)=0$ avec $x^2+x>0$ puisque $x>0$ donc $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=+\infty$.

\item Pour $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x\left(\frac1x-3\right)}{x^2\left(1+\frac1x\right)}=\dfrac{\frac1x-3}{x\left(1+\frac1x\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{x}-3\right)=-3$ ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)=+\infty$.\\
Par conséquent : $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$ (avec $f(x)<0$)
\end{enumerate}

\item %Vérifier les conjectures.
Les conjectures sont bien vérifiées.
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ?}}
Soit $f$ une fonction dont le tableau de variation est le suivant :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&1&&2&&4&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{1}&\dh&\m{0}&\db&\mI&\bb&\h{\pI}&\dh&\m{0}&\db&-3&\cb&\m{0}&\ch&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x)=1$ admet une unique solution.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : cette solution $\alpha$ appartient à $]0~;~1]$ ; en $-\infty$ et $+\infty$, 1 est une limite, donc non atteinte.

\item L'équation $f(x)=-3$ admet une unique solution.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : l'équation a une solution entre -1 et 0 et le nombre 2, donc l'équation a deux solutions.

\item L'imge par $f$ de l'intervalle $]0~;~4]$ est l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, $2\in]0~;~4]$, et $f(3)=-3\notin[0~;~+\infty[$.

\item Le signe de $f$ est donné par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&0&&1&&4&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\bb&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : en effet, $f(-2)\neq 0$ et entre -2 et 1, $f(x)\geqslant 0$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  