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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle \no 1} }\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n\geqslant 2$, 
Démontrons par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n\geqslant 2$, 
\[\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\times \cdots\times \left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\]
Notons $S_n=\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\times \cdots\times \left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)$, somme de $(n-1)$ termes.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : pour $n=2$ : $1-\dfrac{1}{2^2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{2+1}{2\times 2}=\dfrac{3}{4}$ donc la propriété est vérifiée pour $n=2$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose ma propriété vraie pour un entier $n\geqslant 2$ quelconque, donc 
\[S_n=\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\times \cdots\times \left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\]
    Alors : $S_{n+1}=S_n\times \left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)\\
    =\dfrac{n+1}{2n}\times \left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)
    =\dfrac{n+1}{2n}\times \dfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}\\
    =\dfrac{n+1}{2n}\times \dfrac{[(n+1)-1][(n+1)+1]}{(n+1)^2}
=\dfrac{n+1}{2n}\times  \dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n+2}{2n+1}}}$ après simplification, ce qu'il fallait démontrer.\\
    La propriété est \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}. 
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 2$.


\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}
Calculer, en justifiant, les limites des suites $\left(u_n\right)$ définies par : 
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{2n^2-3x+2}{1-n}$.\\
On a une forme indéterminée.\\
Pour $n\neq 0$, $u_n=\dfrac{n^2\left(2-\frac3n+\frac2{n^2}\right)}{n\left(\frac1n-1\right)}=n\times \dfrac{2-\frac3n+\frac2{n^2}}{\frac1n-1}$.\\
Or $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{3}{n}=0$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{2}{n^2}=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n}=0$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2-\frac3n+\frac2{n^2}}{\frac1n-1}\right)=2$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$.

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n}{n+1}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $\dfrac{3n}{n+1}$, on a une forme indéterminée : $\dfrac{3n}{n+1}=\dfrac{3n}{n\left(1+\frac1n\right)}=\dfrac{3}{1+\frac1n}$ d'où \\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3n}{n+1}\right)=3$

\item $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.

\item On en déduit, par somme : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=3}}$

\end{enumerate}\bigskip

\item $u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n^2+1}$.\\
On a une forme indéterminée.\\
$u_n=\dfrac{n\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}=\dfrac{1+\frac{(-1)^n}{n}}{n\left(1+\frac1{n^2}\right)}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-1\leqslant (-1)^n\leqslant 1$ donc $-\dfrac{1}{n}\leqslant \dfrac{(-1)^n}{n}\leqslant \dfrac{1}{n}$ ; comme $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{n}\right)=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n}=0$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{(-1)^n}{n}\right)=0$ (théorème des gendarmes)

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)=1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[n\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\right]=+\infty$.

\item Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\item $u_n=5^n-4^n$.\\
On a une forme indéterminée \\
$u_n=5^n\left(1-\dfrac{4^n}{5^n}\right)=5^n\left(1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\right)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-1<\dfrac{4}{5}<1$ dnc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{4}{5}\right)^n=0$.\\

\item $5>1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}5^n=+\infty$.

\item Par produit, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
On pose $u_1=\dfrac{1}{2}$ et pour tout n non nul \\
$u_{n+1} =\dfrac{n+1}{2n}u_n$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_2$, $u_3$,  $u_4$.
Calculons $u_2$, $u_3$,  $u_4$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_2=u_{1+1}=\dfrac{1+1}{2\times 1}u_1=\dfrac{2}{2}u_1=u_1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$

\item $u_3=\dfrac{2+1}{2\times 2}u_2=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{8}}}$

\item $u_4=\dfrac{3+1}{2\times 3}\times u_3=\dfrac{4}{6}\times \dfrac{3}{8}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{8}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$.
\end{enumerate}

\item On pose $v_n =\dfrac{u_n}{n}$ pour $n$ non nul.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{\frac{n+1}{2n}u_n}{n+1}=\dfrac{1}{2n}u_n\\
=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u_n}{n}=\dfrac{1}{2}v_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n }}$.\\
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique, de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_1=\dfrac{u_1}{1}=u_1=\dfrac{1}{2}$.

\item %Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ avec $n$ non nul.
Puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique, on a, pour tout $n\geqslant 1$ : $v_n=v_1q^{n-1}=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\
=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.\\
$v_n=\dfrac{u_n}{n}\Rightarrow u_n=nv_n=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}}$.

\item   On admet que $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{2^n}{n}=+\infty$.\\% ; en déduire la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$
Or, pour tout $n$, $u_n=\dfrac{n}{2^n}=\dfrac{1}{\frac{n}{2^n}}$.\\
Puisque $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2^n}{n}\right)=+\infty$, on en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}
$u$ et $v$ sont deux suites définies par $u_0 = 20$, $v_0 =60$ et pour tout nombre entier naturel $n$, 
\[u_{n+1}=\dfrac{2u_n+v_n}{4}\text{ et }v_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}{4}\]

\begin{enumerate}[a)]
\item %Montrer que les suites $u+v$ et $v-u$ sont géométriques.
Pour tout $n$, $u_{n+1}+v_{n+1}=\dfrac{2u_n+v_n}{4}+\dfrac{u_n+2v_n}{4}\\
=\dfrac{3u_n+3v_n}{4}=\dfrac{3}{4}\left(u_n+v_n\right)$ donc $u+v$ est géométrique de raison $q=\dfrac{3}{4}$.

\bigskip

Pour tout $n$, $u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{2u_n+v_n}{4}-\dfrac{u_n+2v_n}{4}\\
=\dfrac{u_n-v_n}{4}=\dfrac{1}{4}\left(u_n-v_n\right)$ donc $u-v$ est géométrique de raison $q'=\dfrac{1}{4}$.

\item %Exprimer $u_n + v_n$ et $v_n -u_n$ en fonction de $n$.
Puisque $u+v$ est géométrique de raison $q=\dfrac{3}{4}$, on a : $u_n+v_n=\left(u_0+v_0\right)\times q^n=\boxed{\textcolor{red}{80\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n}}$.\\
De même : $u_n-v_n=\left(u_0-v_0\right)\times q'^n=\boxed{\textcolor{red}{-40\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n}}$

\item %En déduire l'expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item En additionnant, on trouve \\
$2u_n=80\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n-40\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{u_n=40\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n-20\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n}}.\]

\item En soustrayant :\\
$2v_n=80\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n+40\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$ d'où \[\boxed{\textcolor{red}{v_n=40\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n-20\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n}}.\]

\end{enumerate}

\item %Déterminer la limite chaque suite $u$ et $v$.
$-1<\times \dfrac{3}{4}<1$ et $-1<\times \dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3}{4}\right)^n=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$.\\
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0}}$

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  