\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}

\item %Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*,~(n+1)^2(n+4)=n^3+6n^2+9n+4$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*,~(n+1)^2(n+4)=\left(n^2+2n+1\right)(n+4)=n^3+2n^2+n+4n^2+8n+4=\boxed{\textcolor{red}{n^3+6n^2+9n+4}}$

\item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on note : $S_n=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times \times 4}+\dots+\dfrac{1}{n\times (n+1)\times (n+2)}$.\\
Démontrons par récurrence que pour tout $n\geqslant 1$ : \[S_n=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times \times 4}+\dots+\dfrac{1}{n\times (n+1)\times (n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=1$, $\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}=\dfrac{1\times 4}{4\times 2\times 3}=\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{1}{1\times 2\times 3}=\dfrac{1}{6}$ donc la propriété est vraie au rang $n=1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque donc \\
$S_n=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times \times 4}+\dots+\dfrac{1}{n\times (n+1)\times (n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$.\\
Au rang $n+1$ :\\
$S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
=\dfrac{n(n+3)^2+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{n\left(n^2+6n+9\right)+4}{4(n+1)(n+2)}=\dfrac{n^3+6n^2+9n+4}{4(n+1)(n+2)}=\dfrac{(n+1)^2(n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}}}$ c.q.f.d.
\end{enumerate}
La propriété est héréditaire.\\
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}
$\mathscr{C}_f$ désigne la courbe représentative d'une fonction $f$. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et \textbf{justifier} rapidement par une propriété ou un contre-exemple, éventuellement graphique.

\begin{enumerate}

\item Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-5$, alors $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote horizontale.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}}: l'asymptote a pour équation $y=-5$.

\item Si $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=2$, alors l'équation $f(x)=2$ n'a pas de solution.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}}: exemple : $f(x)=2+\dfrac{\sin x}{x^2+1}$.

\item Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$, alors $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}}: le comportement en $+\infty$ n'a rien à voir avec le comportement en $-\infty$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Contre-exemples graphique} :}

\begin{enumerate}[a)]
\item \begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(10,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(10,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-3}{10}{EXP(-x)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item \begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-2)(5,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-2)(5,2)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5}{5}{1-2/PI*ATAN(x)}
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{enumerate}

\item Si pour tout réel de $]1~;~+\infty[$, $\dfrac{1}{-x^2+1}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{x}$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}}:  $\lim_{x\rightarrow =\infty}\left(\dfrac{1}{-x^2+1}\right)=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$.

\item Si, pour tout réel $x$ de $]-\infty~;~0[$, $x^3+1\leqslant f(x)$, alors $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}}: il suffit de prendre $f(x)=1$ ! Pour tout $x\leqslant 0$, $x^3\leqslant 0$ donc $x^3+1\leqslant 1=f(x)$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=1$ !

\item Si $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ et est telle que, pour tout tel $x\geqslant 0$, $0\leqslant f(x)\leqslant \sqrt{x}$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}}: Si $0\leqslant f(x)\leqslant \sqrt{x}$, alors, pour $x>0$, $0\leqslant \dfrac{f(x)}{x}\leqslant \dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.\\
Or $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=0$.\\
D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)=0$.
\end{enumerate}


%\subsection{}
%http://mathematiques.daval.free.fr/spip.php?article167

%\subsection{}
%http://www.matheclair.fr/lycee/2nde/controles_seconde.htm


%\subsection{}
%https://www.math93.com/images/pdf/Seconde/td/Td_Seconde_Geometrie_espace.pdf
%Correction : https://www.math93.com/images/pdf/Seconde/td/Td_Seconde_Geometrie_espace-corr.pdf




\subsection{\textcolor{blue}{Calcul de limites} }
Déterminer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
%\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(-2x^3+2x^2-4\right)$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{x}{2+3x^2}\right)$\\
Pour $x\neq 0$, $\dfrac{x}{2+3x^2}=\dfrac{x}{x^2\left(\frac2{x^2}+3\right)}=\dfrac{1}{x\left(\frac2{x^2}+3\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2}{x^2}+3\right)=3$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x\left(\dfrac{2}{x^2}+3\right)\right)=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{x}{2+3x^2}\right)=0}}$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{9x^2+1}{x^2-4x+5}\right)$\\
Pour tout $x\neq 0$, $\dfrac{9x^2+1}{x^2-4x+5}=\dfrac{x^2\left(9+\dfrac1{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac4x+\frac5{x^2}\right)}=\dfrac{9+\dfrac1{x^2}}{1-\frac4x+\frac5{x^2}}
$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(9+\dfrac{1}{x^2}\right)=9$ et $\lim_{x\rightarrow =\infty}\left(1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{x^2}\right)=1$, d'où, par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{9x^2+1}{x^2-4x+5}\right)=9}}$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}\left(\dfrac{x}{4-x^2}\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow -2}x=-2$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}\left(4-x^{2}\right)=0$ avec $4-x^2<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}\left(\dfrac{x}{4-x^{2}}\right)=+\infty}}$ (quotient de nombres négatifs)
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ?}}
\noindent On considère une suite $\left(u_n\right)$ positive et la suite $\left(v_n\right)$ définie par : pour tout $n\in\mathbb{N},~v_n=\dfrac{u_n}{1+u_n}$.\\Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant v_n\leqslant 1$.
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : il est clair, par récurrence, que tous les termes sont positifs.\\
$0\leqslant u_{n}<u_{n}+1$ donc $\dfrac{u_{n}}{u_{n}+1}<1$.

\item Si la suite $\left(u_n\right)$ est convergente, alors la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : on suppose que $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\ell\geqslant 0$ (puisque la suie est positive), alors $u_{n}+1$ tend vers $\ell+1$ donc $\left(v_{n}\right)$ converge vers $\dfrac{\ell}{\ell+1}$.

\item Si la suite $\left(u_n\right)$ est croissante, alors $\left(v_n\right)$ est croissante.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : on suppose $\left(u_{n}\right)$ croissante, donc, pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$.\\
Alors $v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{u_{n+1}}{1+u_{n+1}}-\dfrac{u_{n}}{1+u_{n}}=\dfrac{u_{n+1}\left(1+u_{n}\right)-u_{n}\left(1+u_{n+1}\right)}{\left(1+u_{n+1}\right)\left(1+u_{n}\right)}=\dfrac{u_{n+1}-u_{n}}{\left(1+u_{n+1}\right)\left(1+u_{n}\right)}$.\\
$u_{n+1}-u_{n}\geqslant 0$ par hypothèse ; l dénominateur est positif comme produit de nombres positifs, donc $\left(v_{n}\right)$ est croissante.

\item Si la suite $\left(v_n\right)$ est convergente, alors la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : \\
$v_{n}=\dfrac{u_{n}}{1+u_{n}}\Leftrightarrow v_{n}\left(1+u_{n}\right)=u_{n}\Leftrightarrow u_{n}v_{n}-u_{n}=-v_{n}\Leftrightarrow u_{n\left(v_{n}-1\right)}=-v_{n}\Leftrightarrow u_{n}=-\dfrac{v_{n}}{v_{n}-1}=\dfrac{v_{n}}{1-v_{n}}$.\\
Si $\left(v_{n}\right)$ converge vers 1, $\left(u_{n}\right)$ \textbf{\textcolor{blue}{diverge}}.
\end{enumerate}

\subsection{}%Déclic \no  23 page 274
\parbox{10cm}{On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et K sont respectivement les milieux des segments [BF], [EH] et [HD].\\
Dans chaque cas, donner la position relative des droites ou plans considérés :

\begin{enumerate}[a)]
\item les droites (DG) et (EA) ne \textbf{\textcolor{red}{sont pas coplanaires}}

\item les droites (JK) et (ED) sont \textbf{\textcolor{red}{parallèles}} (coplanaires et en appliquant la réciproque du théorème de Thalès ).

\item le plan (EFC) et la droite (JK) sont \textbf{\textcolor{red}{parallèles}} ; en effet, (JK) est incluse dans le plan (ADH) et (ADH) et (EFC) sont parallèles.

\item les plans (GHK) et (AIC) sont \textbf{\textcolor{red}{sécants selon une droite qui passe par C}}.

\item les droites (FK) et (BD) sont \textbf{\textcolor{red}{sécantes}} (coplanaires dans le plan (FBD) et non parallèles)
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{7cm}{
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.7,3.5)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.3,1.)(3.3,1.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,1.)(2.,0.)
\psline[linewidth=1pt](2.,0.)(0.,0.)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0.,0.)(1.3,1.)
\psline[linewidth=1pt](0.,0.)(0.,2.)
\psline[linewidth=1pt](2.,0.)(2.,2.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,1.)(3.3,3.)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.3,1.)(1.3,3.)
\psline[linewidth=1pt](1.3,3.)(3.3,3.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,3.)(3.3,3.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,3.)(2.,2.)
\psline[linewidth=1pt](2.,2.)(0.,2.)
\psline[linewidth=1pt](1.3,3.)(0.,2.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](0.,0.)
\rput[bl](-0.15111561107583865,0.04389011224474655){\ududff{D}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](3.3,1.)
\rput[bl](3.340440259246677,1.0877573312071467){\ududff{B}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2.,0.)
\rput[bl](1.7926371414748403,0.10688209959592587){\ududff{C}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.3,1.)
\rput[bl](1.3336955193448188,1.0877573312071467){\ududff{A}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](0.,2.)
\rput[bl](-0.18711103241936974,1.8436611794212985){\ududff{H}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2.,2.)
\rput[bl](2.0985982228948545,1.8886554561007123){\ududff{G}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](3.3,3.)
\rput[bl](3.340440259246677,3.085503215773119){\ududff{F}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.3,3.)
\rput[bl](1.3336955193448188,3.085503215773119){\ududff{E}}
\psdots[dotscale=2,dotstyle=x,linecolor=darkgray](0.,1.)
\rput[bl](0.037860350977699575,1.0697596205353812){\darkgray{K}}
\psdots[dotscale=2,dotstyle=x,linecolor=darkgray](0.65,2.5)
\rput[bl](0.6857779351612592,2.5725684616278017){\darkgray{J}}
\psdots[dotscale=2,dotstyle=x,linecolor=darkgray](3.3,2.)
\rput[bl](3.340440259246677,2.0686325628183675){\darkgray{I}}
\end{pspicture*}}


\newpage


\subsection{}%Déclic \no 29 page 275
On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et K sont respectivement les milieux des segments [EF], [EH] et [HD].


\begin{enumerate}
\item %Préciser les intersections du plan (IJK) avec les plans (EFG) et (AED).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les points I et J sont communs aux plans (EFG) et (IJK). Donc les plans (EFG) et (IJK) sont \textbf{\textcolor{red}{sécants selon la droite (IJ)}}.

\item Les points J et K sont communs aux plans (AED) et (IJK) donc les plans (AED) et (IJK) sont \textbf{\textcolor{red}{sécants selon la droite (JK)}}
\end{enumerate}

\item %Les droites (JK) et (AE) sont sécantes en un point L. Justifier que les plans (IJK) et (AEB) sont sécants selon la droite (IL).
 Le point L appartient à la droite (AE) et donc au plan (AEB).\\
De même, le point L appartient à la droite (JK) et donc au plan (IJK).\\
Le point L est donc commun aux plans (AEB) et (IJK).\\
Or, le point I est aussi commun aux plans (AEB) et (IJK).\\
Donc, les plans (AEB) et (IJK) sont \textbf{\textcolor{red}{sécants selon la droite (IL)}}.

\item %Montrer que les plans (IJK) et (CDG) sont sécants selon une droite parallèle à la droite (IL).
Les plans (IJK) et (CDG) sont sécants selon une droite passant par le point K, commun aux deux plans.\\
Les plans (ABE) et (CDG) sont parallèles, et sont coupés par le plan (IJK) selon deux droites qui sont parallèles entre elles.\\
Or, (IJK) et (ABE) sont sécants selon la droite (IL).
On en déduit que les plans (IJK) et (CDG) sont \textbf{\textcolor{red}{sécants selon la parallèle à la droite (IL) passant le point K}}.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Question bonus}} : Voilà la section du cube par le plan (IJK)\\
(IJK) coupe les plans opposés du cube (plans parallèles) selon des droites parallèles ; elles coupent les arêtes eu leurs milieux.

\begin{center}
\psset{unit=2,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(5,5)
\pspolygon[linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.3,3)(0.65,2.5)(0,1)(1,0)(2.6447957359616825,0.49842295029141925)(3.299752861333495,2.0002471386665035)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.3,1)(3.2995067154317566,1.0045103199433976)
\psline[linewidth=1pt](3.2995067154317566,1.0045103199433976)(2,0)
\psline[linewidth=1pt](2,0)(0,0)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0)(1.3,1)
\psline[linewidth=1pt](1.3,3)(3.3,3)
\psline[linewidth=1pt](3.3,3)(2,2)
\psline[linewidth=1pt](2,2)(0,2)
\psline[linewidth=1pt](0,2)(1.3,3)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(0,2)
\psline[linewidth=1pt](2,0)(2,2)
\psline[linewidth=1pt](3.2995067154317566,1.0045103199433976)(3.3,3)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.3,1)(1.3,3)
\psline[linewidth=1pt](2.3,3)(0.65,2.5)
\psplot[linewidth=1pt]{-1.96046276915521}{7.385937191505296}{(-0.65-1.5*x)/-0.65}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.3,-1.9502932550636205)(1.3,5.405281601868744)
\psplot[linewidth=1pt]{-1.96046276915521}{7.385937191505296}{(-5.3--1*x)/-1}
\psplot[linewidth=1pt]{-1.96046276915521}{7.385937191505296}{(-1--1*x)/-1}
\psplot[linewidth=1pt]{-1.96046276915521}{7.385937191505296}{(--1-1*x)/-3.3}
\psplot[linewidth=1pt]{-1.96046276915521}{7.385937191505296}{(--3.6455725468363314-1.5018241883750842*x)/-0.6549571253718125}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](2.3,3)(0.65,2.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](0.65,2.5)(0,1)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](0,1)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](1,0)(2.6447957359616825,0.49842295029141925)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](2.6447957359616825,0.49842295029141925)(3.299752861333495,2.0002471386665035)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](3.299752861333495,2.0002471386665035)(2.3,3)
\psdots[dotstyle=*](1.3,1)
\rput[bl](1.340115692288803,1.1092905885606676){$A$}
\psdots[dotstyle=*](3.2995067154317566,1.0045103199433976)
\rput[bl](3.3414188228786648,1.1092905885606676){$B$}
\psdots[dotstyle=*](2,0)
\rput[bl](2.0526215188862404,-0.13759460798484707){$C$}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.2106322832467968,-0.14807263484657407){$D$}
\psdots[dotstyle=*](1.3,3)
\rput[bl](1.340115692288803,3.1001156922888002){$E$}
\psdots[dotstyle=*](3.3,3)
\rput[bl](3.3414188228786648,3.1001156922888002){$F$}
\psdots[dotstyle=*](2,2)
\rput[bl](2.1050116531948757,1.9056206300519207){$G$}
\psdots[dotstyle=*](0,2)
\rput[bl](-0.1163300414912536,2.062791032977826){$H$}
%\rput[bl](2.293616136705962,0.8368618901557653){$f$}
%\rput[bl](2.5450887813874106,0.637779379782952){$g$}
%\rput[bl](0.994340805851811,0.17674619786696336){$h$}
%\rput[bl](0.7428681611703624,0.3758287082397766){$i$}
%\rput[bl](2.293616136705962,2.838165020745625){$j$}
%\rput[bl](2.5450887813874106,2.6390825103728117){$k$}
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%\rput[bl](3.467155145219389,2.010400898669191){$q$}
%\rput[bl](1.465852014629527,2.010400898669191){$r$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.3,3)
\rput[bl](2.346006271014597,3.079159638565346){$I$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.65,2.5)
\rput[bl](0.6171318388296381,2.5971704029259035){$J$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,1)
\rput[bl](-0.18967622952334276,0.9206861050495814){$K$}
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\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.3,4)
\rput[bl](1.402983853459165,4.001226002397323){$L$}
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\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1,0)
\rput[bl](1.046730940160446,0.08244395611142023){$O$}
%\rput[bl](-1.9080726348465749,-0.7872322734119219){$d$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.6447957359616825,0.49842295029141925)
\rput[bl](2.7127372111750434,0.40726278882495764){$N$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.299752861333495,2.0002471386665035)
\rput[bl](3.3938089571873,2.094225113563007){$M$}
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%\rput[bl](2.911819721547857,2.6286044835110847){$m_1$}
\end{pspicture*}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  