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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du baccalauréat blanc (février 2020)}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill( 5 points)}}

Sur 300 personnes, 225 utilisent l'escalier ; $p\left(\overline{\text{E}}\right) = \dfrac{225}{300} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{3}{4}}}$. D'où 

$p(\text{E}) = 1 - p\left(\overline{\text{E}}\right) =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{4}}}$.

Sur les 225 personnes empruntant l'ascenseur la répartition 50, 75, 100 suivant les étages conduit à :

\[\boxed{\textcolor{red}{p_{\overline{\text{E}}}\left(\text{N}_{1}\right) = \dfrac{50}{225} = \dfrac{2}{9}}}, \quad \boxed{\textcolor{red}{p_{\overline{\text{E}}}\left(\text{N}_{2}\right) = \dfrac{75}{225} = \dfrac{3}{9}}}, \quad \boxed{\textcolor{red}{p_{\overline{\text{E}}}\left(\text{N}_{3}\right) = \dfrac{100}{225} = \dfrac{4}{9}}}\]

Sur les 75 personnes empruntant l'escalier, on obtient de même :

\[\boxed{\textcolor{red}{p_{\text{E}}\left(\text{N}_{1}\right) = \dfrac{1}{3}}}, \quad \boxed{\textcolor{red}{p_{\text{E}}\left(\text{N}_{2}\right) = \dfrac{2}{3}}}, \quad \boxed{\textcolor{red}{p_{\text{E}}\left(\text{N}_{3}\right) =0}}\]

\begin{center}
\pstree[treemode=R,treesep=1.,levelsep=3]{\TR{}}%
{
\pstree{\Tr{E}\taput{$1/4$}}
	{
	\Tr{N$_{1}$}\taput{$2/3$} 
	\Tr{N$_{2}$}\taput{$1/3$}
	\Tr{N$_{3}$}\tbput{$0$}
	}	
\pstree{\Tr{$\overline{\text{E}}$}\tbput{$3/4$}}
	{
	\Tr{N$_{1}$}\taput{$2/9$} 
	\Tr{N$_{2}$} \taput{$3/9$}
	\Tr{N$_{3}$}\tbput{$4/9$}
	}
}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est  égale à $\dfrac{1}{12}$. 
On a $p\left(\text{E} \cap \text{N}_{2} \right) = p(\text{E}) \times p_{\text{E}}\left(\text{N}_{2}\right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{12}}}$. 
		\item %Montrer que les évènements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables.
$p\left(N_1\right)=p\left(N_1 \cap E\right)+p\left(N_1 \cap \overline{E}\right)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{9}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.\\
$p\left(N_2\right)=p\left(N_2 \cap E\right)+p\left(N_2 \cap \overline{E}\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.\\
$p\left(N_3\right)=1-\left[\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.\\
Les évènements N$_{1}$, N$_{2}$, N$_{3}$ sont bien équiprobables.
 \begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau.
Il faut trouver : $p_{\text{N}_{2}}(\text{E}) = \dfrac{p\left(\text{E} \cap \text{N}_{2}\right)}{p\left(\text{N}_{2}\right)} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$.
	\end{enumerate} 
\item %On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2\up{e}	niveau.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Une personne prise au hasard a une probabilité d'aller au 2\up{e} étage égale à $p\left(\text{N}_{2} \right) = \dfrac{1}{3}$.

On a répétition de 20 épreuves identiques indépendantes les unes des autres à due issues, donc la variable aléatoire $X$ suit une \textbf{\textcolor{red}{loi binomiale}} de paramètres $n = 20$ et $p = \dfrac{1}{3}$. \\
$\boxed{\textcolor{red}{X\hookrightarrow \mathscr{B}\left(20~;~\dfrac{1}{3}\right)}}$.

		\item %Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau.
		On a donc :
		
		\[p(X = 5) = \binom{20}{5} \times \left(\dfrac{1}{3} \right)^{5} \times \left(1 - \dfrac{1}{3} \right)^{20 - 5} = \np{15504}\times \dfrac{2^{15}}{3^{20}} \approx \boxed{\textcolor{red}{\np{0,1457}}}.\] 

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on peut calculer directement $p(X=5)$ à la calculatrice.

		\item %En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau ?
La moyenne pour les 20 personnes d'aller au 2\up{e} étage est égale à l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$, soit : E$(X) = n \times p = 20 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{3} \approx \boxed{\textcolor{red}{6,7}}$.

Un peu moins de 6,7 personnes sur 20 vont au 2\up{e} étage.
	\end{enumerate}
%Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 \end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}

On considère une mobylette qui n’est pas en très bon état. \\
Soit A l’événement \og{}la mobylette tombe en panne de moteur\fg{} et B l’événement \og{}la mobylette a une crevaison\fg{}.\\
On a $p(A) = 0,06$ et $p(B) = 0,05$.\\
%On estime que les événements A et B sont indépendants.\\
%Quelle est la probabilité que la mobylette soit en état de marche, c’est-à-dire qu’elle n’ait ni une panne de moteur ni une crevaison ?
On rappelle que si $E$ et $F$ sont indépendants, alors $p(E \cap F)=p(E)\times p(F)$.

\bigskip

\noindent On doit calculer $p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$.\\
Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi.\\
On en déduit $p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)=p(\overline{A})\times p\left(\overline{B}\right)=0,94\times 0,95=\boxed{\textcolor{red}{0,893}}$

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Autre façon (équivalente)}} : $p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)=p\left(\overline{A \cup B}\right)=1-p(A \cup B)=1-\left[p(A)+p(B)-p(A \cap B)\right]=1-[p(A)+p(B)-p(A)\times p(B)]\\
=1-(0,06+0,05-0,05\times 0,06)=1-0,107=\boxed{\textcolor{red}{0,893}}$. 

\subsection{\textcolor{blue}{ Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.\hfill ( 5 points)}}
Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs.

On admet qu'une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_0 > 1$,

\item[$\bullet~~$]pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n \geqslant 0$,

\item[$\bullet~~$]pour tout $n > 0$, \:$u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit $u_0 = 3$.% Déterminer $u_1$ et $u_2$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On doit avoir $u_0+u_1=u_0u_1$ donc $3+u_1=3u_1$ d'où $2u_1=3$ qui donne $u_1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}}$

\item On doit avoir $u_0+u_1+u_2=u_0u_1u_2$ donc $3+\dfrac{3}{2}+u_2=3\times \dfrac{3}{2}\times u_2$ donc $\dfrac{9}{2}+u_2=\dfrac{9}{2}u_2$.

On en déduit $\dfrac{7}{2}u_2=\dfrac{9}{2}$ donc $u_2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{7}}}$.

On a pour $u_0=3$  : $\boxed{\textcolor{red}{u_1=\dfrac{3}{2}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_2=\dfrac{9}{7}}}$.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.

On a en particulier $s_1 = u_0$·
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout entier $n > 0$, \:$s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
		
		Pour tout $n\geqslant 1$, $s_{n+1}=u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}+u_n=s_n+u_n$ ; $\boxed{\textcolor{red}{s_{n+1}=s_n+u_n}}$
		
				
		Tous les termes de la suite sont positifs, donc $s_n=u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}\geqslant u_0>1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{s_n>1}}$.
		
		\item %En déduire que pour tout entier $n > 0$,\[u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}.\]
		Comme $s_n=u_0u_1\cdots\times u_{n-1}$, on remarque que $\boxed{\textcolor{red}{s_{n+1}=s_n\times u_n}}$.

		Pour tout $n\geqslant 1$, $s_{n+1}=s_n+u_n=s_nu_n$ donc $s_n=s_nu_n-u_n=\left(s_n-1\right)u_n$.
		
		On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}}}$ (pour tout $n\geqslant 1$)
		
		\item %Montrer que pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n > 1$.
		Pour tout $n\geqslant 1$, $u_n-1=\dfrac{s_n}{s_n-1}-1=\dfrac{1}{s_n-1}>0$ puisque $s_n>1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n>1}}$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'algorithme ci-contre, on veut calculer
le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
	

\begin{enumerate}
\item 
%Recopier et compléter la partie traitement de l'algorithme ci-contre.
Complétons l'algorithme :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Entrée }: 		&Saisir $n$\\
						&Saisir $u$\\
\textbf{Traitement }: 	&$s$ prend la valeur $u$\\
						&Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
						&\begin{tabular}{m{0.1cm}|l}
						&$u$ prend la valeur $\textcolor{red}{\dfrac{s}{s-1}}$\\
						&$s$ prend la valeur $\textcolor{red}{s+u}$\
										\end{tabular}\\
						&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} : 		&Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies
au millième de $u_n $pour différentes valeurs de l'entier $n$ :
	
\begin{center}
%\begin{\small}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &0& 5& 10 &20 &30 &40\\ \hline
$u_n$& 3 &\small 1,140 &\small 1,079 &\small 1,043 &\small 1,030 &\small 1,023\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{\small}
\end{center}

%Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?	
Il semble que la suite soit \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} et \textbf{\textcolor{red}{converge vers 1}}.
\end{enumerate}



\item
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que pour tout entier $n > 0$,\: $s_n > n$.
		Démontrons par récurrence sur $n$ que $s_n>n$ pour tout $n\geqslant 1$.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $s_1=u_0>1$ par hypothèse donc la propriété est vraie pour $n=1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un $n$ quelconque ($n\geqslant 1$), donc $s_n>n$.

Alors $s_{n+1}=s_n+u_n>n+u_n$ d'après l'hypothèse de récurrence ; or $u_n>1$ donc \\
$s_{n+1}>n+u_n>n+1$ puisque $u_n>1$.

La propriété est donc \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété $s_n>n$ est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

		\item %En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
		$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ ; d'après un théorème de comparaison, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=+\infty}}$.
		
		On a $u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}=\dfrac{s_n}{s_n\left(1-\frac{1}{s_n}\right)}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{s_n}}$.
		
		Comme $\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=+\infty$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{s_n}\right)=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage


\subsection*{\textcolor{blue}{ Exercice II : Candidats ayant  suivi l’enseignement de spécialité.\hfill ( 5 points)}}
\label{spe1}
\subsection*{\textcolor{red}{Partie A}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Une personne née le 1\up{er} août, le programme de calcul (A) donne le nombre $308$:

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Numéro du jour de naissance multiplié par 12: $j=1\times 12=\boxed{\textcolor{red}{12}}$;

\item Numéro du mois de naissance multiplié par 37: $m=8\times 37=\boxed{\textcolor{red}{296}}$;

\item $m+j=\boxed{\textcolor{red}{308}}$.
\end{enumerate}

\item  
\begin{enumerate}
\item Pour un spectateur donné, on note $j$ le numéro de son jour de naissance, $m$ celui de son mois de naissance et $z$ le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). 
\[
z=12j+37m,\ \text{or}\ 12j\equiv 0\ [12],\ \text{donc}\ z=12j+37m\boxed{\textcolor{red}{\equiv 37m\ [12]}}\]
 
\item Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $474$ en appliquant le programme de calcul (A):
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
z=474=39\times 12+6\\
z\equiv 37m\ [12]
\end{array}\right.\Longrightarrow z=(3\times 12+1)m\equiv 6\ [12]\Longrightarrow \boxed{\textcolor{red}{m\equiv 6\ [12]}},\ \text{le mois est donc juin}
\]
\[
z=474=12j+37\times 6\Longrightarrow 12j=474-37\times 6=252=21\times 12\Longrightarrow \boxed{\textcolor{red}{j=21}}
\]
\textbf{\textcolor{red}{Le spectateur est donc né un 21 juin}.}
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{red}{Partie B}}
Le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est $j$ et le numéro du mois de naissance est $m$, le magicien demande de calculer le nombre $z$ défini par $z = 12j + 31m$.

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Première méthode :}}
 
Algorithme modifié (\texttt{AlgoBox}) pour qu'il affiche toutes les valeurs de $j$ et de $m$ telles que \\
$12j + 31m = 503$. 


\begin{multicols}{2}
\begin{footnotesize}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     j EST_DU_TYPE NOMBRE
3     m EST_DU_TYPE NOMBRE
4     z EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     POUR m ALLANT_DE 1 A 12
7       DEBUT_POUR
8       POUR j ALLANT_DE 1 A 31
9         DEBUT_POUR
10        z PREND_LA_VALEUR 12*j+31*m
11        SI (z==503) ALORS
12          DEBUT_SI
13          AFFICHER j
14          AFFICHER "\ "
15          AFFICHER m
16          AFFICHER "; "
17          FIN_SI
18        FIN_POUR
19      FIN_POUR
20  FIN_ALGORITHME

***Algorithme lancé***
29\ 5;
***Algorithme terminé***
\end{verbatim}
\end{footnotesize}
\end{multicols}
\textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.}

\newpage


\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième méthode :}}
\begin{enumerate}
\item $12a\equiv 0\ [12]$ pour tout $a$ entier, donc
\[
z=12j+31m\equiv 31m=(2\times 12+7)m=12\times 2m+7m\boxed{\textcolor{red}{\equiv 7m\ [12]}} \]		
		
$7m$ et $z$ ont donc le même reste dans la division euclidienne par 12. 

\item Pour $m$ variant de 1 à 12, reste de la division euclidienne de $7m$ par 12:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$m$ & 1 & 2 & 3 & 4 & \cellcolor{gray!30}5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline
reste & 7 & 2 & 9 & 4 & \cellcolor{gray!30}11 & 6 & 1 & 8 & 3 & 10 & 5 & 0\\ \hline
\end{tabular}
 \end{center}
 On remarque qu'à chacun des 12 restes possibles correspond un seul mois.
 
\item Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B):
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
z=503=41\times 12+11\\
z\equiv 7m\ [12]
\end{array}\right.\Longrightarrow 7m\equiv 11\ [12]\Longrightarrow m=5,\ \text{le mois est donc mai}
\]
\[
z=503=12j+31\times 5\Longrightarrow 12j=503-31\times 5=29\times 12\Longrightarrow \boxed{\textcolor{red}{j=29}}
\]
\textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.}
\end{enumerate} 

\item \textbf{\textcolor{blue}{Troisième méthode :}} 
\begin{enumerate}
\item Le couple $(-2~;~17)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$:
\[
12\times(-2) + 31\times(17) = 503
\] 
\item Un couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$:
\[
\left\lbrace\begin{array}{lr}
12x + 31y = 503& L_1\\
12\times(-2) + 31\times(17) = 503& L_2
\end{array}\right.\Longrightarrow 12(x+2)+31(y-17)=0\ (L_1-L_2)\Longleftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{12(x + 2) = 31 (17 - y)\ (E)}}
\]

\item Résolution de l'équation $12x + 31y = 503$:
\begin{itemize}
\item Partie directe:
\[
12x + 31y = 503\Longrightarrow 
\left\lbrace\begin{array}{l}
12(x + 2) = 31 (17 - y)\\
\text{pgcd}(12~;~31)=1
\end{array}\right.\stackrel{\text{\textsc{Gauss}}}{\Longrightarrow} 31\ \text{divise}\ x+2
\]
Ainsi, il existe un entier relatif $k$ vérifiant $x+2=31k\Longleftrightarrow \boxed{x=-2+31k}$.

En remplaçant dans $(E)$, on obtient:
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
12(x + 2) = 31 (17 - y)\\
x+2=31k
\end{array}\right.\Longrightarrow 12\times \cancel{31}k=\cancel{31}(17-y)\Longleftrightarrow 12k=17-y\Longleftrightarrow \boxed{y=17-12k}
\]
\item Réciproque: pour tout $k$ de $\mathbb{Z}$, on a:
\[
12(-2+31k)+31(17-12k)=\underbrace{12\times(-2) + 31\times(17)}_{503}+\cancel{12\times 31k}-\cancel{12\times 31k}=503
\]
\item Pour tout $k$ de $\mathbb{Z}$, le couple $(x;y)=(-2+31k;17-12k)$ est solution de $12x + 31y = 503$.
\end{itemize} 
\item Il existe un unique couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ tel que $1 \leqslant y \leqslant 12$:
\[
1 \leqslant y \leqslant 12 \Longleftrightarrow 1 \leqslant 17-12k \leqslant 12 \Longleftrightarrow -16 \leqslant -12k \leqslant -5 \Longleftrightarrow 5 \leqslant 12k \leqslant 16 \Longleftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\frac{5}{12} \leqslant k \leqslant \frac{16}{12}}}
\]
Ainsi $k=1$ est l'unique entier compris entre $\dfrac{5}{12}\simeq 	\numprint{0,4166}$ et 	$\dfrac{16}{12}\simeq 	\numprint{1,3333}$.

L'unique couple recherché est donc: $(-2+31\times 1;17-12\times 1)=(29;5)$

\textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.}
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\label{spe2}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (5 points) }}
%La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau par l'organisme.
%
%\smallskip
%
%Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s'il est inférieur à $2,5$~$\mu$g/mL.
%
%Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.
%
%\medskip
%
%On utilisera dans la suite la modélisation suivante:

\[f(t) = 3t\text{e}^{-\frac{1}{4}t} +2\: \text{ avec }\: t \geqslant 0,\]

où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu$g/mL) dans le sang en fonction du temps $t$ (en minute) écoulé après le début d'une hémorragie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l'instant $t = 0$ ?
On a $\text{e}^{-\frac{1}{4}\times 0 }= 1$, donc $f(0) = 3\times 0\times 1 +2= 0 + 2 = \boxed{\textcolor{red}{2}}$.

		\item %Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n'est pas normal.
On a 12~s $ = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5} = 0,2$~(min).

On calcule $f(0,2) = 3\times 0,2 \text{e}^{-\frac{1}{4}\times 0,2} +2 = 0,6\text{e}^{-0,05} + 2 \approx 2 + 0,57 \boxed{\textcolor{red}{\approx 2,57}}$.

Ce taux est \textbf{\textcolor{red}{supérieur à 2,5}} donc anormal.

		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat.
On sait que $\lim_{t\rightarrow +\infty} \text{e}^{- \frac{1}{4}t} = 0$ et que $\lim_{t\rightarrow +\infty} t\text{e}^{-0,25t} = 0$, donc finalement :

$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{t\rightarrow +\infty} f(t) = 2}}$.

Cela signifie qu'à terme le taux de vasopressine va se \textbf{\textcolor{red}{stabilise}r} à 2~$\mu$g/mL.
	\end{enumerate}
	
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$. 

%Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif,

%\[f'(t) = \dfrac{3}{4}(4 - t)\text{e}^{-\frac{1}{4}t}.\]
$f$, somme et produit de fonctions dérivables sur $[0~;~ +\infty[$, est dérivable sur cet intervalle et 
		
$f'(t) = 3\text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 3t \times \left(- \dfrac{1}{4} \right)\text{e}^{-\frac{1}{4}t} = \text{e}^{-\frac{1}{4}t}\left(3 - \dfrac{3}{4}t\right) = 3\text{e}^{-\frac{1}{4}t}\left(1 - \dfrac{1}{4}t \right) = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}(4 - t)\text{e}^{-\frac{1}{4}t}}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (en incluant la limite en $+\infty$ ).


On sait que quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{-\frac{1}{4}t} > 0$ ; le signe de $f'(t)$ est donc celui de $4 - t$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $4 - t \iff 4 > t$ ;

\item $4 - t \iff 4 < t$ ; 

\item $4 - t = 0 \iff 4 = t$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : la fonction $f$ est 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item croissante sur [0~;~4] de $f(0) = 2$ à $f(4) = 3 \times 4 \text{e}^{- \frac{1}{4}\times 4} + 2 = 2 + 12\text{e}^{-1} \approx 6,41$ ;

\item décroissante sur $[4~;~+ \infty[$ de $f(4)  \approx 6,41$ à $\lim_{t\rightarrow +\infty} f(t) = 2$.
\begin{center}
\begin{variations}
t&0&&4&&\pI\\
\filet
f'(t)&&+&\z&-&\\
\filet
\m{f(t)}&2&\c&\h{\approx 6,41}&\d&2\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

		\item %À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ? 
La fonction étant croissante sur [0~;~4] de $f(0) = 2$ à $f(4) \approx 6,41$  puis décroissante sur $[4~;~+ \infty[$,\\
$\boxed{\textcolor{red}{f(4) =  2 + 12\text{e}^{-1} \approx 6,41}}$ est le \textbf{\textcolor{red}{maximum}} de la fonction sur $[0~;~+ \infty[$.	
%Quel est alors ce taux ? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer qu'il existe une unique valeur $t_0$ appartenant à [0~;~4] telle que $f\left(t_0\right) = 2,5$.
		
%En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur l'intervalle [0~;~4], la fonction $f$ est continue comme produit et composée de fonctions continues.

\item $f(0) = 2<2,5$

\item $f(4) \approx 4,71>2,5$
\end{enumerate}
D'après le \textbf{\textcolor{blue}{théorème des valeurs intermédiaires}} il existe un réel $t_0 \in [0~;~4]$, tel que $f\left(t_0\right) = 2,5$.\\
Celui-ci est unique car $f$ est croissante sur cet interva\\

La calculatrice donne :

$f(0) = 2$ et $f(1) \approx 4,33$, donc $0 < t_0 < 1$ ;

$f(0,1) \approx 2,29$ et $f(0,2) \approx 2,57$, donc $0,1 < t_0 < 0,2$ ;

$f(0,17) \approx 2,49$ et $f(0,18) \approx 2,52$, donc $0,17 < t_0 < 0,18$ ;

$f(0,174) \approx 2,499$ et $f(0,175) \approx 2,503$, donc $\boxed{\textcolor{red}{0,174 < t_0 < 0,175}}$. 
\end{enumerate}

\smallskip

\emph{On admet qu'il existe une unique valeur $t_1$ appartenant à $[4~;~+\infty[$ vérifiant $f\left(t_1\right) = 2,5$.}

\emph{On donne une valeur approchée de $t_1$ à $10^{-3}$ près: $t_1 \approx  18,930$.}


		\item %Déterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d'une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à 2,5 $\mu$g/mL dans le sang.
		Sur l'intervalle $\left[t_0~;~4\right]$, la fonction $f$ est croissante, donc sur cet intervalle $f(t) \geqslant f\left(t_0\right) = 2,5$ et sur l'intervalle $\left[4~;~t_1 \right]$ la fonction est décroissante donc sur cet intervalle $f(t) \geqslant f\left(t_1\right) = 2,5$.
		
On a donc $f(t) > 2,5$ sur l'intervalle $\left]t_0~;~t_1\right[$ ce qui signifie que le taux de vasopressine sera \textbf{anormal} pendant $t_1 - t_0 \approx 18,93 - 0,175$ soit environ 18,755~min soit \fbox{\textcolor{red}{18~min 45~s}}.
		
\end{enumerate}
	
\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (5 points) }}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout x dans $\mathbb{R}$, on a $-3 \leqslant  f(x) \leqslant  3$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $-1\leqslant \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\leqslant 1$ donc, en multipliant par 3 positif :
\[\boxed{\textcolor{red}{-3\leqslant 3\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\leqslant 3}}.\]

%En déduire la limite de   $\dfrac{f(x)}{x}$  lorsque $x$ tend vers $-\infty$.\\
On obtient, en divisant par $x$ \textbf{négatif} non nul : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{x}\leqslant \dfrac{f(x)}{x}\leqslant -\dfrac{3}{x}}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(-\dfrac{3}{x}\right)=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{3}{x}\right)=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes :
\[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)=0.}}\]

\item %Montrer que pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$, $f(x+\pi)=f(x)$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x+\pi)=3\cos\left(2(x+\pi)+\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(2x+2\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}+2\pi\right)=3\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\\
=f(x)$ car la fonction $\cos$ est périodique de période $2\pi$.

\bigskip

%En déduire que $f$ est périodique et préciser sa période.
On en déduit que \fbox{\textcolor{red}{$f$ est périodique, de période $\pi$}}

\item %Montrer que pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$, $f'(x)=-6\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)$.
On sait que $\left(\cos(u)\right)'=-u'\sin(u)$ si $u$ est dérivable.\\
$f=\cos(u)$ avec $u(x)=2x+\dfrac{\pi}{2}$ et $u'(x)=2$\\
Donc $f'(x)=-2\times 3\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-6\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Monter que si $-\dfrac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{4}$, $2x+\dfrac{\pi}{2} \in [0~;~\pi]$.\\
$-\dfrac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{4}\Rightarrow -\dfrac{\pi}{2}\leqslant 2x\leqslant \dfrac{\pi}{2}\Rightarrow 0\leqslant 2x+\dfrac{\pi}{2}\leqslant \pi$ donc $\boxed{\textcolor{red}{2x+\dfrac{\pi}{2}\in[0~;~\pi]}}$.

%En déduire le signe de $f’$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$.
Puisque $2x+\dfrac{\pi}{2}$ appartient à $[0~;~\pi]$, $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\geqslant 0$ donc $f'(x)=-6\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\leqslant 0$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$.

\item %Etudier le signe de $f’$ sur l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4}\right]$.
$\dfrac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant \dfrac{3\pi}{4}\Rightarrow \dfrac{\pi}{2}\leqslant 2x\leqslant \dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow\pi\leqslant 2x+\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow 2\pi$.\\
Si $2x+\dfrac{\pi}{2}\in [\pi~;~2\pi]$, $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\leqslant 0$ donc $f'(x)=-6\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\geqslant 0$.

\item %En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\left[\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4}\right]$.
$f$ est donc croissante sur $\left[\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4}\right]$.\\
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-3$~;~$f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=3$

\newpage


\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\dfrac{\pi}{4}&&\dfrac{3\pi}{4}\\
\filet
f'(x)&&+&\\
\filet
\m{f(x)}&-3&\c&\h{3}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item %Donner l’équation de la tangente à $f$ au point d’abscisse $\dfrac{\pi}{4}$ .
On sait que $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$ donc la tangente à $\mathscr{C}_f$ est paraèle à l'axe des abscisses $(Ox)$, donc a pour équation $y=f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-3}}$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  