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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices \no 1 (récurrence)}}\end{center}


\subsection{}
 On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 4$ et pour tout $n \geq 1$, $u_{n+1}=\frac14u_n+6$. Montrer que, pour tout n, on a :  $u_n=-\left(\frac14\right)^{n-1}+8$.

\bigskip

Soit $P_n$ la propriété : \og{}$u_n=-\left(\frac14\right)^{n-1}+8$\fg{}

\bigskip

Effectuons une \textbf{\textcolor{red}{démonstration par récurrence}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=0$, $-\left(\frac14\right)^{n-1}+8=-\left(\frac14\right)^{-1}+8=-4+8=4=\boxed{\textcolor{red}{u_0}}$ donc $P_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose $P_n$ vraie pour une valeur de $n$ quelconque donc $u_n=-\left(\frac14\right)^{n-1}+8$.\\
Au rang $n+1$ : par définition de la suite, on a $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+6=\dfrac{1}{4}\left[-\left(\frac14\right)^{n-1}+8\right]+6$ (d'après l'hypothèse de récurrence)\\
$=-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n+2+6=-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n+8$, donc $P_{n+1}$ est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}.\\

$P_n$ est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate}

\bigskip

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\subsection{}
 On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+35}$ .
 
 %Montrer par récurrence sur $n$ que cette suite est croissante et majorée par 7.
Montrons par récurrence sur $n$ que cette suite est croissante et majorée par 7.

\bigskip

Soit $P_n$ la propriété : $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 7$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Démontrons $P_n$ par récurrence :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_1=\sqrt{éu_0+35}=\sqrt{35}\leqslant \sqrt{49}=7$ donc $u_0\leqslant u_1\leqslant 7$ ; $P_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose $P_n$ vraie pour une valeur de $n$ quelconque donc $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 7$.\\
Procédons par inégalités successives :\\
$u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 7$
$\Rightarrow 2u_n\leqslant 2u_{n+1}\leqslant 14$ en multipliant par 2, nombre positif\\
$\Rightarrow 2u_n+35\leqslant 2u_{n+1}+35\leqslant 14+35=49$ en ajoutant 35 à tous les membres\\
$\Rightarrow \sqrt{2u_n+35}\leqslant \sqrt{2u_{n+1}+35}\leqslant \sqrt{49}=7$ en appliquant la fonction racine carrée qui est croissante sur $[0~;~+\infty[$, donc conserve l'ordre.\\
On en déduit : $u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 7$.\\
$P_n$ est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.

\end{enumerate}

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.




\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $u_0=2$ et pour tout $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$.

Montrer que, pour $n\in\mathbb{N}$, $2\leqslant u_n\leqslant 3$.

\bigskip

Soit $P_n$ la propriété : \og{}$2\leqslant u_n\leqslant 3$\fg{}.\\
Effectuons une \textbf{\textcolor{red}{démonstration par récurrence}}.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : \\
$u_0=2$ donc $2\leqslant u_0\leqslant 3$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} :\\
On suppose la propriété $P_n$ vraie pour $n$ quelconque, donc $2\leqslant u_n\leqslant 3$.\\
Alors : $2+5\leqslant u_n+5\leqslant 3+5$ donc $7\leqslant u_n+5\leqslant 8$ d'où, en appliquant la fonction racine carrée, croissante : \\
$\sqrt{7}\leqslant \sqrt{u_n+5}\leqslant \sqrt{8}$ ; or $2<\geqslant 7\leqslant \sqrt{u_n+5}\leqslant \sqrt{8}<\sqrt{9}=3$ donc $P_{n+1}$ est vraie.\\
$P_n$ est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.

\end{enumerate}

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\subsection{}
Montrons  que, pour tout entier naturel $n$, l'entier $3^{2n}-2^n$ est un multiple de 7.\\
Soit $P_n$ la propriété : \og{}$3^{2n}-2^n=7k_n$ avec $k_n\in\mathbb{Z}$\fg{}.

\bigskip

Effectuons une démonstration. par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initilisation}} :\\
Pour $n=0$, $3^{2n}-2^n=3^0-2^0=1-1=0=7\times 0=7\times k_0$ avec $k_0=0$. On a bien un multiple de 7 donc $P_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédté}}.\\
On suppose la propriété $P_n$ vraie pour $n$ quelconque, donc $3^{2n}-2^n=7k_n$ avec $k_n\in\mathbb{Z}$.\\
Au rang $n+1$ :\\
$3^{2n+1}-2^{n+1}=3^{2n+2}-2^{n+1}=3^{2n}\times 3^2-2^n\times 2=9\times 3^{2n}-2\times 2^n$.\\
Or $3^{2n}-2^n=7k_n$ d'après l'hypothèse de récurrence.\\
On en déduit :$3^{2n}=2^n+7k_n$\
$9\times 3^{2n}-2\times 2^n=9\left(2^n+7k_n\right)-3\times 2^n=9\times 2^n+9\times 7k_n-2\times 2^n=\underbrace{9\times 2^n-2\times 2^n+9}_{\text{facteur commun} 2^n}+9\times 7k_n=(9-2)\times 2^n-+9\times 7k_n=7\times 2^n+7\times 9k_n=7\left(2^n+9k_n\right)=7k_{n+1}$ en posant $\boxed{\textcolor{red}{k_{n+1}=2^n+9k_n}}$.\\
On obtient bien un multiple de 7 donc $P_n$ est héréditaire.
\end{enumerate}

\bigskip
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Vérification}}
 :\\
 On en déduit : $k_0=0$~;~$k_1=1$~;~$k_2=11$~;~$k_3=103$\dots\\
Or :


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

 \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=0=7\times 0=7\times k_0$

\item $u_1=7=7\times 1=7\times k_1$

\item $u_2=77=7\times 11=7\times k_2$

\item $u_3=729-8=721=7\times 103=7\times k_3$
\end{enumerate}

\end{multicols}
On a donc trouvé une relation de récurrence permettant de trouver les valeurs de $k_n$.

\subsection{}
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{5u_n-1}{4u_n+1}\end{array}\right.$.\\
Montrer que $u_n\neq\dfrac12$ pour tout $n$.

\bigskip

$u_n\neq\dfrac12\Leftrightarrow u_n-\dfrac{1}{2}\neq 0$ 
Soit $P_n$ la propriété : \og{}$u_n-\dfrac{1}{2}\neq 0$\fg{}

Effectuons une démonstration par récurrence :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_0=0$ donc $u_0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\neq 0$ donc $P_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose $P_n$ vraie pour $n$ quelconque donc $u_n-\dfrac{1}{2}\neq 0$.\\
Alors : $u_{n+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5u_n-1}{4u_n+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\left(5u_n-1\right)-\left(4u_n+1\right)}{2\left(4u_n+1\right)}=\dfrac{10u_n-2-4u_n-1}{2\left(4u_n+1\right)}=\dfrac{6u_n-3}{2\left(4u_n+1\right)}=\dfrac{6\left(u_n-\frac12\right)}{2\left(4u_n+1\right)}\neq 0$ puisque, d'après l'hypothèse de récurrence, $u_n-\dfrac{1}{2}\neq 0$.\\
$P_n$ est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate}

\bigskip
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.



\label{fin}
\end{document}  