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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du DST \no 1}}\end{center}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{5 points}

\begin{enumerate}
\item

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice, on obtient les valeurs suivantes:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\hline
$u_n$ & 2 & \np{3,4} & \np{2,18} & \np{1,19} & \np{0,61} & \np{0,31} & \np{0,16} & \np{0,08} & \np{0,04} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Au vu du tableau précédent, on peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 1.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété: \og $u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n$\fg{}. Montrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\begin{itemize}

\item \textbf{Initialisation.} On a $u_1=\np{3,4}$ et $\frac{15}{4}\times\np{0,5}=\np{1,875}$, donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

\item \textbf{Hérédité.} Supposons que, pour un certain entier naturel $k$ non nul, la propriété $\mathcal{P}(k)$ est vraie, c'est-à-dire que:
\begin{equation}
\tag{HR}
u_k\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^k
\end{equation}
on doit alors démontrer que la propriété $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_{k+1}\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^{k+1}$.\\
D'après (HR):
\begin{eqnarray*}
u_k&\geqslant&\frac{15}{4}\times\np{0,5}^k\qquad\text{donc, en multipliant par }\frac15:\\
\frac15u_k&\geqslant&\frac34\times\np{0,5}^k\qquad\text{ puis, en ajoutant membre à membre }3\times\np{0,5}^k:\\
\frac15u_k+3\times\np{0,5}^k&\geqslant&\frac34\times\np{0,5}^k+3\times\np{0,5}^k\qquad\text{ c'est-à-dire:}\\
u_{k+1}&\geqslant&\frac{15}{4}\times\np{0,5}^k
\end{eqnarray*}
Or, pour tout entier naturel $k$, $\np{0,5}^k\geqslant\np{0,5}^{k+1}$, on en déduit donc que:
\[
\boxed{\textcolor{red}{u_{k+1}\geqslant \dfrac{15}{4}\times\np{0,5}^{k+1}}}
\]
et la propriété $\mathcal{P}(n)$ est donc \textbf{héréditaire}.

\item \textbf{Conclusion.} La propriété $\mathcal{P}(n)$ est initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{itemize}

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul:
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n&=&\frac15u_n+3\times\np{0,5}^n-u_n\\
&=&3\times\np{0,5}^n-\frac45u_n\\
&=&\frac45\left(\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n-u_n \right)\\
\end{eqnarray*}
D'après la question 1a, cela entraîne que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$.

\item D'après la question précédente la suite $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang. D'après 2a, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n>0$, la suite est donc minorée. On en déduit, d'après le théorème de convergence des suites monotones, que la suite $(u_n)$ est \textbf{convergente}.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n\in\mathbb{N}$, alors:
\begin{eqnarray*}
v_{n+1}&=&u_{n+1}-10\times\np{0,5}^{n+1}\\
&=&\frac15u_n+3\times\np{0,5}^n-10\times\np{0,5}\times\np{0,5}^n\\
&=&\frac15u_n-2\times\np{0,5}^n\\
&=&\frac15\left(u_n-10\times\np{0,5}^n\right)\\
&=&\frac15v_n.
\end{eqnarray*}
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\frac15$.\\
Son premier terme vaut $v_0=u_0-10\times\np{0,5}^0=2-10=-8$.

\item La suite $(v_n)$ étant géométrique, on a, pour tout entier naturel $n$: $v_n=-8\left(\frac15\right)^n$.\\
On en déduit que $-8\times\left(\frac15\right)^n=u_n-10\times\np{0,5}^n$ et donc que: $u_n=-8\times\left(\frac15\right)^n+10\times\np{0,5}^n$.
		\item $-1<\frac15<1$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac15\right)^n = 0$, de même: $-1 < \np{0,5} < 1$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\np{0,5}^n = 0$.

On en déduit par opérations sur les limites que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n = 0$.
	\end{enumerate}
	
\item L'algorithme complet est:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{10cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Entrée:} & $n$ et $u$ sont des nombres\\
\textbf{Initialisation:} & $n$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur 2\\
\textbf{Traitement:} & Tant que u>\np{0,01}\hfill~~\qquad(1)\\
&\phantom{XXX} $n$ prend la valeur $n+1$\hfill~~\qquad(2)\\
&\phantom{XXX} $u$ prend la valeur $\frac15u+3\times\np{0,5}^{n-1}$\hfill~~\qquad(3)\\
&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie:} & Afficher $n$
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}

\end{enumerate}




\subsection{\hfill \textcolor{blue}{5 points}}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\
Soit la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=2x^3-3x^2-1.$

\begin{enumerate}

\item %Calculer $u'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $u$.
Pour tout $x$, $u'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$ qui s'annule en 0 et en 1. (Facoriser !!!)\\
$6x(x-1)>0$ à l'extérieur des racines (signe de 6).\\
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&1&&\pI\\
\hline
u'(x)&&+&\z&-&\z&+\\
\hline
\m{u(x)}&&\c&\h{-1}&\d&-3&\c
\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Démontrer que l'équation $u(x)=0$ a une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et que $1<\alpha<2$.
Sur $]-\infty~;~2]$, il est clair que $u'(x)<0$ .\\
Sur $[1~;~2]$, $u$ est continue, $u(1)=-1<0$ et $u(2)=3>0$.\\
D'après le \textbf{théorème des valeurs intermédiaires}, l'équation $u(x)=0$ admet au moins une solution sur [1~;~2]. Celle-ci est unique d'après les variations de $u$. On la note $\alpha$. (et $u(x)>0$ pour $x>2$ )

\item %En déduire le signe de $u(x)$ selon les valeurs de $x$.
Signe de $u(x)$:\\
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
u(x)&&-&\z&+\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$.
À la calculatrice, on trouve  : $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 1,68}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}.$
\begin{enumerate}
  \item Déterminer les limites de $f$ en $-1$ et en $+\infty$.
  \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en -1 : $\lim_{x\rightarrow -1}(1-x)=2$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x<-1}}(1+x^3)=0$ avec $1+x^3<0$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x>-1}}(1+x^3)=0$ avec $1+x^3>0$ .\\
On en déduit : $\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x<-1}}f(x)=-\infty$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x>-1}}f(x)=+\infty$

\item Limite en $+\infty $:\\
On a une forme indéterminée ; pour $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x\left(\frac1x-1\right)}{x^3\left(\frac1{x^3}+1\right)}=\dfrac{\frac1x-1}{x^2\left(\frac1{x^3}+1\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow =\infty}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)=-1$~;~$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{x^3}+1\right)=1$ d'où $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2\left(\dfrac{1}{x^3}+1\right)\right)=+\infty$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}}$.
\end{enumerate}

  \item %Montrer que $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left(1+x^3\right)^2}$.
Pour tout $x>-1$,   $f'(x)=\dfrac{-\left(1+x^3\right)-3x^2(1-x)}{\left(1+x^3\right)^2}=\dfrac{-1-x^3-3x^2+3x^2}{\left(1+x^3\right)^2}=\dfrac{2x^3-3x^2-1}{\left(1+x^3\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{u(x)}{\left(1+x^3\right)^2}}}$.

  \item %Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$
  $f'(x)$ est du signe de $u(x)$donc négatif pour $x\leqslant \alpha$, positif pour $x\geqslant \alpha$ et $f'(\alpha)=0$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :\\
\begin{center}
  \begin{variations}
x&&-1&&&\alpha&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{\pI}&\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
  \item %En remarquant que $2\alpha^3-3\alpha^2-1=0$, montrer que $f(\alpha)=\dfrac{2(1-\alpha)}{3(1+\alpha^2)}$.
  On a $f(\alpha)=\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha^3}$.\\
  Or $2\alpha^3-3\alpha^2-1=0\Leftrightarrow 2\alpha^3=3\alpha^2+1$ donc $\alpha^3=\dfrac{3\alpha^2+1}{2}$\\
  Alors $f(\alpha)=\dfrac{1-\alpha}{1+\frac{3\alpha^2+1}{2}}=\dfrac{1-\alpha}{\frac{3+\alpha^2}{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2(1-\alpha)}{3\left(1+\alpha^2\right)}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C}}\\
Soit les fonctions $g$ et $h$ définies sur  $\mathbb{R}^*$ par : $g(x)=x^2\left(1-\dfrac{1}{x}\right) \text{~~et~~} h(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right).$

\begin{enumerate}
  \item %Conjecturer avec une calculatrice les positions des courbes  représentatives des fonctions $g$ et $h$.
  Il semble que $\mathscr{C}_g$ soit au-dessus de $\mathscr{C}_h$ pour $x<0$ et pour $x>1,7$ environ.
  
  \item %Montrer que $g(x)-h(x)=\dfrac{u(x)}{2x}$ puis, dresser un tableau de signes de $(g-h)(x)$ sur $\mathbb{R}^*$.\par
% Le résultat est-il  conforme à la conjecture ?

$g(x)-h(x)=x^2\left(1-\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^2(x-1)}{x}-\dfrac{x^2+1}{2x}=\dfrac{2x^2x-1-x^2-1}{2x}=\dfrac{2x^3-3x^2-1}{2x}=\dfrac{u(x)}{2x}.$

On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\alpha&&\pIà\\
\hline
u(x)&&-&\bb&-&\z&+&\\
\hline
x&&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
g(x)-h(x)&&+&\bb&-&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

La conjecture est confirmée.
\end{enumerate}



\subsection{}

\textbf{Les parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}\\

Soient M et N deux points de l'espace.\\  Le \textbf{plan médiateur} d'un segment [MN] de l'espace est l'ensemble des points de l'espace P équidistants de M et N ; c'est donc l'ensemble des points P de l'espace tels que MP = NP.\\

Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. Le point I est le milieu du segment [BF]. \\Le point J est le milieu du segment [BC]. Le point K est le milieu du segment [CD].\\

\vfill

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : construction d'une section}}\\

%{Construire la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJE) sur la figure fournie en annexe. On laissera les traits de construction apparents. Aucune justification n'est demandée.\\
Le plan (EIJ) coupe le plan (ABF) selon la droite (EI) et le plan (BCG) selon la droite (IJ).\\
Un plan coupe eux plans parallèles selon des doutes parallèles, donc le plan (EIJ) coupe le plan (ADH) selon la droite (ED) car (IJ) et (FC) sont parallèles (réciproque du théorème de Thalès).\\
Ce plan (EIJ) coupe le plan (ABC) selon la droite (JD) puisque J et D appartient à ce plan.\\
La section du cube par le plan (EIJ) est donc le quadrilatère EIJD.
\vfill

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B : démonstration d'une propriété de l'espace}.}\\

On souhaite démontrer ici la proposition $\mathcal{P} : $
\begin{center}
\fbox{\parbox{0.9\linewidth}{
\textbf{Proposition $\mathcal{P}$}\\
Soient M et N deux points de l'espace. Soient P et Q deux points du plan médiateur du segment [MN].\\La droite (PQ) est orthogonale à la droite (MN).}}
\end{center}

Soient P et Q deux points du plan médiateur d'un segment [MN]. Soit I le milieu du segment [MN]
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la droite (MN) est orthogonale à la droite (PI).
Par définition d'un plan médiateur, P est équidistant de M et N. De même, I est équidistant de M et N.\\
La droite (PI) est donc une médiatrice du serment [MN], donc (PI) et (MN) sont orthogonales.\\

\bigskip

 On admet que la droite (MN) est orthogonale à la droite (QI).
 
\item %En déduire que la droite (MN) est orthogonale au plan (PQI).
(MN) est orthogonale à deux droites (PI) et (QI) non parallèles du plan (PQI), donc (MN) est orthogonale au plan (PQI).

\item %En déduire la proposition $\mathcal P$.
(MN) est donc orthogonale à toute droite de ce plan, donc en particulier à la droite (PQ).
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : Une application}\\
Le plan est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}; -\overrightarrow{\text{AB}}; -\overrightarrow{\text{AD}}; -\overrightarrow{\text{AE}}\right)$. On considère à nouveau le cube défini précédemment.

\begin{enumerate}
\item %Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.
On a : A(0~;~0~;~0), G(1~;~1~;~1), $I\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$, $J\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$ et $K\left(\dfrac{1}{2}~;~1~;~0\right)$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que A et G appartiennent au plan médiateur de [IJ].
		$\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}1\\0\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ donc $AI=\sqrt{1^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.\\
			$\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2}~;~0\end{pmatrix}$ donc $AJ=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.\\
		Donc $AI=AJ$.\\
		$\overrightarrow{GI}\begin{pmatrix}0\\-1\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ d'où $GI=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$\\
		$\overrightarrow{GJ}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\0\\-1\end{pmatrix}$ d'où $GJ=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.\\
		On en déduit $GI=GJ$.\\
		A et G sont équidistants de I et J ; ils appartiennent donc au plan médiateur de [IJ].
		
		\item On admet de même que A et G appartiennent au plan médiateur de [JK]. %En utilisant la propriété $\mathcal{P}$ énoncée à la partie B, montrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (IJK).
	En utilisant la propriété $\mathscr{P}$	, on en déduit que la droite (AG) est orthogonale à la droite (IJ) ; de même, elle est orthogonale à la droite (JK).\\
	On en déduit qu'elle est orthogonale au plan (IJK) car (IJ) et (JK) ne sont pas parallèles, donc définissent le plan (IJK)
  	\end{enumerate}.
	
\item  On appelle L le centre du cube ABCDEFGH. 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que les points L, I, J et K sont coplanaires.
On a : $I\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$, $J\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$, $K\left(\dfrac{1}{2}~;~1~;~0\right)$ et $L\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.\\
$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{2}&\\\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{IK}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2}\\1\\-\dfrac{1}{2}&\\~;~\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IL}\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}\\0&\\\end{pmatrix}&\\\end{pmatrix}$.\\I, J, K et L sont coplanaires si, et seulement si, il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{IL}=\alpha \overrightarrow{IJ}+\beta \overrightarrow{IK}$.\\
Cela donne le système : 
$\begin{cases}0=-\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\beta}{2}\\\dfrac{1}{2}=\alpha+\dfrac{\beta}{2}\\-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{\alpha}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\beta=-1\\\beta=-1\\\alpha=1\end{cases}$.\\
On en déduit que L, I, J et K sont coplanaires.

\item %Vérifier que les points A, L et G sont alignés puis calculer le volume du tétraèdre AIJK.
L est le centre du cube, donc L est l'intersection des diagonales du cube. L est donc le milieu de la diagonale [AG]/

\bigskip

Le volume d'un tétraèdre est $V=\dfrac{\text{Aire de base} \times  \text{hauteur}}{3}$.\\
Comme base, prenons le triangle IJK. Ce triangle est rectangle en J, car [IJ] et [JK] appartiennent à deux faces orthogonales du cube.\\
D'après le théorème de Thalès, $IJ=\dfrac{FC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\\
De même, $JK=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\\
L'aire du triangle IJK est donc $\dfrac{IJ\times JK}{2}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$.\\
La droite (AL) est orthogonale au pan (IJK) donc [AL] est la hauteur issue de A dans le tétraèdre AIJK.\\
$AL=\dfrac{AG}{2}$ ; d'après le théorème de Pythagore, $AG^2=AC^2+CG^2=\sqrt{2}^2+1^2=3$ donc $AG=\sqrt{3}$.\\
Par conséquent : $AL=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\\
Alors le volume du tétraèdre est : $V=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{V=\dfrac{\sqrt{3}}{12}}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Section }:
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{ccttqq}{0.8 0.2 0}
\newrgbcolor{ccwwqq}{0.8 0.4 0}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(8,8)
\psline(0,0)(3.86,-1.04)%[AB]
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.28,2.29)%[AD]
\psline[linestyle=dashed](7.14,1.26)(3.28,2.29)%[CD]
\psline(3.86,-1.04)(7.14,1.26)
\psline(0,4)(3.86,2.96)
\psline(3.86,2.96)(7.14,5.26)
\psline(3.28,6.29)(7.14,5.26)
\psline(0,4)(3.28,6.29)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(3.86,-1.04)(3.86,2.96)
\psline(7.14,1.26)(7.14,5.26)
\psline[linestyle=dashed](3.28,2.29)(3.28,6.29)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,4)(3.86,0.96)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](3.86,0.96)(5.5,0.11)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](0,4)(3.28,2.29)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](5.5,0.11)(3.28,2.29)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](-0.26,0.1){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,-1.04)
\rput[bl](3.88,-1.32){\darkgray{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.28,2.29)
\rput[bl](3.18,1.94){\darkgray{$D$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.14,1.26)
\rput[bl](7.22,1.38){\darkgray{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$E$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,2.96)
\rput[bl](3.94,3.08){\darkgray{$F$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.14,5.26)
\rput[bl](7.22,5.38){\darkgray{$G$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.28,6.29)
\rput[bl](3.36,6.42){\darkgray{$H$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.86,0.96)
\rput[bl](3.94,1.08){\darkgray{$I$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.5,0.11)
\rput[bl](5.58,0.24){\darkgray{$J$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.21,1.78)
\rput[bl](5.28,1.9){\darkgray{$K$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray,dotscale=3](3.57,2.63)
\rput[bl](3.66,2.74){\darkgray{$L$}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{}
\textbf{Uniquement pour les élèves qui ne suivent pas l'enseignement de spécialité}\\
Soit $n$ un entier naturel. On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $I = [0;1]$ par $f_n(x) = \frac{1-nx^2+x^3}{1+x^2}$. \\On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère du plan. Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$. \\
Le graphique donné en annexe représente la droite $\mathcal{D}$ et les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n \in \lbrace 0;1;2;3;4\rbrace$.\\En considérant ce graphique, il semble que  $\mathcal{C}_n$ et $\mathcal{D}$ s'intersectent en un unique point $M_n(x_n,x_n)$.\\Le but de cet exercice est d'étudier la suite $(x_n)$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Conjecturer le sens de variation de la suite $(x_n)$. Expliquer la démarche.
Il semble que la suite $\left(x_n\right)$ soit décroissante.

\item %La suite $(x_n)$ semble-t-elle être convergente ?
La suite $\left(x_n\right)$ semble convergente
\end{enumerate}


\item \textbf{Dans cette question, on suppose que $n = 0$.} On s'intéresse donc à la fonction $f_0$ définie sur $I$ par $f_0(x) = \frac{1+x^3}{1+x^2}$.

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $f_0(x) = x$ sur l'intervalle $I$.
$f_0(x)=x\Leftrightarrow  \frac{1+x^3}{1+x^2}=x\Leftrightarrow 1+x^3=x\left(1+x^2\right)\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=1}}$.

\item %En déduire que $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{D}$ ont un unique point d'intersection $M_0$ dont on déterminera les coordonnées.
$\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{D}$ ont un unique point d'intersection $M_0(1~;~1)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Dans toute la suite, on admet que la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}_n$ ont un unique point d'intersection $M_n$ et on note $x_n$ l'abscisse de $M_n$. }

Soit $n$ un entier naturel non nul.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E_n)~;~ nx^2+x-1 = 0$ sur l'intervalle $I$.
$\Delta=1+4n>0$ donc l'équation admet deux solutions réelles. La solution positive est $\dfrac{-1+\sqrt{1+4n}}{2n}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{4n+1}-1}{2n}}}$.

\item %Déterminer deux réels $a_n$ et $b_n$ tels que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f_n(x) = x-a_n + \frac{b_n-x}{1+x^2}$.\\ On exprimera $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.\\
Pour tout $x$, $f_n(x)= x-a_n + \frac{b_n-x}{1+x^2}\Leftrightarrow \dfrac{1-nx^2+x^3}{1+x^2}=x-a_n + \frac{b_n-x}{1+x^2}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1-nx^2+x^3}{1+x^2}=\dfrac{(x-a_n)\left(1+x^2\right)+b_n-x}{1+x^2}\Leftrightarrow 1-nx^2+x^3=x+x^3-a_n-a_nx^2+b_n-x\\
\Leftrightarrow \begin{cases}a_n=n\\b_n=n+1\end{cases}$ en identifiant les coefficients.

\item %Montrer que l'équation $f_n(x) = x$ est équivalente à l'équation $(E_n)$.
$f_n(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{1-nx^2+x^3}{1+x^2}=x\Leftrightarrow 1-nx^2+x^3=x\left(1+x^2\right)\\
\Leftrightarrow 1-nx^2+x^3=x+x^3\Leftrightarrow nx^2+x-1=0$, c'est-à-dire l'équation $\left(E_n\right)$.

\item %Exprimer alors $x_n$ en fonction de $n$. 
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{x_n=\dfrac{\sqrt{4n+1}-1}{2n}}}$.

\item %En déduire le sens de variation de la suite $(x_n)$ et sa limite.
En utilisant l'expression conjuguée, on trouve :\\
$x_n=\dfrac{\left(\sqrt{4n+1}-1\right)\times \textcolor{red}{\left(\sqrt{4n+1}+1\right)}}{2n\textcolor{red}{\left(\sqrt{4n+1}-1\right)}}=\dfrac{(4n+1)-1}{2n\sqrt{4n+1}+1}=\dfrac{4n}{2n\sqrt{4n+1}+1}=\dfrac{2}{\sqrt{4n+1}+1}$.\\
Il est clair que $\sqrt{4n+1}+1$ est le terme d'iuune suite croissante donc $\left(x_n\right)$ est une suite décroissante.\\
Il est aussi clair que $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{4n+1}+1\right)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=0}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%\subsection*{\textcolor{blue}{IV\hfill 5 points}s}
%\textbf{Uniquement pour les élèves qui suvent l'enseignement de spécialité}
%\phantom{Rien}
%\begin{enumerate}
%\item On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que  

%\[\left\{\begin{array}{l !{\equiv} l r}
%N& 5	&(13)\\
%N& 1	&(17)
%\end{array}\right.\]

%	\begin{enumerate}
%		\item Vérifier que 239 est solution de ce système.
%		\item Soit $N$ un entier relatif solution de ce système.
%		
%		Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N = 1 + 17x = 5 + 13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant la relation $17x - 13y = 4$.
%		\item Résoudre l'équation $17x - 13y = 4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
%		\item En déduire qu'il existe un entier relatif  $k$ tel que $N = 18 + 221k$.
%		\item Démontrer l'équivalence entre $N \equiv 18 \quad (221)$ et 
%		$\left\{\begin{array}{l !{\equiv} l r}
%N& 5&(13)\\
%N& 1&(17)
%\end{array}\right.$.
%	\end{enumerate}
%\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip

%	\begin{enumerate}
%		\item Existe-t-il un entier naturel $k$ tel que $10^k \equiv 1 \quad (17)$ ?
%		\item Existe-t-il un entier naturel $l$ tel que $10^l \equiv 18 \quad (221)$ ?
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}

%\vspace*{\stretch{1}}

%\clearpage

%\pagestyle{fancy}
%\lhead{Nom-Prénom :  }
%\rhead{Classe : \hspace*{2cm}}
%\cfoot{7 décembre 2019 - DST - Terminale S - Mathématiques\\5/5}

%\begin{center}
%\textbf{\LARGE Annexe à rendre avec la copie}
%\end{center}

%
%\textbf{\textcolor{red}{Exercice 3}}
%Construire la section du cube par le plan (IJE).
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=3]{BB1_cube}
%\end{center}

%
%\textbf{\textcolor{red}{Exercice 4}}: Ne concerne que les candidats qui ne suivent pas l'enseignement de spécialité\\
%Représentation graphque des courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, 
%$\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$ et de la droite d'équation $y = x$.
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=10]{BB1_fn.png}
%\end{center}

\label{fin}
\end{document}  