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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale S : correction du devoir sur feuille \no 4}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie mars 2008}}
%Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois :

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10\:\%
% n'ont pas survécu, 75\:\%
%  deviennent rouges et les 15\:\% restant deviennent gris.
%\item[$\bullet~$] pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5\:\% n'ont
%pas survécu, 65\:\% deviennent rouges et les 30\:\% restant deviennent gris.
%\end{itemize}
%Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60\:\% au premier éleveur, 40\:\% au second.
Notons :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $E_1$ : \og{}l'alevin vient de l'élevage \no 1\fg{}

\item $S$ : \og{}l'alevin a survécu\fg{}

\item $R$ : \og{}l'alevin devient rouge\fg{}

\item $G$ : l'alevin devient gris.
\end{enumerate}
On a alors : $p\left(E_1\right)=0,6$~;~$p_{E_1}\left(\overline{S}\right)=0,1$~;~$p_{E_1}(R)=0,75$~;~$p_{E_1}(G)=0,15$~;~$p_{E_2}(\overline{S})=0,65$~;~$p_{E_2}(R)=0,65$~;~$p_{E_2}(G)=0,3$.\\
Résumons la situation par un arbre de probabilités :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$E_1$}\taput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{ $0,75$}
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{ $0,15$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $0,1$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E_1}$}\tbput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{ $0,65$}
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{ $0,3$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $0,05$}
}
}


\end{center}
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  $\overline{S}=\left(\overline{S} \cap E_1\right) \cup \left(\overline{S} \cap E_2\right)$ (réunion d'événements incompatibles) donc $p\left(\overline{S}\right)=p\left(\overline{S} \cap E_1\right) + p\left(\overline{S} \cap E_2\right)\\
		=0,6 \times 0,9 + 0,4 \times 0,95=\boxed{\textcolor{red}{0,92}}$.\\
		La probabilité pour l'enfant d'avoir un alevin vivant est donc 0,92.
		
		\item  De même, la probabilité pour l'enfant d'avoir un poisson rouge est égale à \\
		$p(G)=p\left(G \cap E_1\right)+p\left(G \cap E_2\right)=0,6\times 0,75+0,4\times 0,65=\boxed{\textcolor{red}{0,71}}$
		
		\item   Les poissons vivants sont rouge ou gris.\\
		 La probabilité d'avoir un alevin gris est donc égale à $0,92 - 0,71 = \boxed{\textcolor{red}{0,21}}.$\\
		La probabilité qu'il soit gris et provienne du premier élevage est égale à $p\left(G \cap E_1\right)=0,6 \times 0,15 = 0,09$.\\
		On a donc : $p_{G}(E_1) = \dfrac{p\left(G \cap E_1\right)}{p(G)} = \dfrac{0,09}{0,21} = \dfrac{9}{21} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{7}}}$. 
 	\end{enumerate}
	
\item On suppose qu'il y a assez d'alevins pour que la probabilité d'avoir un alevin en vie au bout de trois mois est toujours égale à $0,92$.\\
Notons $X$ le nombre d'alevins en vie au bout de trois mois.\\
On a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues, donc $X$ suit la loi binomiale $B(5~;~0,92)$.\\
\[p(X=3)=\binom{5}{3}0,92^3 \times (1 - 0,92)^2 = 10 \times 0,92^3 \times 0,08^2 \approx \nombre{0,049} \approx 0,05~\text{à}~10^{-2}~\text{près}.\]

\item  On a le tableau de loi de probabilité suivant :\\

\medskip
\noindent \begin{tabularx}{0,8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
couleur & rouge & gris & mort\\ \hline
probabilité & 0,71&0,21&0,08\\ \hline
gain({\euro}) &$1$&$0,25$&$-0,10$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
On a donc E$(X) = 0,71 \times 1 + 0,21 \times 0,25 - 0,08 \times 0,10 = \nombre{0,7545}\boxed{\textcolor{red}{\approx\text{ 0,75 }}}$.\\
L'animalerie gagne donc en moyenne environ 0,75 \euro{} par alevin vendu.
 \end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie mars 2007}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 
\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'équation $y = - x - 1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. On a représenté sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.

\begin{enumerate}
\item  L'équation de la tangente en $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)\Leftrightarrow y=\left(\mathrm{e}^{a}-1\right)(x-a)+\mathrm{e}^{a}-a-1\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=\left(\mathrm{e}^{a}-1\right)x+\mathrm{e}^{a}(1-a)-1}}$

\item L'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec la droite $D$ est solution de l'équation \\
$\left(\mathrm{e}^{a}-1\right)x+\mathrm{e}^{a}(1-a)-1=-x-1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{a}x=\mathrm{e}^{a}(a-1)\Leftrightarrow y=x-1$ (en simplifiant par $\mathrm{e}^{a}\neq 0$).\\
L'abscisse de de ce point d'intersection est $b=a-1$. 

\item Pour construire la  tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$, il suffit de construire le point de (D) d'abscisse $a - 1$ et la tangente est obtenue en joignant ce point à $M$. Exemple ci-dessous avec $a = 1,5$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-4,-4)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3,6)
\psplot{-4}{2.222}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
\psline(-4,3)(3,-4) \uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](2,4){$(\mathcal{C})$} \uput[ur](2,-3){$(D)$}
\psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,1.98169)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,-1.5)
\psline(0.5,-1.5)(1.5,1.98169)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\noindent \textbf{P\textcolor{red}{artie B}}
\begin{enumerate}
\item Graphiquement on lit $f(x) \geqslant 0$ ($f(0) = 0$).
\item On a donc quel que soit $x \in \mathbb{R},~\text{e}^x \geqslant x + 1$.

En appliquant cette inégalité à $x = \dfrac{1}{n},~$ on obtient $\boxed{\textcolor{red}{(1) 
\quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}}}$ et, en l'appliquant à $x = - \dfrac{1}{n+1}$, on obtient :\\
 $\boxed{\textcolor{red}{\qquad (2) \quad  \text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}}}$.
 
\item La fonction $x \longmapsto x^n,~n \in \mathbb{N}$ étant croissante, $(1) \Rightarrow \left(\text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^n \geqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \iff \text{e} \geqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \iff \boxed{\textcolor{red}{\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}}}$.

\item De même  $(2) \Rightarrow \left(\text{e}^{\frac{-1}{n+1}}\right)^{n+1} \geqslant \left(1 - \dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} \iff \text{e}^{-1} \geqslant \left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n+1} \iff \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n+1} \geqslant \text{e} \iff \boxed{\textcolor{red}{\text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n+1}}}$. 

\item La question 3. montre que e majore  $\boxed{\textcolor{red}{\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n}}$.

La question 4. s'écrit $\text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} \times \left(1 + \dfrac{1}{n} \right) \iff \text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} \times \left(\dfrac{n+1}{n} \right) \iff \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n}{n+1}\text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}}}$.

On obtient donc l'encadrement :
\[\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n}{n+1}\text{e}  \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} \leqslant \text{e}.}}\]
Par application du théorème des \og gendarmes \fg{}, car $\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$,
\[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = \text{e}.}}\]
\end{enumerate}
\textbf{Remarque} : on a donc trouvé une suite qui a le nombre $\mathrm{e}$ pour limite mais la convergence est très lente, donc pas envisageable pour calculer une valeur approchée de ce nombre

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow \infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$, donc, par opérations $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}$. Or $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$ (croissances comparées) et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$, donc, par opérations  $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$.

\item Pour tout réel $x$,$ f'(x)=1\mathrm{e}^{x}+(x+1)\mathrm{e}^{x}=(x+2)\mathrm{e}^{x}$.

\item Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $x+2$, donc négatif pour $x\leqslant -2$ et nul pour $x=-2$.\\
On en déduit le tableau de variations suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $- \infty$ & \qquad\qquad & $-2$ & \qquad\qquad & $+\infty$\\
\hline
$f'(x)$&&$-$&0&$+$&\\
\hline
&\rnode{a}{$0$}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
$f$& & & & & \\
& & &\rnode{b}{$-1/\mathrm{e}^{2}$}& & \\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\end{center}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
 On a, pour tout réel $x$:
 \begin{eqnarray*}
 g_m(x)=0 &\Longleftrightarrow& x+1=m\mathrm{e}^{x}\\
 &\Longleftrightarrow& (x+1)\mathrm{e}^{x}=m\\
 &\Longleftrightarrow& f(x)=m.
 \end{eqnarray*}

\item D'après l'équivalence et le tableau de variations précédents:
\begin{itemize}
\item si $m<-\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$: l'équation $g_m(x)=0$ ne possède aucune solution, donc $\mathcal{C}_m$ ne coupe pas l'axe des abscisses;
\item si $m=-\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$: l'équation $g_m(x)=0$ possède une solution, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en un point;
\item si $-\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}<m<0$: l'équation $g_m(x)=0$ possède deux solutions, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en deux points;
\item si $m\geqslant 0$: l'équation $g_m(x)=0$ possède deux solutions, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en deux points.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item
La courbe 1 ne coupe pas l'axe des abscisses, donc l'équation $g_m(x)=0$ n'a pas de solution et cela entraîne que $m<-\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$. La seule possibilité est donc que $m=-\mathrm{e}$.
\item La courbe 2 coupe l'axe des abscisses une seule fois, donc $m=-\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$ ou $m\geqslant 0$. La seule possibilité est donc $m=0$.
\item Par élimination, la courbe 3 correspond à $m=\mathrm{e}$.
\end{itemize}
\item Pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=-m\mathrm{e}^{x}$ qui est du signe de $-m$; on en déduit:
\begin{itemize}
\item si $m>0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est en dessous de $\mathcal{D}$;
\item si $m<0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est au dessus de $\mathcal{D}$;
\item si $m=0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=00$, donc $\mathcal{C}_m$ et  $\mathcal{D}$ sont confondues.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2013}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L?algorithme \no 1 calcule tous les termes de $v_{0}$ à $v_{n}$ mais n'affiche que le dernier $v_{n}$.

L?algorithme \no 2 calcule $n$ fois de suite $v_{1}$ à partir de $v_{0}$ : il ne calcule pas les termes de $0$ à $v_{n}$.

L?algorithme \no 3 calcule tous les termes de 0  à $v_{n - 1}$ et les affiche tous : il manque donc en fait l'affichage de $u_{n}$ !

\item D'après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à $n = 9$, il semblerait que la suite  soit croissante et converge vers un nombre
proche de 3.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons par récurrence la proprieété $P_{n} : 0 < v_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$.

\emph{Initialisation} : $n = 0$, on a bien $0 < v_{0} < 3$ vraie, puisque $v_{0} = 1$ ; ainsi $P_{0}$ est vraie.

\emph{Hérédité} : Supposons $P_{n}$ vraie, montrons alors que $P_{n+1}$ est vraie.

On suppose  donc que $0 < v_{n} < 3$.

Donc $6 =  6  - 0 >  6 - v_{n} > 6 - 3  = 3$, puis

$\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6 - v_{n}} < \dfrac{1}{3}$, car la fonction inverse est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$.

$\dfrac{3}{2}= \dfrac{9}{6} < \dfrac{9}{6 - v_{n}} < \dfrac{9}{3} = 3$.

Ainsi $0 < \dfrac{3}{2} < v_{n+1} < 3$. L'hérédité est établie puisque $P_{n+1}$ est vraie.

Conclusion : Par le principe de récurrence, : $P_{n} : 0 < v_{n} < 3$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
		\item $\forall n\in\mathbb{N},~v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{9}{6 - v_{n}} - v_{n} = \dfrac{9 - v_{n}\left(6 - v_{n} \right)}{6 - v_{n}} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\left(v_{n} - 3 \right)^2}{6 - v_{n}}}}$.

Or, d'après la question précédente, $0 < v_{n} < 3$ pour tout $n$ entier naturel, ainsi $6 - v_{n}$ est positif, donc $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(v_{n} - 3 \right)^2}{6 - v_{n}} > 0$, ainsi la suite $\left(v_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{blue}{croissante}}.

\item Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\forall n\in\mathbb{N},~w_{n+1} - w_{n} = \dfrac{1}{v_{n+1} - 3} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{1}{\frac{9}{6 - v_{n}} - 3} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{6 - v_{n}}{3v_{n} - 9} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{6 - v_{n} - 3}{3v_{n} - 9} = \dfrac{v_{n} - 3}{3v_{n} - 9} =\boxed{\textcolor{red}{ - \dfrac{1}{3}}}$.

Ainsi la suite $\left(w_{n}\right)$ est-elle arithmétique de raison $r = - \dfrac{1}{3}$.

\item puisque $\left(w_n\right)$ est arithmétique, $w_{n} = w_{0} + nr = \dfrac{1}{1 - 3}- \dfrac{1}{3}n =\boxed{\textcolor{red}{ - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}n}}$.

Comme $w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}$, on a $v_{n} = \dfrac{1}{w_{n}} + 3 = \dfrac{1}{- \frac{1}{2} - \frac{1}{3}n} + 3 =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{6}{- 3 - 2n} + 3}}$.

Or $\lim_{n \to + \infty} \dfrac{6}{- 3 - 2n} = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \boxed{\textcolor{red}{3}}$.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  