\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du devoir sur feuille \no 3}}\end{center}


\subsection{}%Polynésie septembre 2008
 \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
 
%On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\N$ et vérifiant la relation suivante :

%pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$.

\begin{enumerate}
\item  %On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.

%Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.
$\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si, pour tout entier naturel $n$ non nul, \\
$t_{n+1} - t_{n} = 0,24t_{n-1} \iff \lambda^{n+1} - \lambda^n = 0,24\lambda^{n-1} \\
\iff  \lambda^2 -  \lambda = 0,24$, en divisant par $\lambda^{n-1}\neq 0$\\

%En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).
On résout $\lambda^2 -  \lambda -0,24=0$.
Après le calcul du discriminant $\delta$, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\lambda = 1,2~\text{ou}~\lambda = - 0,2.}}$

Les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à (E) sont les suites $\boxed{\textcolor{red}{t_{n} = 0,2^n}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{t_{n} = (- 0,2)^n}}$. 

%On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
%\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{o˘}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux réels.}\]

\item  %On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).

%Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.
$u_{n}$ doit vérifier :\\
 $\begin{cases}\alpha(1,2)^0 + \beta(-0,2)^0=6\\
\alpha(1,2)^1 + \beta(-0,2)^1=6,6\\
\end{cases} \iff \boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}
\alpha + \beta=6\\
1,2\alpha - 0,2 \beta = 6,6\end{cases}}}\\
\Rightarrow 1,2\alpha - 0,2(6 - \alpha) = 6,6 \iff 1,4\alpha = 7,8 \iff\boxed{\textcolor{red}{ \alpha = \dfrac{39}{7}}}$.

On en déduit que $\beta = 6 - \alpha = 6 -  \dfrac{39}{7} =  \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{7}.}}$\\
%En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.
La suite s'écrit donc : quel que soit $n \in \mathbb{N},~\boxed{\textcolor{red}{u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n}}$.

\item  %Determiner $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
Comme $-1 < - 0,2 < 1,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (- 0,2)^n = 0$ ; d'autre part $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (1,2)^n = + \infty$ car $1,2>1$ d'où \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n} = + \infty}}$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
 
%On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :
%\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  %…tudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	$f(x) = 1,4x - 0,05x^2$\\
	$f'(x)=1,4-0,1x=0,1(14-x)$ qui s'annule en 14.\\
$f'(x)=0$ pour $x=14$ er $f'(x)<0$ pour $x>14$ et $f'(x)>0$ pour $x<14$.\\
La fonction est donc croissante sur  $]- \infty~;~14]$ et décroissante sur $[14~;~+ \infty[$.\\
On en déduit que $f$ est croissante sur $[0~;~8]$.

		\item  %Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
		
% $0 \leqslant  <v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,  $0 \leqslant  <v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : \\
$v_{0} = 6,~v_{1} = 1,4v_{0} -0,005v_{0}^2 \\
= 1,4 \times 6 - 0,05 \times 6^2
 = 8,4 - 1,8 = 6,6$.
 
 On a bien $0 \leqslant v_{0} \leqslant v_{1} \leqslant 8$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : supposons qu'il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $0 \leqslant  v_{p} < v_{p+1} \leqslant  8$.
 
 On a $v_{p+2} = f\left(v_{p+1}\right)$. D'après la question précédente la fonction $f$ est croissante sur $]- \infty~;~14]$ ; donc $0 \leqslant v_{p} \leqslant v_{p+1} \leqslant 8\\
  \Rightarrow 0 \leqslant f\left(v_{p}\right) \leqslant f\left(v_{p+1}\right)\leqslant f(8) \\
  \iff 0 \leqslant v_{p+1} \leqslant v_{p+2} \leqslant f(8)$. \\
  Or $f(8) = 8$. L'hérédité est donc démontrée.

\end{enumerate} 
 On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
		
 $0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.	\end{enumerate}

\item %En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
La question précédente montre que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item la suite est croissante ;
\item la suite est majorée par 8
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{Conclusion} : la suite $\left(v_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$ inférieure ou égale à 8.

On a $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=\ell$ ; puisque $f$ est continue, $\lim_{n\rightarrow +\infty}f\left(v_n\right)=f(\ell)$.\\
Or, $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n+1}=\ell$ ; par unicité de la limite, on doit donc avoir $f(\ell)=\ell$ donc $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$.\\

$\ell = 1,4\ell - 0,05\ell^2 \iff 0,4\ell = 0,05\ell^2\\
 \iff \ell = 0\quad \text{(impossible car la suite est croissante à partir de 6) ou} \quad  \ell = 8$

La suite  $\left(v_{n}\right)$ converge vers $8$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $n\geqslant 2$ un entier fixé (quelconque) et soit $f_n$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f_n(x)=\dfrac{1+x^n}{(1+x)^n}.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi $f_n$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et calculer $f_n'(x)$.
$f_n$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables.\\
$\forall x\in\left[0~;~+\infty\right[$, \\
$f_n'(x)=\dfrac{nx^{n-1}(1+x)^n-n\left(1+x^n\right)(1+x)^{n-1}}{\left[(1+x)^n\right]^2}\\
=\dfrac{(1+x)^{n-1}\left[nx^{n-1}(1+x)-n\left(1+x^n\right)\right]}{(1+x)^{2n}}=\dfrac{(1+x)^{n-1}\left(nx^{n-1}-n\right)}{(1+x)^{2n}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n(1+x)^{n-1}\left(x^{n+1}-1\right)}{(1+x)^{2n}}}}
$

\item %Montrer que $f_n'(x)=\dfrac{n(1+x)^{n-1}\left(x^{n-1}-1\right)}{(1+x)^{2n}}$.
Fait à la queston précédente

\item %\'Etudier le signe de $f_n'(x)$ et montrer que $f_n$ atteint un minimum que l'on déterminera.
$f_n'(x)$ est du signe de $x^{n-1}-1$ ; or, la fonction $x\mapsto x^{n-1}$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ et vaut 1 pour $x=1$. Donc $x^{n-1}-1<0$ pour $x<1$ et  $x^{n-1}-1>0$ pour $x>1$.\\
$f(1)=\dfrac{2}{2^n}=\dfrac{1}{2^{n-1}}$.\\
On  en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1&&\pI\\
\hline
f_n'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
f(x)&&\d&\dfrac{1}{2^{n-1}}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %En déduire l'inégalité suivante : \[(1+x)^n\leqslant 2^{n-1}\left(1+x^n\right).\]
D'après les variations de $f$, on a :\\
$\forall x\geqslant 0$, $f(x)\geqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$, donc $\dfrac{1+x^n}{(1+x)^n}\geqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{(1+x)^n\leqslant 2^{n-1}\left(1+x^n\right)}}$.

\item %En déduire que, si $x$ et $y$ sont des réels positifs, \[(x+y)^n\leqslant 2^{n-1}\left(x^n+y^n\right).\]
On pose $A=\dfrac{y}{x}$.\\
D'après la question précédente, on a : $(1+A)^n\leqslant 2^{n-1}\left(1+A^n\right)$ d'où \\
$\boxed{\textcolor{red}{\left(1+\dfrac{y}{x}\right)^n\leqslant 2^{n-1}\left(1+\dfrac{y^n}{x^{n}}\right)}}$.\\

On en déduit : $\left(\dfrac{x+y}{y}\right)^n\leqslant 2^{n-1}\left(\dfrac{x^n+y^n}{y^n}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{(x+y)^n\leqslant 2^{n-1}\left(x^n+y^n\right)}}$, en multipliant de chaque côté par $y^n>0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Un chirurgien orthopédique commande des prothèses chez trois fabricants A, B et C. le tiers des prothèses provient de A, 30\:\%  provient de B et le reste provient de C.\\
La proportion de prothèses défectueuses est de 0,3\:\% chez A, de 0,6\:\% chez B et de 0,5\:\% chez C.\\
On prend au hasard la fiche d'un patient qui s'est fait poser une prothèse chez ce médecin.\\
%Quelle est la probabilité que cette prothèses soit défectueuse ?
Notons :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item A : l'événement : \og{} la prothèse vient du fabricant A\fg{} 

\item B : l'événement : \og{} la prothèse vient du fabricant B\fg{}

\item C : l'événement : \og{} la prothèse vient du fabricant C\fg{}

\item D : l'événement : \og{} la prothèse est défectueuse A\fg{}
\end{enumerate}

On a : $p(A)=\dfrac{1}{3}$~;~$p(B)=\dfrac{3}{10}$~;~$p(C)=1-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{10}\right)=\dfrac{11}{30}$\\
$p_A(D)=0,3\:\%=0,003$~;~$p_B(D)=0,6\:\%=0,006$ et $p_C(D)=0,5\:\%=0,005$.\\
On peut traduire la situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $\frac13$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,003$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0,997$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{\small $\frac3{10}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,006$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0,994$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{\small $\frac{11}{30}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,005$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0,995$}}}
\end{center}

D'après la f\textbf{ormule des probabilités totales}, on a : \\
$p(D)=p_A(D)\times p(A)+p_B(D)\times p(B)+p_C(D)\times p(C)=0,003\times \dfrac{1}{3}+0,006\times \dfrac{3}{10}+0,005\times \dfrac{11}{30}=\dfrac{0,139}{30}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{139}{\numprint{30000}}}}$

\subsection{}
On sait que 1\:\% d'une population est atteinte  d'une certaine maladie orpheline.\\
On dispose de test de dépistage de cette maladie ainsi que des données suivantes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si la personne est atteinte de cette maladie, alors le test est positif dans 90\:\% des cas.

\item si la personne n'est pas atteinte par cette maladie, alors le test est néanmoins positif dans 5\:\% des cas.
\end{enumerate} 
On choisit une personne au hasard.\\
On note :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item M l'événement : \og{} La personne est malade.\fg.

\item T l'événement : \og{} Le test est positif.\fg.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}

\item %Traduire les hypothèses en termes de probabilités.
On a : $p(M)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{100}}}$~;~$p_M(T)=\dfrac{90}{100}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{10}}}$~;~$p_{\overline{M}}(T)=\dfrac{5}{100}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{20}}}$

\newpage

\item %Faire un arbre pondéré représentant la situation.
Représentons la situation par un arbre pondéré%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{\small $\frac1{100}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $\frac9{10}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $\frac1{10}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{M}$}\tbput{\small $\frac{99}{100}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\taput{\small $\frac1{20}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $\frac{19}{10}$}}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(M \cap T)$ et $p\left(\overline{M} \cap T\right)$.
$p(M \cap T)=p_M(T)\times p(M)=\dfrac{9}{10}\times \dfrac{1}{100}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{\numprint{1000}}}}$.

\bigskip

$p\left(\overline{M} \cap T\right)=p_{\overline{M}}(T)\times p\left(\overline{M}\right)=\dfrac{1}{20}\times \dfrac{99}{100}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{99}{\numprint{2000}}}}$.\\

\item %Calculer $p(T)$.
Calculos $p(T)$.\\
D'après la formule des probabiités totales :\\
$p(T)=p_M(T)\times p(M)+p_{\overline{M}}(T)\times p\left(\overline {M}\right)=\dfrac{9}{1000}+\dfrac{99}{2000}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{117}{\numprint{2000}}}}$.
\end{enumerate}

\item %Quelle est la probabilité qu'une personne soit réellement atteinte par cette maladie sachant que son test est positif ?
La probabilité qu'une personne soit réellement atteinte par cette maladie sachant que son test est positif est $p_T(M)=\dfrac{p(M \cap T)}{p(T)}=\dfrac{\frac9{1000}}{\frac{117}{2000}}=\dfrac{18}{117}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{13}}}$

\item %Quelle est la probabilité qu'une personne ne soit pas atteinte par cette maladie sachant que son test est positif ?
La probabilité qu'une personne ne soit pas atteinte par cette maladie sachant que son test est positif est :\\
$p_{T}(\overline{M})=1-p_T(M)=1-\dfrac{2}{13}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{11}{13}}}$.

\item %Quelle est la probabilité qu'une personne soit  atteinte par cette maladie sachant que son test est négatif ?
La probabilité qu'une personne soit  atteinte par cette maladie sachant que son test est négatif est :\\
$p_{\overline{T}}(M)=\dfrac{p\left(M\cap \overline{T}\right)}{p\left(\overline{T}\right)}=\dfrac{p_M\left(\overline{T}\right)\times p(M)}{1-p(T)}=\dfrac{\frac1{1000}}{\frac{1883}{2000}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{\numprint{1883}}}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $a\geq 1$ un nombre réel. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=a$ et $ u_{n+1}=\frac12\left(\frac a{u_n}+u_n\right)$.\\
%On désire calculer une valeur approchée de $\sqrt{a}$ (méthode de Héron d'Alexandrie, mathématicien grec du 1\ier{} siècle après J.C.).\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Première partie}}\\

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables.\\
$\forall x>0$, $f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(1+a\times \left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{x^{2}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{2}-a}{x^{2}}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(x-\sqrt{a}\right)\left(x+\sqrt{a}\right)}{x^{2}}}}$.\\
$\dfrac{1}{2}>0$, $x^{2}>0$, $x+\sqrt{a}>0$, donc $f'(x)$ est du signe de $\textcolor{red}{x-\sqrt{a}}$, c'est-à-dire positif pour $x\geqslant \sqrt{a}$ et négatif pour $x\leqslant \sqrt{a}$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}x=0$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(\dfrac{a}{x}\right)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)=+\infty}}$.\\

$\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{a}{x}\right)=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.\\

$f\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{a}{\sqrt{a}}\right)=\dfrac{1}{2}(\sqrt{}+\sqrt{a})=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{a}}}$.\\

On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&0&&\sqrt{a}&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{\pI}&\d&\sqrt{a}&\c&\h{\pI}\\
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire que, pour tout $x\in\left[\sqrt{a}~;~a\right]$ : $f(x)\in\left[\sqrt{a}~;~a\right]$.
Comme $a\geqslant 1$, on a $\sqrt{a}\leqslant a$.\\
Sur l'intervalle $[\sqrt{a}~;~a]$, $f$ est croissante, donc $f\left(\sqrt{a}\right)\leqslant f(a)$.\\
$f\left(\sqrt{a}\right)=\sqrt{a}$.\\
$f(a)=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{a}{a}\right)=\dfrac{a+1}{2}$.\\

Montrons que $f(a)\leqslant a$.\\
$a-f(a)=a-\dfrac{a+1}{2}=\dfrac{a-1}{2}\geqslant 0$ (car $a\geqslant 1$) donc $f(a)\leqslant a$.\\
Pour $\sqrt{a}\leqslant x\leqslant a$, on a donc $\sqrt{a}\leqslant f(x)\leqslant f(a)\leqslant a$, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)\in\left[\sqrt{a}~;~a\right]}}$.

\item 

\begin{enumerate}

\item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
Montrons par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\sqrt{a}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant a$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} $u_{0}=a$ ; $u_{1}=f\left(u_{0}\right)=f(a)\leqslant a$ donc $\sqrt{a}\leqslant u_{1}\leqslant u_{0}\leqslant a$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : Supposons $\sqrt{a}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant a$ pour un $n$ quelconque.\\
Sur $\left[\sqrt{a}~;~+\infty\right[$, $f$ est croissante, donc $\sqrt{a}\leqslant f\left(u_{n+1}\right)\leqslant f\left(u_{n}\right)\leqslant f(a)\leqslant a$, donc $\sqrt{a}\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant a$.\\
La propriété est donc \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, pour tout $n$, $\sqrt{a}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant a$.\\
La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc décroissante.

\item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée par $\sqrt{a}$.
On a montré dans la question précédente que $\sqrt{a}\leqslant u_{n}$ pour tout $n$, donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée par $\sqrt{a}$.

\item %En déduire que la suite $\left(u_{n }\right)$ est convergente.
La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée, donc \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers une limite $\ell$.
\end{enumerate}

\item %Calculer sa limite.\\
$f$ est continue, donc $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$.\\
$f(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right)=x\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}+a}{2x}=x\Leftrightarrow x^{2}+a=2x^{2}\Leftrightarrow x^{2}=a\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{a}$, donc $\ell=\pm\sqrt{a}$.\\
La suite étant positive (facile à montrer par récurrence), la limite est $\boxed{\textcolor{red}{\ell=\sqrt{a}}}$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Deuxième partie : vitesse de convergence}}\\

\noindent On prend désormais $\mathbf{a=2}$ et on pose $v_{n}=u_{n}-\sqrt{2}$.\\
\emph{$v_{n}$ mesure donc l'écart entre $u_{n}$ et $\sqrt{2}$}.

\begin{enumerate}

\item %Montrer que $v_{n+1}=\frac{v_n^2}{2u_n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{u_{n}+2}\right)-\sqrt{2}=\dfrac{2+u_{n}^{2}}{2u_{n}}-\sqrt{2}=\dfrac{2+u_{n}^{2}-2\sqrt{2}}{2u_{n}}\\
=\dfrac{u_{n}^{2}-2\sqrt{2}u_{n}+2}{2u_{n}}=\dfrac{\left(u_{n}-\sqrt{2}\right)^{2}}{2u_{n}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{v_{n}^{2}}{2u_{n}}}}$.

\item %Prouver par récurrence que $v_n\leq \frac 1{2^{2^n}}$ pour tout entier $n\geq 1$.
Montrons par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$, $v_n\leq \frac 1{2^{2^n}}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $v_{1}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2v_{0}}=\dfrac{\left(u_{0}-\sqrt{2}\right)^{2}}{2u_{0}}=\dfrac{(2-\sqrt{2})^{2}}{4}=\dfrac{6-4\sqrt{2}}{4}=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2}\approx 0,09$.\\
$\dfrac{1}{2^{2^{1}}}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}=0,25$ donc $v_{1}\leqslant \dfrac{1}{2^{2^{1}}}$.\\
La propriété est vraie au rang $1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : supposons la propriété vraie à un rang $n$ quelconque.\\
Par conséquent : $v_{n}\leqslant \dfrac{1}{2^{2^{n}}}$.\\
Alors : $v_{n+1}=\dfrac{v_{n}^{2}}{2u_{n}}=\dfrac{1}{2u_{n}}\times v_{n}^{2}$.\\
$v_{n}^{2}\leqslant \left(\dfrac{1}{2^{2^{n}}}\right)^{2}=\dfrac{1}{2^{(2^{n}\times 2}}=\dfrac{1}{2^{2^{n+1}}}$.\\
On sait d'après la première partie que $u_{n}\geqslant \sqrt{2}$, donc $2u_{n}\geqslant 2\sqrt{2}\geqslant 1$ donc $\dfrac{1}{2u_{n}}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\leqslant 1$.\\
On en déduit, par produit : $v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2^{2^{n+1}}}$.\
La propriété est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %Majorer l'écart entre $u_3$ et $\sqrt{2}$ par une puissance de $10$.
%¿ l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'itérations on est s˚r que $u_{n}$ est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-9}$ près.
À la calculatrice, on cherche une valeur de $n$ telle que $\dfrac{1}{2^{2^{n}}}\leqslant 10^{-9}$. \\
On trouve que $\dfrac{1}{2^{2^{5}}}\approx 2,3\times 10^{-10}$.\\
\textcolor{red}{On est donc sûr que $u_{5}$ est  une approximation de $\sqrt{2}$ à $10^{-9}$ près.}\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on dit que la vitesse de convergence est quadratique : le nombre de décimales exactes double environ à chaque itération.\\
Cette suite est due au mathématicien Héron d'Alexandrie (1\ier{} siècle après J.C.)
%\item Donner une valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n$ approche $\sqrt{2}$ avec au moins 1000 décimales exactes. $\left(v_n<10^{-1000}\right)$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  