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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TD : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Avec une suite auxiliaire }}%math'x page 122



Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{1}{2}x+3$ et la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=-5$, et 
pour tout $n\geqslant 0$, \[u_{n+1} = f\left(u_n\right)\].
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $y=x$.

\begin{enumerate}

\item %Construire $\mathscr{C}_f$ et $\Delta$ dans un repère, avec \\
%$-6\leqslant x\leqslant 8$ et $-1\leqslant y\leqslant 8$.

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\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-1.1)(8.1,8.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{8}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-6.1,-1.1)(8.1,8.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-5,0)(-5,0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(-5,0)(-5,0.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-5,0.5)(0,0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(-5,0.5)(0,0.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,0.5)(0.5,0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,0.5)(0.5,0.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.5,0.5)(0.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0.5,0.5)(0.5,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.5,0)(0.5,3.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0.5,0)(0.5,3.25)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.5,3.25)(0,3.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0.5,3.25)(0,3.25)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,3.25)(3.25,3.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,3.25)(3.25,3.25)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(3.25,3.25)(3.25,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(3.25,3.25)(3.25,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(3.25,0)(3.25,4.625)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(3.25,0)(3.25,4.625)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(3.25,4.625)(0,4.625)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(3.25,4.625)(0,4.625)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,4.625)(4.625,4.625)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,4.625)(4.625,4.625)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4.625,4.625)(4.625,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(4.625,4.625)(4.625,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4.625,0)(4.625,5.3125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(4.625,0)(4.625,5.3125)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4.625,5.3125)(0,5.3125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(4.625,5.3125)(0,5.3125)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,5.3125)(5.3125,5.3125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,5.3125)(5.3125,5.3125)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(5.3125,5.3125)(5.3125,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(5.3125,5.3125)(5.3125,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(5.3125,0)(5.3125,5.65625)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(5.3125,0)(5.3125,5.65625)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(5.3125,5.65625)(0,5.65625)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(5.3125,5.65625)(0,5.65625)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,5.65625)(5.65625,5.65625)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,5.65625)(5.65625,5.65625)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(5.65625,5.65625)(5.65625,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(5.65625,5.65625)(5.65625,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(5.65625,0)(5.65625,5.82812)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(5.65625,0)(5.65625,5.82812)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(5.65625,5.82812)(0,5.82812)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(5.65625,5.82812)(0,5.82812)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,5.82812)(5.82812,5.82812)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,5.82812)(5.82812,5.82812)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(5.82812,5.82812)(5.82812,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(5.82812,5.82812)(5.82812,0)
\def\F{x 2 div 3 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=1pt]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{8}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](-5,0){ $u_0$}
\uput[180](0,0.5){ $u_1$}
\uput[-90](0.5,0){ $u_1$}
\uput[180](0,3.25){ $u_2$}
\uput[-90](3.25,0){ $u_2$}
\uput[180](0,4.625){ $u_3$}
\uput[-90](4.625,0){ $u_3$}
\uput[180](0,5.3125){ $u_4$}
\uput[-90](5.3125,0){ $u_4$}
\uput[180](0,5.65625){ $u_5$}
\uput[-90](5.65625,0){ $u_5$}
\uput[180](0,5.82812){ $u_6$}
\uput[-90](5.82812,0){ $u_6$}
\end{pspicture*}




\item %Construire à l'aide du graphique précédent les premiers termes de la suite sur \textbf{l'axe des abscisses}.\\ 
Les termes de la suite sont construits sur le graphique précédent.

%Conjecturer le sens de variation et la limite de $\left(u_n\right)$.
On conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante t convergente vers 6 (abscisse du point d'intersection de $\mathscr{C}$) et de $\Delta$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) =\alpha$ (point fixe de $f$).
$f(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x+3=x\Leftrightarrow 3=\dfrac{1}{2}x\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=6}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\alpha=6}}$.

\item %Que représente $\alpha$ graphiquement ? 
$\alpha$ est l'abscisse eu point d'intersection de $\mathscr{C}$ et de $\Delta$.
\end{enumerate}

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v _n = u_n - \alpha$, pour tout $n\in\mathbb{N}$.\

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique.\\
%Indication : \emph{on pourra utiliser $f(\alpha)=\alpha$, c'est-à-dire $\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+3$}.
$\forall n\in\mathbb{N},~v_{n+1}=u_{n+1-\alpha}=\dfrac{1}{2}u_n+3-\left(\frac12\alpha+3\right)=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{1}{2}\alpha=\dfrac{1}{2}\left(u_n-\alpha\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}v_n}}$ donc, pou tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n}}$.\\
La suite $\left(n\right)$ est donc géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.\\
Le premier terme est $v_0=u_0-\alpha=-5-6=-11$.

\item %En déduire $v_n$ en fonction de $n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 
$\forall n\in\mathbb{N},~~v_n=v_0q^n=-11\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.\\
Or $v_n=u_n-\alpha$ donc $u_n=\alpha+v_n=6-11\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=6-11\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}}$

\end{enumerate}

\item %Démontrer alors les conjectures faites à la question 2. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $0<q=\dfrac{1}{2}<1$ donc $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ est décroissante, d'où $-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ est croissante et donc $6-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ est croissante.

\item $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=6}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Déclic \no 77page 36
La suite $u$ est définie par $u_n=\dfrac{2n^2-3\sin n}{n^2+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item %Donner une valeur approchée de $u_{10}$ et de $u_{100}$.
$\boxed{\textcolor{red}{u_{10}\approx 1,996 }}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_{100}\approx 1,9995}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{2n^2+3}{n^2+1}$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $-1\leqslant \sin n\leqslant 1$ donc. $-3\leqslant -3\sin n\leqslant 3$ d'où $2n^3-3\leqslant 2n^2-3\sin n\leqslant 2n^2+3$ et en divisant par $n^2+1$ positif : 
\[\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{2n^2+3}{n^2+1}.\]

\item %En déduire la limite de la suite $u$.
$\forall n\neq 0,~\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}=\dfrac{n^2\left(2-\frac3{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac1{n^2}\right)}=\dfrac{2-\frac3{n^2}}{1+\frac1{n^2}}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2-\frac3{n^2}\right)=2$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac1{n^2+1}\right)=1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\right)=2$.\\
De même, $\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}=\dfrac{2+\frac3{n^2}}{1+\frac1{n^2}}$ en factorisant par $n^2$ au numérateur et au dénominateur auteur puis en simplifiant, d'où $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}\right)=2$.\\
En appliquant le théorème des gendarmes, on o
obtient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=2}}$
\end{enumerate}

\item %Justifier que, pour tout entier $n$ : \[\dfrac{-5}{n^2+1}\leqslant u_n-2\leqslant \dfrac{1}{n^2+1}.\]
Pour tout $n$, $\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{2n^2+3}{n^2+1}$ donc, en soustrayant 2 :\\
$\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}-2\leqslant u_n-2\leqslant \dfrac{2n^2+3}{n^2+1}-2$ donc 
\[\dfrac{-5}{n^2+1}\leqslant u_n-2\leqslant \dfrac{1}{n^2+1}.\]

\item %À partir de quel rang $N$ sommes-nous certains que pour tout $n\geqslant N$, la distance entre $u_n$ et 2 est inférieure ou égale à $10^{—2}$ ?
L'inégalité précédente donne $\left\vert u_n-2 \right\vert\leqslant \dfrac{1}{n^2+1}$.\\
On cherche $n$ tel que $\dfrac{1}{n^2+1}\leqslant 10^{-2}=\dfrac{1}{100}$.\\
On en déduit, en appliquant la fonction inverse : $n^2+1\geqslant 100$ donc $n^2+1\geqslant 100$ d'où $n^2\geqslant 99$ qui donne $n\geqslant 10$.\\
Nous sommes certains que la distance entre $u_n$ et 2 est inférieure à $10^{-2}$ pour $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 10}}$.

\item %A-t-on $u_n\leqslant 2$ pour tout entier $n\in\mathbb{N}$ ?
Cherchons s'il existe des valeurs de $n$ telles que $u_n>2$.\\
$u_n>2\Leftrightarrow \dfrac{2n^2-3\sin n}{n^2+1}>2\Leftrightarrow \dfrac{2n^2-3\sin n}{n^2+1}-2>0\Leftrightarrow \dfrac{2n^2-3\sin n-2\left(n^2+1\right)}{n^2+1}>0\Leftrightarrow \dfrac{-3\sin n-2}{n^2+1}>0\Leftrightarrow -3\sin n-2>0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\sin n<-\dfrac{2}{3}}}$.\\
On fait un tableau de valeurs à la calculatrice; on voit que $n=4$ est solution, donc $u_n$ n'est pas toujours supérieur à 2.

\end{enumerate}


\subsection{}%Bac Asie joint 2013
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ : 
%
%\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] 
% 
%On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
\emph{Initialisation} : la relation est vraie au rang $0$ ;

\emph{Hérédité} : supposons qu'il existe un naturel $p$ tel que $u_{p} > 1$.

$\dfrac{1 + 3u_{p}}{3 + u_{p}} = \dfrac{3 + u_{p} - 2 + 2u_{p}}{3 + u_{p}} =  \dfrac{\left(3 + u_{p}\right) + \left(2u_{p} - 2\right)}{3 + u_{p}} = 1  + 2\dfrac{u_{p} - 1}{3 + u_{p}}$.

Par hypothèse de récurrence on a :

$u_{p} - 1$ et comme $u_{p} > 1,\, 3 + u_{p} > 4 > 0$ donc son inverse $\dfrac{1}{3 + u_{p}} > 0$ et finalement $\dfrac{u_{p} - 1}{3 + u_{p}} > 0$, c'est-à-dire que $u_{p+1} = \dfrac{1 + 3u_{p}}{3 + u_{p}} > 1$

Conclusion : on a démontré par récurrence que quel que soit le naturel $n,\, u_{n} > 1$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
Quel que soit le naturel $n$, \, $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}} - u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n} - 3u_{n}- u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{1 - u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.	
		\item %Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
On sait que quel que soit le naturel $n$, \, $u_{n} > 1 \Rightarrow u_{n}^2 > 1^2 \Rightarrow 1 - u_{n}^2 < 0$ et comme $3 + u_{n} > 0$ et finalement $u_{n+1}  - u_{n} < 0$ ce qui signifie que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

  %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $1$ : elle converge vers une limite supérieure ou égale à $1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
%
%\[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]
% 
%On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

%On considère l'algorithme suivant :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c |l|}\hline
% Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
%Initialisation &Affecter à $u$ la valeur 2\\ \hline 
%\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à $n$\\ 
%&\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
%&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
%&FIN POUR\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% 
%Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&0,800&1,077&0,976\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
\item %Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
%$u$&\footnotesize\np{1,0083}&\footnotesize\np{0,9973}&\footnotesize\np{1,0009}&\footnotesize\np{0,9997}&\footnotesize\np{1,0001}&\footnotesize \np{0,99997}&\footnotesize\np{1,00001}&\footnotesize \np{0,999996}&\footnotesize \np{1,000001}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini.
Il semble que la suite converge vers $1$ par valeurs alternativement supérieures et inférieures. 
\item %On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
$V_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1} = \dfrac{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} - 1}{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} + 1}  = \dfrac{0,5 - 0,5u_{n}}{1,5 + 1,5u_{n}} = \dfrac{- 0,5\left(u_{n} - 1\right)}{1,5\left(u_{n} + 1 \right)} = -\dfrac{1}{3}v_{n}$.

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
		\item %Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
On a $v_{0} = \dfrac{2 - 1}{2 + 3} = \dfrac{1}{3}$.

On sait qu'alors pour tout naturel $n,\, v_{n} = \dfrac{1}{3}\times \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
		Quel que soit le naturel $n$, \, $\left(- \dfrac{1}{3} \right)^n \leqslant 1$, donc $v_{n} \leqslant \dfrac{1}{3}$ et par conséquent $v_{n}\neq 1$.  
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
$v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1} \iff v_{n}\left(u_{n} + 1 \right) = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} + v_{n} = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} - u_{n}+  =  - 1  - v_{n} \iff u_{n}\left(v_{n} - 1\right) = - 1  - v_{n}$ et comme $v_{n} \neq 1$, 

$u_{n} = \dfrac{- 1 - v_{n}}{v_{n} - 1} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Comme $- 1 < - \dfrac{1}{3} < 1$, on sait que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n = 0$, soit  $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$, donc d'après le résultat précédent $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n} = \dfrac{1}{1} = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{\og{}un peu plus difficile\fg{}}}%http://xmaths.free.fr/TS/exos/TSsuitexE4.pdf
%correction : http://xmaths.free.fr/corrections/rWnzQDB553.pdf




On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par : \\
$u_0= 2$   et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $      v_n=\dfrac{2}{u_n}$     et     $u_{n+1}=\dfrac{u_n+ v_n}{2}$
\begin{enumerate}
\item %Calculer $v_0$~;~$u_1$~;~$v_1$~;~$u_2$~;~$v_2$.\\
%Donner les résultats sous forme de fraction irréductible.
On a : $v_0=\dfrac{2}{u_0}=\dfrac{2}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1}}$ ; $u_1=\dfrac{u_0+v0}{2}=\dfrac{2+1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}}$ ; $v_1=\dfrac{2}{u_1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}}$\\
$u_2=\dfrac{u_1+v_1}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{17}{12}}}$ ; $v_2=\dfrac{2}{u_2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{34}{17}}}$

\item %En utilisant un tableur ou une calculatrice, donner un tableau de valeurs décimales approchées de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ variant de 1 à 5.
Tableau de valeurs :

\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{l|}}\hline
n&u_n&v_n\\
\hline
1&\numprint{1,500000000000}&\numprint{1,333333333333}\\
\hline
2&\numprint{1,416666666667}&\numprint{1,411764705882}\\
\hline
3&\numprint{1,414215686275}&\numprint{ 1,414211438475}\\
\hline
4&\numprint{1,414213562375}&\numprint{1,414213562372}\\
\hline
5&\numprint{1,414213562373}&\numprint{1,414213562373} \\
\hline
\end{array}$

\end{center}
\item %Démontrer que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont majorées par 2 et minorées par 1.
 Soit $P_n$ la proposition :  $1\leqslant 2$    et    $1\leqslant vn\leqslant 2$.\\
 Effectuons une démonstration par récurrence :
 \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On a   $u_0= 2$   donc   $1\leqslant u_0\leqslant  2$     et on a     $v_0= 1$    donc    $1 \leqslant v_0\leqslant 2$.\\
Donc $P_0$ est vraie.

\item Supposons que $P_n$ est vraie pour un entier naturel $n$ fixé quelconque.\\
On a alors   $1 \leqslant u_n\leqslant  2$    et    $1 \leqslant v_n\leqslant 2$.\\
On en déduit, par somme :    $2 \leqslant u_n+ v_n\leqslant 4$    donc    $1 \leqslant \dfrac{u_n+ v_n}{2}\leqslant 2$   c'est-à-dire    $1\leqslant u_{n+1}\leqslant  2$.\\
La fonction inverse est dé décroissante sur $]0~;~+\infty[$, donc $\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{u_{n+1}}\leqslant 1$ donc $1\leqslant v_{n+1}=\dfrac{2}{u_{n+1}}\leqslant 2$ donc $1\leqslant v_{n+1}\leqslant 2$ .\\`
La propriété $P_n$ est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{1\leqslant u_n\leqslant 2}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{1\leqslant v_n\leqslant 2}}$.

\item %Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$,   \[u_{n+1}- v_{n+1}=\dfrac{\left(u_n- v_n\right)^2}{2\left(u_n+ v_n\right)}\hspace{1cm}(1).\]
%\emph{on pourra remarquer que, pour tout $n$, $\left(v_n\right)$, on a $u_nv_n=2$}
Puisque $v_n=\dfrac{2}{u_n}$, on a $u_nv_n=2$.\\
Alors, pour tout $n$ :\\
$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{2}{u_{n+1}}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{2}{\dfrac{u_n+v_n}{2}}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{4}{u_n+v_n}=\dfrac{\left(u_n+v_n\right)^2-8}{2\left(u_n+v_n\right)}=\dfrac{\left(u_n+v_n\right)^2-4u_nv_n}{2\left(u_n+v_n\right)}$ (car $u_nv_n=2\Rightarrow 4u_nv_n=8$)\\
$=\dfrac{u_n^2+2u_nv_n+v_n^2-4u_nv_n}{2\left(u_n+v_n\right)}=\dfrac{u_n^2-2u_nv_n+v_n^2}{2\left(u_n+v_n\right)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\left(u_n-v_n\right)^2}{2\left(u_n+v_n\right)}}}$.

\item %Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$,  $u_n\geqslant v_n$.
Montrons par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$,  $u_n\geqslant v_n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=2$ et $v_0=1$ donc $u_0\geqslant v_0$ ; la propriété est vraie au rang $n=0$.

\item On suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque, donc $u_n-v_n\geqslant 0$.\\
D'après la question. précédente, $u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{\left(u_n-v_n\right)^2}{2\left(u_n+v_n\right)}\geqslant 0$, car le numérateur est positif (carré d'un rééel) et $2\left(u_n+v_n\right)>0$ puisque $u_n\geqslant 1$ et $v_n\geqslant 1$.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n\geqslant v_n}}$.

\item %Montrer que  $\left(u_n\right)$ est décroissante et $\left(v_n\right)$ croissante.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n=\dfrac{v_n-u_n}{2}\leqslant 0$ puisque $u_n\geqslant v_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.\\

\bigskip

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}-v_n=\dfrac{2}{u_{n+1}}-\dfrac{2}{u_n}=\dfrac{2\left(u_n-u_{n+1}\right)}{u_n\times u_{n+1}}\geqslant 0$ puisque $u_n\geqslant u_{n+1}$ et $u_n>0$ et $v_n>0$.\\
La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.

\item %Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n-v_n\leqslant 1$   et en  déduire que   $\left(u_n-v_n\right)^2\leqslant u_n- v_n$.     (2)
On a : $1\leqslant u_n\leqslant 2$ et $1\leqslant v_n\leqslant 2$ donc $-2\leqslant -v_n\leqslant -1$.\\
Par somme : $1+(-2)\leqslant u_n+\left(-v_n\right)=u_n-v_n\leqslant 2+(-1)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{u_n-v_n\leqslant 1}}$.\\

On a : $0\leqslant u_n-v_n\leqslant 1$ ; or, si $0\leqslant x\leqslant 1$, $x^2\leqslant x$ puisque $x^2-x=x(x-1)\leqslant 0$ car $x\geqslant 0$ et $x-1\leqslant 0$.\\
On en déduit : $\left(u_n-v_n\right)^2\leqslant u_n- v_n$.

\item %Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[u_{n+1}-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{4}\left(u_n-v_n\right)\]  (on pourra utiliser les relations (1) et (2) ).\\
%En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n-v_n\leqslant \dfrac{1}{4^n}$.
On a : $u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{\left(u_n-v_n\right)^2}{2\left(u_n+v_n\right)}\leqslant \dfrac{u_n-v_n}{2\left(u_n+v_n\right)}$ puisque $\left(u_n-v_n\right)^2\leqslant \left(u_n-v_v\right)$.\\
Or $u_n\geqslant 1$ et $v_n\geqslant 1$ donc $u_n+v_n\geqslant 2$ donc $2\left(u_n+v_n\right)\geqslant 4$.\\
On en déduit : $\dfrac{u_n-v_n}{2\left(u_n+v_n\right)}\leqslant \dfrac{1}{4}\left(u_n-v_n\right)$.\\
Par conséquent : $u_{n+1}-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{4}\left(u_n-v_n\right)$.

\bigskip

Soit $P'_n$ la proposition : $u_n-v_n\leqslant \dfrac{1}{4^n}$.\\
Effectuons une démonstration par récurrence :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_o-v_0=1$ et $\dfrac{1}{4^0}=1$ donc $P'_0$ est vraie.

\item Hérédité : on suppose que $P'_n$ est vraie pour $n$ quelconque, donc $u_n-v_n\leqslant \dfrac{1}{4^n}$.\\
Alors = $u_{n+1}-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{4}\left(u_n-v_n\right)\leqslant \dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4^n}=\dfrac{1}{4^{n+1}}$ cqfd.
$P'_n$ est héréditaire
\end{enumerate}
On en déduit que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n-v_n\leqslant \dfrac{1}{4^n}}}$.

\item %Montrer que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont convergentes et qu'elles ont la même limite $\ell$.
$\left(u_n\right)$ est décroissante minorée par 1, donc convergente. vers un réel $\ell$.\\
$\left(v_n\right)$ est croissante majorée par 2, donc convergente. vers un réel $\ell'$.\\
On en déduit que $u_n-v_n$ converge vers $\ell-\ell'$.\\
Or $0\leqslant u_n-v_n\leqslant \dfrac{1}{4^n}$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{4^n}\right)=0$ car $\lim_{n\rightarrow +\infty}4^n=+\infty$ puisque 4>1.\\
D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n-v_n\right)=0$ ; on en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\ell=\ell'}}$.\\
Puisque $v_n=\dfrac{2}{u_n}$, on a $\ell=\dfrac{2}{\ell}$ d'où $\ell^2=2$ ; les suites étant positives, $\ell>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell=\sqrt{2}}}$.

\item %Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ? 
Il est clair (par récurrence) que les termes $u_n$ et $v_n$ sont rationnels ; or la limite de ces deux suites, $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel, donc une suite de rationnels peut avoir pour limite un nombre irrationnel !

\end{enumerate}

%Barème : 
%I : 0,5~;~0 75~;~0,5~;~0,25~;~1~;~1~;~1\\
%II : 0,5~;~1~;~1~;~1~;~0,5~;~1

\label{fin}
\end{document}  