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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle \no 1\\(1 heure)} }\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n\geqslant 2$, 
\[\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\times \cdots\times \left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\]

%\subsection{}
%Démontrer que, pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $6^n-1$ est un multiple de 5.

\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}
Calculer, en justifiant, les limites des suites $\left(u_n\right)$ définies par : 
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{2n^2-3n+2}{1-n}$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n}{n+1}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n^2+1}$

\bigskip

\item $u_n=5^n-4^n$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
On pose $u_1=\dfrac{1}{2}$ et pour tout n non nul $u_{n+1} =\dfrac{n+1}{2n}u_n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$, $u_3$,  $u_4$.

\item On pose $v_n =\dfrac{u_n}{n}$ pour $n$ non nul.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ avec $n$ non nul.

\item   On admet que $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{2^n}{n}=+\infty$ ; en déduire la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}
$u$ et $v$ sont deux suites définies par $u_0 = 20$, $v_0 =60$ et pour tout nombre entier naturel $n$, 
\[u_{n+1}=\dfrac{2u_n+v_n}{4}\text{ et }v_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}{4}\]

\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que les suites $u+v$ et $v-u$ sont géométriques.

\item Exprimer $u_n + v_n$ et $v_n -u_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire l'expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.

\item Déterminer la limite chaque suite $u$ et $v$.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  