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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle (suites, limites de fonctions, géométrie dans l'espace)\\(durée : 2 heures)}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}

\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*,~(n+1)^2(n+4)=n^3+6n^2+9n+4$.

\item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on note : $S_n=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\dots+\dfrac{1}{n\times (n+1)\times (n+2)}$.\\
Démontrer par récurrence que pour tout $n\geqslant 1$ : \[S_n=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3 \times 4}+\dots+\dfrac{1}{n\times (n+1)\times (n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\]

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}
$\mathscr{C}_f$ désigne la courbe représentative d'une fonction $f$. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et \textbf{justifier} rapidement par une propriété ou un contre-exemple, éventuellement graphique.

\begin{enumerate}
%\item Si la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.

\item Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-5$, alors $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote horizontale.

\item Si $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=2$, alors l'équation $f(x)=2$ n'a pas de solution.

%\item Si $f$ n'est pas définie en 0, alors $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote d'équation $x=0$.

\item Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$, alors $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$.

\item Si pour tout réel de $]0~;~+\infty[$, $\dfrac{1}{-x^2+1}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{x}$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$.

\item Si, pour tout réel $x$ de $]-\infty~;~0[$, $x^3+1\leqslant f(x)$, alors $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$.

\item Si $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ et si $f$ est telle que, pour tout réel $x\geqslant 0$, $0\leqslant f(x)\leqslant \sqrt{x}$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$
\end{enumerate}


%\subsection{}
%http://mathematiques.daval.free.fr/spip.php?article167

%\subsection{}
%http://www.matheclair.fr/lycee/2nde/controles_seconde.htm


%\subsection{}
%https://www.math93.com/images/pdf/Seconde/td/Td_Seconde_Geometrie_espace.pdf
%Correction : https://www.math93.com/images/pdf/Seconde/td/Td_Seconde_Geometrie_espace-corr.pdf




\subsection{\textcolor{blue}{Calcul de limites} }
Déterminer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
%\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(-2x^3+2x^2-4\right)$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{x}{2+3x^2}\right)$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{9x^2+1}{x^2-4x+5}\right)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}\left(\dfrac{x}{4-x^2}\right)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ?}}
\noindent On considère une suite $\left(u_n\right)$ positive et la suite $\left(v_n\right)$ définie par : pour tout $n\in\mathbb{N},~v_n=\dfrac{u_n}{1+u_n}$.\\Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant v_n\leqslant 1$.

\item Si la suite $\left(u_n\right)$ est convergente, alors la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.

\item Si la suite $\left(u_n\right)$ est croisante, alors $\left(v_n\right)$ est croissante.

\item Si la suite $\left(v_n\right)$ est convergente, alors la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\end{enumerate}

\subsection{}%Déclic \no  23 page 274
\parbox{10cm}{On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et K sont respectivement les milieux des segments [BF], [EH] et [HD].\\
Dans chaque cas, donner la position relative des droites ou plans considérés :

\begin{enumerate}[a)]
\item les droites (DG) et (EA)

\item les droites (JK) et (ED)

\item le plan (EFC) et la droite (JK)

%\item les plans (EKG) et (AIC)
%
%\item le plan (BCK) et la droite (EI)

\item les plans (GHK) et (AIC)

%\item le plan (AIC) et la droite (FG)

\item les droites (FK) et (BD)
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{7cm}{
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.7,3.5)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.3,1.)(3.3,1.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,1.)(2.,0.)
\psline[linewidth=1pt](2.,0.)(0.,0.)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0.,0.)(1.3,1.)
\psline[linewidth=1pt](0.,0.)(0.,2.)
\psline[linewidth=1pt](2.,0.)(2.,2.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,1.)(3.3,3.)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.3,1.)(1.3,3.)
\psline[linewidth=1pt](1.3,3.)(3.3,3.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,3.)(3.3,3.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,3.)(2.,2.)
\psline[linewidth=1pt](2.,2.)(0.,2.)
\psline[linewidth=1pt](1.3,3.)(0.,2.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](0.,0.)
\rput[bl](-0.15111561107583865,0.04389011224474655){\ududff{D}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](3.3,1.)
\rput[bl](3.340440259246677,1.0877573312071467){\ududff{B}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2.,0.)
\rput[bl](1.7926371414748403,0.10688209959592587){\ududff{C}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.3,1.)
\rput[bl](1.3336955193448188,1.0877573312071467){\ududff{A}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](0.,2.)
\rput[bl](-0.18711103241936974,1.8436611794212985){\ududff{H}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2.,2.)
\rput[bl](2.0985982228948545,1.8886554561007123){\ududff{G}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](3.3,3.)
\rput[bl](3.340440259246677,3.085503215773119){\ududff{F}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.3,3.)
\rput[bl](1.3336955193448188,3.085503215773119){\ududff{E}}
\psdots[dotscale=2,dotstyle=x,linecolor=darkgray](0.,1.)
\rput[bl](0.037860350977699575,1.0697596205353812){\darkgray{K}}
\psdots[dotscale=2,dotstyle=x,linecolor=darkgray](0.65,2.5)
\rput[bl](0.6857779351612592,2.5725684616278017){\darkgray{J}}
\psdots[dotscale=2,dotstyle=x,linecolor=darkgray](3.3,2.)
\rput[bl](3.340440259246677,2.0686325628183675){\darkgray{I}}
\end{pspicture*}}


\subsection{}%Déclic \no 29 page 275
\parbox{10cm}{On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et K sont respectivement les milieux des segments [EF], [EH] et [HD].

\begin{enumerate}
\item Préciser les intersections du plan (IJK) avec les plans (EFG) et (AED).

\item Les droites (JK) et (AE) sont sécantes en un point L. Justifier que les plans (IJK) et (AEB) sont sécants selon la droite (IL).

\item Montrer que les plans (IJK) et (CDG) sont sécants selon une droite parallèle à la droite (IL).


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Question bonus}} : En déduire la section du cube par le plan (IJK)}\hfill
\parbox{7cm}{
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.7,6)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.3,1.)(3.3,1.)
\psline[linewidth=1pt](3.3,1.)(2.,0.)
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\psline[linewidth=1pt](1.3,3.)(0.,2.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](0.,0.)
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%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](3.3,3.)
\rput[bl](3.340440259246677,3.085503215773119){\ududff{F}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.3,3.)
\rput[bl](1.3336955193448188,3.085503215773119){\ududff{E}}
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\rput[bl](0.037860350977699575,1.0697596205353812){\darkgray{K}}
\psdots[dotscale=2,dotstyle=x,linecolor=darkgray](0.65,2.5)
\rput[bl](0.6857779351612592,2.5725684616278017){\darkgray{J}}
\psdots[dotscale=2,dotstyle=x,linecolor=darkgray](2.3,3)
\uput[u](2.3,3){$I$}
\end{pspicture*}}
\label{fin}
\end{document}  