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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur les suites \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Critère de croissance pour une suite positive}}
Soit une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout $n$, $u_n>0$.\\
Montrer alors que la suite est croissante si, et seulement si, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$

\subsection{}
Définition : Pour $n\in\mathbb{N}^{*}$, on appelle factorielle $n$, notée $n!$ le nombre défini par \[n!=1\times 2\times 3\times \cdots\times n\]
On pose $0!=1$.\\
Ainsi : $0!=1$~;~$1!=1$~;~$2!=1\times 2=2$~;~$3!=1\times 2\times 3=6$~;~$4!=\times 4=24$ etc.
\begin{enumerate}
\item Pour $n$ quelconque, exprimer $(n+1)!$ en fonction de $n!$.

\item Montrer que la suite $n!$ est strictement croissante pour $n\geqslant 1$
\end{enumerate}

\subsection{}
$(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont deux suites croissantes ; la suite 
$(u_{n}+v_{n})$ est-elle croissante ?


\subsection{\textcolor{blue}{D'après Bac Polynésie juin 2013}}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.


\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} $. 
\end{enumerate}



\item Démontrer de même que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} < 1$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 


\item  On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. Conjecturer la limite à l'aide d'une calculatrice.

\end{enumerate}


\item Soit$\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \dfrac{ u_{n}}{1-u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 3. 


\item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_{n}$ en fonction de $n$. 



\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1}$.


\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\setcounter{subsection}{0}
\vspace{1cm}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur les suites \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
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\subsection{\textcolor{blue}{Critère de croissance pour une suite positive}}
Soit une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout $n$, $u_n>0$.\\
Montrer alors que la suite est croissante si, et seulement si, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$

\subsection{}
Définition : Pour $n\in\mathbb{N}^{*}$, on appelle factorielle $n$, notée $n!$ le nombre défini par \[n!=1\times 2\times 3\times \cdots\times n\]
On pose $0!=1$.\\
Ainsi : $0!=1$~;~$1!=1$~;~$2!=1\times 2=2$~;~$3!=1\times 2\times 3=6$~;~$4!=\times 4=24$ etc.
\begin{enumerate}
\item Pour $n$ quelconque, exprimer $(n+1)!$ en fonction de $n!$.

\item Montrer que la suite $n!$ est strictement croissante pour $n\geqslant 1$
\end{enumerate}

\subsection{}
$(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont deux suites croissantes ; la suite 
$(u_{n}+v_{n})$ est-elle croissante ?


\subsection{\textcolor{blue}{D'après Bac Polynésie juin 2013}}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.


\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} $. 
\end{enumerate}



\item Démontrer de même que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} < 1$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 


\item  On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. Conjecturer la limite à l'aide d'une calculatrice.

\end{enumerate}


\item Soit$\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \dfrac{ u_{n}}{1-u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 3. 


\item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_{n}$ en fonction de $n$. 



\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1}$.


\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  