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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices divers}}\end{center}

\subsection{}
Pourr tout $n\in\mathbb{N}^*$, on considère la fonction définie sur $[0~;~3\infty[$ par $f_n(x)=2x-2+\dfrac{\sqrt{x}}{n}$.

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f_n$ sur $[0~;~+\infty[$/

\item Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une solution unique $\alpha_n$.

\item Montrer que $0<\alpha_n<1$.

\item Montrer que $f_n\left(\alpha_{n+1}\right)>0$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x-\dfrac{2}{x^2+1}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ puis la dérivée seconde $f''$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f''$ suivant les valeurs de $x$.

\item En déduire le sens de variation de $f'$.

\item Montrer que la dérivée s'annule deux fois : en -1 et en $\alpha$ avec $-0,3\leqslant \alpha\leqslant -0,2$.
\end{enumerate}

\item En déduire le signe de $f'$ puis les variations de $f$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac Pondichéry avril 2015}}
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

\noindent Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante. 

\begin{enumerate}
\item Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

\item Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$. 

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $h_{n+l} = 0,75h_n + 30$.

\item Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$.

Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). 

\item La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  