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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD \no 1 sur le théorème des valeurs intermédiaires et la dérivation }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation  $\cos(4x+2)-8x=-1$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$.

\item Donner un encadrement de cette solution à $10^{-2}$ près à l'aide de la calculatrice.
\end{enumerate}


\subsection{}
La fonction $f:x\longmapsto x\left\vert x \right\vert$ est-elle dérivable en 0 ?

\subsection{}
Calculer l'expression de dérivées des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble de dérivabilité :

\begin{enumerate}[$f_1(x)=~$]
\item $\left(5x^3-4\right)^2$

\item $\sqrt{4x^2+4x+1}$

\item $\left(5x^3-3x+2\right)^6$

\item $\left(\dfrac{1}{x+6}\right)^3$

\item $2\sin(-3x+2)-\dfrac{4}{x}$

\item $(3x+5)\sqrt{x}$
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
Soit $f$ la fonction n définie par $f(x)=\sin(x)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}$(x).

\item Que constate-t-on ?

\item En déduire l'expression de $f^{(n)}(x)$ selon les valeurs de $n$ pour $n\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Sur l'écran d'une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : 
\[f(x)=\sqrt{x^2-x+1}\text{ et }g(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+x+\dfrac{1}{4}\]
semblent tangentes au point A(1~;~1).
\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=1pt](-3,-3)(3,3)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=200,linewidth=1pt]{-3}{3}{sqrt(x^(2)-x+1)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200,linewidth=1pt]{-3}{3}{(-x^(2))/4+x+1/4}
\uput[u](-1,1.732){\textcolor{blue}{$\mathscr{C}_f$}}
\uput[d](-1,-1){\textcolor{red}{$\mathscr{C}_g$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

Qu'en est-il exactement ?


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  