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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{\textcolor{red}{Correction des exercices de bac (probabilités conditionnelles)}}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Inversion d'un arbre de probabilités}},

\noindent Une société effectue auprès de \nombre{10000} personnes une étude de marché concernant un nouveau produit. Dans cet échantillon, 40 \% sont des jeunes (moins de 20 ans) et 20 \% de ceux-ci se déclarent intéressés par le produit.\\
En revanche, 10 \% seulement des personnes de plus de 20 ans se déclarent intéressés par ce produit.\\
On choisit au hasard une personne dans l'échantillon.\\
On note :
\begin{itemize}
\item J l'événement \og La personne est jeune. \fg

\item I  l'événement \og La personne est intéressée \fg.

\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{J}\taput{\small $0,4$}}
{\Tdot~[tnpos=r]{I}\taput{\small $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{I}}$}\tbput{\small $0,8$}}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{\text{J}}$}\tbput{\small $0,6$}}
{\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{\small $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{I}}$}\tbput{\small $0,9$}}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(\text{I}\cap\text{J})$, $p(\text{I}\cap\overline{\text{J}})$, $p(\overline{\text{I}}\cap \text{J})$ et $p(\overline{\text{I}}\cap\overline{\text{J}})$.
On a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(\text{I}\cap\text{J})=p_J(I)\times p(J)=0,2\times 0,4=0,08$

\item De même : $p(\text{I}\cap\overline{\text{J}})=0,1\times 0,6=0,06$

\item $p(\overline{\text{I}}\cap \text{J})=0,8\times 0,4=0,32$

\item $p(\overline{\text{I}}\cap\overline{\text{J}})=0,9\times 0,6=0,54$
\end{enumerate}

\item %Calculer $p(\text{I})$.
Calculons $p(\text{I})$.\\
$I=\left(I  \cap J\right) \cup \left(I \cap \overline{J}\right)$, réunion d'événements incompatibles.\\
Donc : $p(I)=p\left(I \cap J\right)+p\left(I \cap \overline{J}\right)=p_J(I)\times p(J)+p_{\overline{J}}(I)\times p\left(\overline{J}\right)=0,08+0,06=0,14$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant qu'elle est intéressée par le produit.
$p_I(J)=\dfrac{p(I \cap J)}{p(I)}=\dfrac{0,08}{0,14}=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}$

\item Reproduire l'arbre de probabilités ci-dessous.
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{I}\taput{\small $0,14$}}
{\Tdot~[tnpos=r]{J}\taput{\small $4/7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{J}}$}\tbput{\small $3/7$}}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{\text{I}}$}\tbput{\small $0,86$}}
{\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{\small $3/43$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{J}}$}\tbput{\small $40/43$}}}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\columnbreak
\subsection{}%Hachette repères
Une usine fabrique des microprocesseurs pouvant présenter deux défauts A et B. Elle a réalisé une étude statistique donnant lesz résultats suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 9\:\% des microprocesseurs présentent le défaut A.

\item 6\:\% des microprocesseurs présentent le défaut B.

\item 3\:\% des microprocesseurs présentent les deux défauts.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item %Les événements A : \og{} Le microprocesseur présente le défaut A\fg{} et B : \og{} Le ,microprocesseur présente le défaut B\fg{} sont-ils indépendants ?
$p(A)=0,09$~;~$p(B)=0,06$ et $p(A \cap B)=0,03$.\\
$p(A)\times p(B)=0,09\times 0,06=\numprint{0,0054}\neq p(A \cap B)$ donc A et B ne sont pas indépendants.

\item %Quelle est la probabilité que le microprocesseur ne présente que le défaut A ?
La probabilité que le microprocesseur ne présente que le défaut A  est $p\left(A \cap \overline{B}\right)$.\\
$A=(A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)$ réunion d'événements incompatibles donc :\\
$p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)$ d'où $p\left(A \cap \overline{B}\right)=p(A)-p(A \cap B)=0,09-0,03=0,06$.

\item %Quelle est la probabilité que le microprocesseur ne présente aucun défaut ?
La probabilité que le microprocesseur ne présente aucun défaut est $p\left(\overline{A} \cup \overline{B}\right)$.\\
$p\left(\overline{A} \cup \overline{B}\right)=p\left(\overline{A \cup B}\right)=1-p(A \cup B)=1-\left[p(A)+p(B)-p(A \cap B)\right)=1-\left(0,09+0,06-0,03\right)=1-0,12=0,88$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Hachette repères
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La probabilité que la première cible soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$.

\item Lorsque une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est $\dfrac{3}{4}$.

\item Lorsque une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante  soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A_n$ l'événement \og{}La $n$-ième cible est atteinte\fg.

\item $a_n$ la probabilité de $A_n$

\item $b_n$ la probabilité de $\overline{A_n}$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $a_1$ et $b_1$.

\item Calculer les valeurs de $a_2$ et $b_2$. (on pourra utiliser un arbre)
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, \[a_{n+1}=\dfrac{3}{4}a_n+\dfrac{1}{2}b_n,\] puis que \[a_{n+1}=\dfrac{1}{4}a_n+\dfrac{1}{2}.\]

\item En déduire que,pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, \[a_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}.\]

\item Déterminer la limite de $a_n$.

\item Déterminer (à la calculatrice) le plus petit entier $n$ tel que $a_n\geqslant \numprint{0,6665}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  