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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices de géométrie}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\subsubsection*{\textcolor{red}{Partie A}}

Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points A$(3~;~-2~;~2)$, B$(6~;~1~;~5)$ et C$(6~;~-2~;~-1)$.\\
Déterminons par des calculs la nature du triangle ABC.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{3^3+3^3=3^3=\sqrt{3\times 3^2}}=\boxed{\textcolor{red}{3\sqrt{3}=\sqrt{27}}}$

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{(-3)^2+(-6)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{45}=\sqrt{3^2\times 5}=3\sqrt{5}}}$

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$ donc $AC=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{2\times 3^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{18}=2\sqrt{3}}}$.
\end{enumerate}
Il est clair que ABC n'est pas isocèle (donc pas équilatéral).\\
$BC$ est la plus grande longueur :\\
$BC^2=45$~;~$AB^2+AC^2=27+18=45$ donc $BC^2=AB^2+AC^2$.\\
Après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

\subsubsection*{\textcolor{red}{Partie B}}

On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

\begin{center}
\psset{unit=0.9}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(10,5)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(0,4)
\psline[linewidth=1pt](0,4)(2,3)
\psline[linewidth=1pt](2,3)(2,-1)
\psline[linewidth=1pt](2,-1)(0,0)
\psline[linewidth=1pt](2,-1)(9,-1)
\psline[linewidth=1pt](9,-1)(7,0)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](7,0)(0,0)
\psline[linewidth=1pt](9,-1)(9,3)
\psline[linewidth=1pt](9,3)(7,4)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](7,4)(7,0)
\psline[linewidth=1pt](2,3)(9,3)
\psline[linewidth=1pt](0,4)(7,4)
\psline[linewidth=1pt](0,4)(7,4)
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.08,0.2){$A$}
\psdots[dotstyle=*](0,4)
\rput[bl](0.08,4.2){$B$}
\psdots[dotstyle=*](2,3)
\rput[bl](2.08,3.2){$C$}
\psdots[dotstyle=*](2,-1)
\rput[bl](2.08,-0.8){$D$}
\psdots[dotstyle=*](7,0)
\rput[bl](7.08,0.2){$E$}
\psdots[dotstyle=*](7,4)
\rput[bl](7.08,4.2){$F$}
\psdots[dotstyle=*](9,3)
\rput[bl](9.08,3.2){$G$}
\psdots[dotstyle=*](9,-1)
\rput[bl](9.08,-0.8){$H$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant avec soin.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Affirmation 1 : les plans (HAE) et (BGC) se coupent selon la droite parallèle à (HA) passant par F.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : les plans sont strictement parallèles, donc ne se coupent pas !

\item Affirmation 2 : les droites (BE) et (FG) sont orthogonales.
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : ls deux droites sont incluses respectivement dans deux plans orthogonaux (BEF) et (FGH).

\item Affirmation 3 : on appelle I le milieu du segment [EH].\\
La section du parallélépipède par le plan parallèle à (EGB) passant par I est un trapèze (un tracé suffit à justifier la réponse).
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : 



\end{center}
\end{enumerate}
\subsubsection*{\textcolor{red}{Partie C}}


On se place dans le repère $\left(A~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}~;~\overrightarrow{AB}\right)$.\\
Donner les coordonnées de B, E, G et I.

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Bac S Métrople juin 2003}}
Soient $a$ un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :

$\bullet$	OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O,

$\bullet$	OA = OB = OC = $a$.

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O
 du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par \\
 $\overrightarrow{\text{HO}} = \overrightarrow{\text{OD}}$.
 
\bigskip

\begin{center}
 \psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-1,0)(8.5,10)
\psline[linestyle=dotted](1.2,0.9)(2,4)(1.5,9.7)
\psline[linestyle=dotted](8.5,4)(2,4)
\psline[linestyle=dotted](3.7,4.9)(0.2,3.1)
\psline(1.5,9.7)(0.2,3.1)(1.2,0.9)(8.5,4)(1.5,9.7)(4.85,2.45)
\uput[d](1.2,0.9){A} \uput[d](4.85,2.45){I} \uput[dr](8.5,4){B} 
\uput[ul](1.5,9.7){C} \uput[ul](2,4){O} \uput[l](0.2,3.1){D}  
\uput[r](3.7,4.9){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?

\item 
\begin{enumerate}

\item Démontrer que (CI) et (AB) sont orthogonales.

\item Démontrer que (OI) et (AB) sont orthogonales.

\item En déduire que (AB) est orthogonale au plan (OIC).

\item En déduire que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales.

\item Démontrer alors que H est  l'orthocentre du triangle ABC.

\end{enumerate}

\item Calcul de OH

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC.

		\item Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = 
$a\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

	\end{enumerate}

\item Étude du tétraèdre ABCD.

L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{O}~ 
;~\dfrac{1}{a}\overrightarrow{\text{OA}},~\dfrac{1}{a}\overrightarrow{\text{OB}},~
\dfrac{1}{a}\overrightarrow{\text{OC}}\right)$.

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que le point H a pour coordonnées : 
$\left(\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3}\right)$.

		\item	Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que toutes ses arÊtes
 ont mÊme longueur).

		\item Soit $\Omega$ le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que
$\Omega$ est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  