\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du TD sur les limites de fonctions (1)}}\end{center}



\subsection{}
Étudier les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(2x^2-3x+5\right)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2x^2-3x+5\right)$.\\
On a une forme indéterminée en $+\infty$, par en $-\infty$.\\
On met en facteur le terme de plus haut degré.\\
Pour $x\neq 0$, $2x^2-3x+5=x^2\left(2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^2}\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}x^2=+\infty$ ; $\lim_{x\rightarrow ±pm\infty}\left(2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^2}\right)=2$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(2x^2-3x+5\right)=+\infty}}$

\bigskip

Rappel : Pour $a\neq 0$, la courbe représentative de la fonction $f\mapsto ax^2+bx+c$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ puisque $ax^2+bx+x=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.\\
On en déduit que les limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont égales.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2x+3}{3x^2+5x+9}\right)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2x+3}{3x^2+5x+9}\right)$.\\
On a une forme indéterminée ; on met en facteur le terme du plus haut degré du numérateur et celui du dénominateur.\\
Pour $x\neq 0$, $\dfrac{2x+3}{3x^2+5x+9}=\dfrac{x\left(2+\frac3x\right)}{x^2\left(3+\frac5x+\frac9{x^2}\right)}=\dfrac{\left(2+\frac3x\right)}{x\left(3+\frac5x+\frac9{x^2}\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm}\left(2+\frac3x\right)=2$ ; $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(3+\frac5x+\frac9{x^2}\right)=3$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x\left(3+\frac5x+\frac9{x^2}\right)\right)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x\left(3+\frac5x+\frac9{x^2}\right)\right)=+\infty$.\\
Par quotient, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\dfrac{2x+3}{3x^2+5x+9}\right)=0}}$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{x^2+4}{3x+1}\right)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x^2+4}{3x+1}\right)$.\\
Même méthode :\\
Pour $x\neq 0$, $\left(\dfrac{x^2+4}{3x+1}\right)=\dfrac{x^2\left(1+\frac4x\right)}{x\left(3+\frac1x\right)}=x\times \dfrac{1+\frac4x}{3+\frac1x}$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\frac4x\right)=1$ ; $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(3+\frac1x\right)=3$ donc $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\dfrac{1+\frac4x}{3+\frac1x}\right)=\dfrac{1}{3}$.\\
On voit que la limite est celle de $x$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{x^2+4}{3x+1}\right)=-\infty}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x^2+4}{3x+1}\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Déterminer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{x\rightarrow 2}(-3x)=-6$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}(2x-4)=0$ avec $2x-4>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}\left(\dfrac{-3x}{2x-4}\right)=-\infty}}$

\item $\lim_{x\rightarrow 2}(-3x)=-6$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}(2x-4)=0$ avec $2x-4<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}\left(\dfrac{-3x}{2x-4}\right)=+\infty}}$.\\
On peut vérifier en traçant à la calculatrice ou avec un ordinateur la courbe représentative de cette expression.

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{unit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-6.)(7.,6.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-6.)(7.,6.)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-5.0}{7.0}{-3.0*x/(2.0*x-4.0)}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.,-6.)(2.,6.)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-7.24,-1.46){\qqwuqq{$f$}}
\rput[bl](2.16,6.66){$g$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item $\lim_{x\rightarrow 1}\left(\dfrac{1}{(x-1)^2}\right)$\\
$\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)=0$ avec $(x-1)^2\geqslant 0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 1}\left(\dfrac{1}{(x-1)^2}\right)=+\infty}}$.

\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-1.)(6.,7.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-1.)(6.,7.)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-5.0}{6.0}{1.0/(x-1.0)^(2.0)}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1.,-1.)(1.,7.)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-7.24,-0.28){\ccqqqq{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-4}$.

\begin{enumerate}

\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
$x^2-4$ s'annule en -2 et 2 donc l'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2~;~2\right\}$.

\item %Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Les bornes de l'ensemble de définition sont $-\infty$, -2, 2 et $+\infty$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $-\infty$ :\\
Pour $x\neq 0$, $\dfrac{2x+1}{x^2-4}=\dfrac{x\left(2+\frac1x\right)}{x^2\left(1-\frac4{x^2}\right)}=\dfrac{\left(2+\frac1x\right)}{x\left(1-\frac4{x^2}\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(2+\frac1x\right)=2$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\frac4{x^2}\right)=1$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x\left(1-\frac4{x^2}\right)\right)=-\infty$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2x+1}{x^2-4}\right)=0}}$.

\item Liite en $+\infty$ : mêmes calculs et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2x+1}{x^2-4}\right)=0}}$.

\item Limite en -2 :\\
$\lim_{x\rightarrow -2}\left(2x+1\right)=-3$.\\
$\lim_{x\rightarrow -2}\left(x^2-4\right)=0$. La limite du quotient va donc dépendre du signe du dénominateur.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}\left(x^2-4\right)=0$ avec $x^2-4>0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}\left(\dfrac{2x+1}{x^2-4}\right)=-\infty$ (quotient de deux nombres de signes contraires).\\
De même : \\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}\left(x^2-4\right)=0$ avec $x^2-4<0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}\left(\dfrac{2x+1}{x^2-4}\right)=+\infty$ (quotient de deux nombres négatifs).

\item Limite en 2 :\\
$\lim_{x\rightarrow 2}\left(2x+1\right)=5$.\\
$\lim_{x\rightarrow 2}\left(x^2-4\right)=0$. La limite du quotient va donc dépendre du signe du dénominateur.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<2}}\left(x^2-4\right)=0$ avec $x^2-4<0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<2}}\left(\dfrac{2x+1}{x^2-4}\right)=-\infty$ (quotient de deux nombres de signes contraires).\\
De même : \\
$\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>-2}}\left(x^2-4\right)=0$ avec $x^2-4>0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>2}}\left(\dfrac{2x+1}{x^2-4}\right)=-\infty$ (quotient de deux nombres de signes contraires ).

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Vérification graphique }}:
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.,-7.)(8.,7.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-8.,-7.)(8.,7.)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-8.0}{8.0}{(2.0*x+1.0)/(x^(2.0)-4.0)}
\psline[linewidth=1pt](-2.,-7.)(-2.,7.)
\psline[linewidth=1pt](-18.,-7.)(-18.,7.)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-8.1,-0.54){\qqwuqq{$f$}}
\uput[u](4,0.75){$\mathscr{C}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsection{}
%Étudier la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de  \[f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{x^2-3x+2}.\]
%
%(\emph{On pourra utiliser l'expression conjuguée.})
$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{x^2-3x+2}=\dfrac{\left[\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{x^2-3x+2}\right]\times \left[\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{x^2-3x+2}\right]}{\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{x^2-3x+2}}\\
=\dfrac{\left(x^2-4x+3\right)-\left[x^2-3x+2\right]}{\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{x^2-3x+2}}=\dfrac{-x+1}{\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{x^2-3x+2}}=\dfrac{-x+1}{\sqrt{x^2}\times \sqrt{\left(1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2}\sqrt{\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}}\\
=\dfrac{-x+1}{\sqrt{x^2}\left[\sqrt{\left(1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}+\sqrt{\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}\right]}$

Pour $x<0$, $\sqrt{x^2}=\left\vert x \right\vert=-x$ donc, pour $x<0$, \\
$f(x)=\dfrac{-1+\frac1x}{-\left[\sqrt{\left(1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}+\sqrt{\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}\right]}$

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}}}$.

\bigskip

Pour $>0$, $\sqrt{x^2}=\left\vert x \right\vert=x$.

Alors : $f(x)=\dfrac{-1+\frac1x}{\left[\sqrt{\left(1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}+\sqrt{\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}\right]}$

On  en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Vérification graphique}} :

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.,-2.)(8.,2.)
%\multips(0,-2)(0,1.0){5}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-8.,0)(8.,0)}
%\multips(-8,0)(1.0,0){17}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,2.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue]{->}(0,0)(-8.,-2.)(8.,2.)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-8.0}{1.000000000000006}{sqrt(x^(2.0)-4.0*x+3.0)-sqrt(x^(2.0)-3.0*x+2.0)}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-8.0}{1.000000000000006}{sqrt(x^(2.0)-4.0*x+3.0)-sqrt(x^(2.0)-3.0*x+2.0)}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{3.0000051428600107}{8.0}{sqrt(x^(2.0)-4.0*x+3.0)-sqrt(x^(2.0)-3.0*x+2.0)}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red]{-8.}{8.}{(-0.5-0.*x)/1.}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red]{-8.}{8.}{(--0.5-0.*x)/1.}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-8.12,-0.82){$f$}
\rput[bl](-8.12,0.18){$g$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  