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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Limite de la composée de deux fonctions}}\end{center}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions, donc les ensembles de définition sont $\mathscr{D}_f$ et $\mathscr{D}_g$.\\
On suppose que pour $x\in\mathscr{D}_f$, $f(x)$ appartient à $\mathscr{D}_g$.\\
On appelle composition de $f$ suivie de $g$ la fonction notée $g\circ f$ l fonction définie, pour tout $x\in\mathscr{D}_f$ par $g\circ f(x)=g\left(f(x)\right)$.\\
$g\circ f:x\xrightarrow{f}f(x)\xrightarrow{g}g(f(x))$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soient $f$ et $g$ définies par $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=3x+1$.\\
Alors : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g\circ f : x\xrightarrow{f}\underbrace{x^2+1}_{y}\xrightarrow{g}3y+1=3\left(x^2+1\right)+1$

\item $f\circ g : x\xrightarrow{g}\underbrace{3x+1}_{z}\xrightarrow{f}z^2+1=(3x+1)^2+1$ 
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Question}} : a-t-on $f \circ g=g \circ f$ ?


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Pour chacun des cas suivants, donner les expressions de $f\circ g$ et $g\circ f$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+3$ et $g(x)=\dfrac{1}{x}$

\item $f(x)=\sin x$ et $g(x)=3x^2+1$

\item $f(x)=3x^2$ et $g(x)=\sqrt{x}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chacun des cas suivants, écrire la fonction $h$ sous la forme de la composée de deux fonctions à préciser :
\begin{enumerate}
\item $h(x)=\dfrac{1}{x^4+3}$

\item $h(x)=\cos\left(x^2+1\right)$

\item $h(x)=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+1}}$

\item $h(x)=\left(x^2+x+1\right)^5$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Limite de la composée de deux fonctions}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$f$ et $g$ désignent deux fonctions.\\
$a$, $b$ et $c$ désignent soit des réels, soit $+\infty$, soit $-\infty$.\\
Alors : si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ et $\lim_{x\rightarrow b}g(x)=c$ alors $\lim_{x\rightarrow a}g(f(x))=c$
 \end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}\\
Soit $h$ la fonction définie sur $]-\infty~;~1$ par \[h(x)=\sqrt{1-x}.\]
On cherche la limite en $-\infty$.\\
On pose $X=1-x$ ; ainsi $h(x)=\sqrt{X}$.\\
$h:x\mapsto 1-x\mapsto\sqrt{1-x}$.\\
$\left\{\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow -\infty}(1-x)=+\infty\\\lim_{X\rightarrow +\infty}\sqrt{X}=+\infty\end{array}\right.$ (avec $X=1-x$) donc, par composition, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}h(x)=+\infty}}$

\end{multicols}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exercice}}:\\

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{x^2+1}$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x^2-1}$

\item Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-1}}$.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  