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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur la composée de deux fonctions}}\end{center}


\subsection{}
Pour chacun des cas suivants, donner les expressions de $f\circ g$ et $g\circ f$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+3$ et $g(x)=\dfrac{1}{x}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\circ g:x\xrightarrow{g}\dfrac{1}{x}=y\xrightarrow{f}y^{2}+3=\boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}+3}}$

\item $g\circ f:x\xrightarrow{}{f}x^{2}+3=y\xrightarrow{}{f}z^{2}+3=\dfrac{1}{z}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x^{2}+3}}}$
\end{enumerate}

\item $f(x)=\sin x$ et $g(x)=3x^2+1$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\circ g:x\xrightarrow{g}3x^{2}+1=y\xrightarrow{f}\sin(y)=\boxed{\textcolor{red}{\sin\left(3x^{2}+1\right)}}$

\item $g\circ f:x\xrightarrow{f}\sin(x)=z\xrightarrow{g}3z^{2}+1=\boxed{\textcolor{red}{3\sin^{2}x+1}}$
\end{enumerate}


\item $f(x)=3x^2$ et $g(x)=\sqrt{x}$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\circ g:x\xrightarrow{g}\sqrt{x}=y\xrightarrow{f}3x^{2}+1=\boxed{\textcolor{red}{3x+1}}$

\item $g\circ f:x\xrightarrow{f}3x^{2}=z\xrightarrow{g}\sqrt{z}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{3x^{2}}}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chacun des cas suivants, écrire la fonction $h$ sous la forme de la composée de deux fonctions à préciser :
\begin{enumerate}
\item $h(x)=\dfrac{1}{x^4+3}$\\
$h:x\xrightarrow{g}x^{4}+3\xrightarrow{f}\dfrac{1}{x^{4}+3}$ donc $h=f\circ g$ avec $\begin{cases}f(x)=\dfrac{1}{x}\\g(x)=x^{2}+4\end{cases}$

\item $h(x)=\cos\left(x^2+1\right)$\\
$h:x\xrightarrow{g}x^2+1\xrightarrow{f}\cos\left(x^2+1\right)$ donc $h=f\circ g$ avec $\begin{cases}f(x)=\cos x\\g(x)=x^2+1\end{cases}$


\item $h(x)=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+1}}$\\
$h:x\xrightarrow{g}\dfrac{x^2}{x^2+1}\xrightarrow{f}\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+1}}$ donc $h=f\circ g$ avec $\begin{cases}f(x)=\sqrt{x}\\g(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}\end{cases}$


\item $h(x)=\left(x^2+x+1\right)^5$\\
$h:x\xrightarrow{g}x^2+x+1\xrightarrow{f}\left(x^2+x+1\right)^5$ donc $h=f\circ g$ avec $\begin{cases}f(x)=x^5\\g(x)=x^2+x+1\end{cases}$

\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Exercice}}:\\

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{x^2+1}$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x^2-1}$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2+1\right)=\infty$.\\
On pose $X=x^2+1$.\\
Alors : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{x^2+1}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\sqrt{X}=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty}}$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2-1\right)=\infty$.\\
On pose $X=x^2-1$.\\
Alors : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x^2-1}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\sqrt{X}=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x^2-1}=+\infty}}$

\end{enumerate}

\item Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-1}}$.\\
Pour $x\neq 0$, $\dfrac{2x+1}{x-1}=\dfrac{x\left(2+\frac1x\right)}{\frac1x}=\dfrac{2+\frac1x}{1-\frac1x}$.
On en déduit : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)=2$.\\
Alors : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-1}}=\lim_{X\rightarrow 2}\sqrt{X}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}}}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  